Фрактальная производная

Не путать с дробной производной .

В прикладной математике и математическом анализе фрактальная производная или производная Хаусдорфа представляет собой неньютоновское обобщение производной, связанной с измерением фракталов , определенной во фрактальной геометрии. Фрактальные производные были созданы для изучения аномальной диффузии, при которой традиционные подходы не учитывают фрактальную природу сред. Фрактальная мера t масштабируется в соответствии с t ^а . Такая производная является локальной, в отличие от аналогично применяемой дробной производной . Фрактальное исчисление сформулировано как обобщение стандартного исчисления.

Физический фон

Пористые среды , водоносные горизонты , турбулентность и другие среды обычно проявляют фрактальные свойства. Классические законы диффузии или дисперсии, основанные на случайных блужданиях в свободном пространстве (по сути, тот же результат, известный как законы диффузии Фика , закон Дарси и закон Фурье ), неприменимы к фрактальным средам. такие понятия, как расстояние и скорость, Чтобы решить эту проблему, необходимо переопределить для фрактальных сред; в частности, масштабы пространства и времени должны быть преобразованы согласно ( x ^б , т ^а ). переопределяются следующим образом Элементарные физические понятия, такие как скорость, для фрактального пространства-времени ( x ^б , т ^а ):

$v'={\frac {dx'}{dt'}}={\frac {dx^{\beta }}{dt^{\alpha }}}\,,\quad \alpha ,\beta >0$,

где S ^{а, б} представляет фрактальное пространство-время с индексами масштабирования α и β . Традиционное определение скорости не имеет смысла в недифференцируемом фрактальном пространстве-времени.

Определение

На основе приведенного выше обсуждения понятие фрактальной производной функции f ( t ) по фрактальной мере t было введено следующим образом:

${\frac {\partial f(t)}{\partial t^{\alpha }}}=\lim _{t_{1}\rightarrow t}{\frac {f(t_{1})-f(t)}{t_{1}^{\alpha }-t^{\alpha }}}\,,\quad \alpha >0$,

Более общее определение даёт

${\frac {\partial ^{\beta }f(t)}{\partial t^{\alpha }}}=\lim _{t_{1}\rightarrow t}{\frac {f^{\beta }(t_{1})-f^{\beta }(t)}{t_{1}^{\alpha }-t^{\alpha }}}\,,\quad \alpha >0,\beta >0$.

Для функции y(t) на $F^{\alpha }$-совершенное фрактальное множество F фрактальная производная или $F^{\alpha }$-производная y(t) в точке t определяется формулой

$D_{F}^{\alpha }y(t)=\left\{{\begin{array}{ll}{\underset {x\rightarrow t}{F_{-}\lim }}~{\frac {y(x)-y(t)}{S_{F}^{\alpha }(x)-S_{F}^{\alpha }(t)}},&{\text{if}}~t\in F;\\0,&{\text{otherwise}}.\end{array}}\right.$.

Мотивация

Производные k функции f можно определить через коэффициенты a _в разложении в ряд Тейлора :

$f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\cdot (x-x_{0})^{k}=\sum _{k=1}^{\infty }{1 \over k!}{d^{k}f \over dx^{k}}(x_{0})\cdot (x-x_{0})^{k}=f(x_{0})+f'(x_{0})\cdot (x-x_{0})+o(x-x_{0})$

При таком подходе можно напрямую получить:

$f'(x_{0})={f(x)-f(x_{0})-o(x-x_{0}) \over x-x_{0}}=\lim _{x\to x_{0}}{f(x)-f(x_{0}) \over x-x_{0}}$

Это можно обобщить, аппроксимируя f функциями (x ^а -( _х0 ) ^а ) ^к :

$f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}\cdot (x^{\alpha }-x_{0}^{\alpha })^{k}=f(x_{0})+b_{1}\cdot (x^{\alpha }-x_{0}^{\alpha })+o(x^{\alpha }-x_{0}^{\alpha })$

Обратите внимание, что коэффициент низшего порядка по-прежнему должен быть b ₀ =f(x ₀ ), поскольку это по-прежнему постоянное приближение функции f в точке x ₀ .

