Система дробного порядка

В области динамических систем и теории управления система дробного порядка — это динамическая система, которую можно смоделировать дробным дифференциальным уравнением , содержащим производные нецелого порядка . ^[1] Говорят, что такие системы обладают дробной динамикой . Производные и интегралы дробных порядков используются для описания объектов, которые могут характеризоваться степенной нелокальностью. ^[2] степенная дальнодействующая зависимость или фрактальные свойства. Системы дробного порядка полезны при изучении аномального поведения динамических систем в физике, электрохимии , биологии, вязкоупругости и хаотических системах . ^[1]

Определение

Общую динамическую систему дробного порядка можно записать в виде ^[3]

H(D^{\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{m}})(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{l})=G(D^{\beta _{1},\beta _{2},\ldots ,\beta _{n}})(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{k})

где $H$ и $G$ являются функциями дробной производной оператора $D$ заказов $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{m}$ и $\beta _{1},\beta _{2},\ldots ,\beta _{n}$ и $y_{i}$ и $u_{j}$ являются функциями времени. Распространенным частным случаем этого является линейная нестационарная (LTI) система с одной переменной:

\left(\sum _{k=0}^{m}a_{k}D^{\alpha _{k}}\right)y(t)=\left(\sum _{k=0}^{n}b_{k}D^{\beta _{k}}\right)u(t)

Заказы $\alpha _{k}$ и $\beta _{k}$ вообще говоря, это сложные количества, но есть два интересных случая, когда заказы соизмеримы.

\alpha _{k},\beta _{k}=k\delta ,\quad \delta \in R^{+}

и когда они также рациональны :

\alpha _{k},\beta _{k}=k\delta ,\quad \delta ={\frac {1}{q}},q\in Z^{+}

Когда $q=1$ , производные имеют целочисленный порядок и система становится обыкновенным дифференциальным уравнением . Таким образом, за счет увеличения специализации системы LTI могут иметь общий порядок, соизмеримый порядок, рациональный порядок или целочисленный порядок.

Передаточная функция

Применяя преобразование Лапласа к приведенной выше системе LTI, передаточная функция становится

G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {\sum _{k=0}^{n}b_{k}s^{\beta _{k}}}{\sum _{k=0}^{m}a_{k}s^{\alpha _{k}}}}

Для общих заказов $\alpha _{k}$ и $\beta _{k}$ это нерациональная передаточная функция. Нерациональные передаточные функции не могут быть записаны как разложение по конечному числу членов (например, биномиальное разложение будет иметь бесконечное число членов), и в этом