Опять же, можно напрямую получить:

$b_{1}=\lim _{x\to x_{0}}{f(x)-f(x_{0}) \over x^{\alpha }-x_{0}^{\alpha }}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}{df \over dx^{\alpha }}(x_{0})$

Фрактальная серия Маклорена для f(t) с фрактальным носителем F выглядит следующим образом:

$f(t)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(D_{F}^{\alpha })^{m}f(t)|_{t=0}}{m!}}(S_{F}^{\alpha }(t))^{m}$

Характеристики

Коэффициенты расширения

Как и в разложении в ряд Тейлора, коэффициенты bk _можно выразить через фрактальные производные порядка k функции f:

$b_{k}={1 \over k!}{\biggl (}{d \over dx^{\alpha }}{\biggr )}^{k}f(x=x_{0})$

Идея доказательства: предположение

${\textstyle ({d \over dx^{\alpha }})^{k}f(x=x_{0})}$

существует, b _k можно записать как

${\textstyle b_{k}=a_{k}\cdot ({d \over dx^{\alpha }})^{k}f(x=x_{0})}$

Теперь можно использовать

${\textstyle f(x)=(x^{\alpha }-x_{0}^{\alpha })^{n}\Rightarrow ({d \over dx^{\alpha }})^{k}f(x=x_{0})=n!\delta _{n}^{k}}$

и поскольку

${\textstyle b_{n}{\overset {\underset {\mathrm {!} }{}}{=}}1\Rightarrow a_{n}={1 \over n!}}$

Правило цепочки

Если для данной функции f существуют как производная Df, так и фрактальная производная D _α f, можно найти аналог цепного правила:

${df \over dx^{\alpha }}={df \over dx}{dx \over dx^{\alpha }}={1 \over \alpha }x^{1-\alpha }{df \over dx}$

Последний шаг мотивирован теоремой о неявной функции , которая при соответствующих условиях дает нам

${\frac {dx}{dx^{\alpha }}}=({\frac {dx^{\alpha }}{dx}})^{-1}$

Аналогично и для более общего определения:

${d^{\beta }f \over d^{\alpha }x}={d(f^{\beta }) \over d^{\alpha }x}={1 \over \alpha }x^{1-\alpha }\beta f^{\beta -1}(x)f'(x)$

Фрактальная производная для функции f ( t ) = t , порядок производной равен α ∈ (0,1]

Применение в аномальной диффузии

В качестве альтернативного подхода к моделированию классического второго закона Фика фрактальная производная используется для вывода линейного аномального уравнения переноса-диффузии, лежащего в основе аномального процесса диффузии:

${\frac {du(x,t)}{dt^{\alpha }}}=D{\frac {\partial }{\partial x^{\beta }}}\left({\frac {\partial u(x,t)}{\partial x^{\beta }}}\right),\quad (1)$

$u(x,0)=\delta (x)$

где 0 < α < 2, 0 < β < 1, $x\in \mathbb {R}$, а δ ( x ) — дельта-функция Дирака .

Для получения фундаментального решения применим преобразование переменных

$t'=t^{\alpha }\,,\quad x'=x^{\beta }.$

тогда уравнение (1) становится уравнением формы нормальной диффузии, решение (1) имеет растянутое ​​Гаусса ядро :

$u(x,t)={\frac {1}{2{\sqrt {\pi t^{\alpha }}}}}e^{-{\frac {x^{2\beta }}{4t^{\alpha }}}}$

Среднеквадратичное смещение приведенного выше уравнения диффузии фрактальной производной имеет асимптоту :

$\left\langle x^{2}(t)\right\rangle \propto t^{(3\alpha -\alpha \beta )/2\beta }.$

Фрактально-дробное исчисление

Дополнительная информация: дробная производная

Фрактальная производная связана с классической производной, если первая производная существует. В этом случае,

${\frac {\partial f(t)}{\partial t^{\alpha }}}=\lim _{t_{1}\rightarrow t}{\frac {f(t_{1})-f(t)}{t_{1}^{\alpha }-t^{\alpha }}}\ ={\frac {df(t)}{dt}}{\frac {1}{\alpha t^{\alpha -1}}},\quad \alpha >0$.

Однако из-за свойства дифференцируемости целого числа дробные производные дифференцируемы, поэтому профессор Абдон Атангана из Южной Африки предложил следующую новую концепцию.

Следующие дифференциальные операторы были введены и применены совсем недавно. Предполагая, что y(t) непрерывен и фрактально дифференцируем на (a, b) с порядком β , несколько определений фрактально-дробной производной y(t) справедливы с порядком α в смысле Римана–Лиувилля:

• Имея ядро ​​типа степенного закона:

$^{FFP}D_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={\dfrac {1}{\Gamma (m-\alpha )}}{\dfrac {d}{dt^{\beta }}}\int _{0}^{t}(t-s)^{m-\alpha -1}y(s)ds$

• Имея экспоненциально затухающий тип ядра:

$^{FFE}D_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={\dfrac {M(\alpha )}{1-\alpha }}{\dfrac {d}{dt^{\beta }}}\int _{0}^{t}\exp {\Big (}-{\dfrac {\alpha }{1-\alpha }}(t-s){\Big )}y(s)ds$,

• Обобщив ядро ​​типа Миттаг-Леффлера:

${}_{a}^{FFM}D_{t}^{\alpha }f(t)={\frac {AB(\alpha )}{1-\alpha }}{\frac {d}{dt^{\beta }}}\int _{a}^{t}f(\tau )E_{\alpha }\left(-\alpha {\frac {\left(t-\tau \right)^{\alpha }}{1-\alpha }}\right)\,d\tau \,.$

Каждый из вышеупомянутых дифференциальных операторов имеет связанный с ним фрактально-дробный интегральный оператор, а именно:

• Ядро типа степенного закона:

$^{FFP}J_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={\dfrac {\beta }{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{t}(t-s)^{\alpha -1}s^{\beta -1}y(s)ds$

• Ядро экспоненциально затухающего типа:

$^{FFE}J_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={\dfrac {\alpha \beta }{M(\alpha )}}\int _{0}^{t}s^{\beta -1}y(s)ds+{\dfrac {\beta (1-\alpha )t^{\beta -1}y(t)}{M(\alpha )}}$.

• Обобщенное ядро ​​типа Миттаг-Леффлера:

$^{FFM}J_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={\dfrac {\alpha \beta }{AB(\alpha )}}\int _{0}^{t}s^{\beta -1}y(s)(t-s)^{\alpha -1}ds+{\dfrac {\beta (1-\alpha )t^{\beta -1}y(t)}{AB(\alpha )}}$.

ФФМ относится к фрактально-дробным с обобщенным ядром Миттаг-Леффлера.

Фрактальное нелокальное исчисление

Дополнительная информация: дробные фрактальные производные.

• Фрактальный аналог правостороннего дробного интеграла Римана-Лиувилля порядка $\beta \in \mathbb {R}$ f определяется следующим образом:

${x}{\mathcal {I}}_{b}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\beta )}}\int _{x}^{b}{\frac {f(t)}{(S_{F}^{\alpha }(t)-S_{F}^{\alpha }(x))^{1-\beta }}}d_{F}^{\alpha }t$.

• Фрактальный аналог левостороннего дробного интеграла Римана-Лиувилля порядка $\beta \in \mathbb {R}$ f определяется следующим образом:

${a}{\mathcal {I}}_{x}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\beta )}}\int _{a}^{x}{\frac {f(t)}{(S_{F}^{\alpha }(x)-S_{F}^{\alpha }(t))^{1-\beta }}}d_{F}^{\alpha }t.$

• Фрактальный аналог правосторонней дробной производной Римана-Лиувилля порядка $\beta \in \mathbb {R}$ f определяется следующим образом:

${x}{\mathcal {D}}_{b}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (n-\beta )}}(-D_{F}^{\alpha })^{n}\int _{x}^{b}{\frac {f(t)}{(S_{F}^{\alpha }(t)-S_{F}^{\alpha }(x))^{-n+\beta +1}}}d_{F}^{\alpha }t$

• Фрактальный аналог левосторонней дробной производной Римана-Лиувилля порядка $\beta \in \mathbb {R}$ f определяется следующим образом:

${a}{\mathcal {D}}_{x}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (n-\beta )}}(D_{F}^{\alpha })^{n}\int _{a}^{x}{\frac {f(t)}{(S_{F}^{\alpha }(x)-S_{F}^{\alpha }(t))^{-n+\beta +1}}}d_{F}^{\alpha }t$

• Фрактальный аналог правосторонней дробной производной порядка Капуто $\beta \in \mathbb {R}$ f определяется следующим образом:

${x}^{C}{\mathcal {D}}_{b}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (n-\beta )}}\int _{x}^{b}(S_{F}^{\alpha }(t)-S_{F}^{\alpha }(x))^{n-\beta -1}(-D_{F}^{\alpha })^{n}f(t)d_{F}^{\alpha }t$

• Фрактальный аналог левосторонней дробной производной Капуто порядка $\beta \in \mathbb {R}$ f определяется следующим образом:

${a}^{C}{\mathcal {D}}_{x}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (n-\beta )}}\int _{a}^{x}(S_{F}^{\alpha }(x)-S_{F}^{\alpha }(t))^{n-\beta -1}(D_{F}^{\alpha })^{n}f(t)d_{F}^{\alpha }t$

См. также

• Дробное исчисление
• Система дробного порядка
• Мультифрактальная система

Библиография

• Чен, Вэнь (2006). «Пространственно-временная ткань, лежащая в основе аномальной диффузии». Хаос, солитоны и фракталы . 28 (4): 923–929. arXiv : math-ph/0505023 . Бибкод : 2006CSF....28..923C . дои : 10.1016/j.chaos.2005.08.199 . S2CID   18369880 .
• Канно, Р. (1998). «Представление случайного блуждания во фрактальном пространстве-времени». Физика А. 248 (1–2): 165–175. Бибкод : 1998PhyA..248..165K . дои : 10.1016/S0378-4371(97)00422-6 .
• Чен, В.; Вс, ХГ; Чжан, X.; Коросак, Д. (2010). «Моделирование аномальной диффузии фрактальными и дробными производными» . Компьютеры и математика с приложениями . 59 (5): 1754–8. дои : 10.1016/j.camwa.2009.08.020 .
• Вс, ХГ; Меершерт, ММ; Чжан, Ю.; Чжу, Дж.; Чен, В. (2013). «Фрактальное уравнение Ричардса для отражения небольцмановского масштабирования переноса воды в ненасыщенных средах» . Достижения в области водных ресурсов . 52 (52): 292–5. Бибкод : 2013AdWR...52..292S . дои : 10.1016/j.advwatres.2012.11.005 . ПМЦ   3686513 . ПМИД   23794783 .
• Кушман, Дж. Х.; О'Мэлли, Д.; Парк, М. (2009). «Аномальная диффузия, смоделированная нестационарным расширением броуновского движения». Физ. Преподобный Е. 79 (3): 032101. Бибкод : 2009PhRvE..79c2101C . дои : 10.1103/PhysRevE.79.032101 . ПМИД   19391995 .
• Майнарди, Ф.; Мура, А.; Паньини, Г. (2010). «Функция М-Райта в процессах дробной по времени диффузии: учебный обзор» . Международный журнал дифференциальных уравнений . 2010 : 104505. arXiv : 1004.2950 . Бибкод : 2010arXiv1004.2950M . дои : 10.1155/2010/104505 . S2CID   37271918 .

Внешние ссылки

• Степенной закон и дробная динамика
• Сайт неньютоновского исчисления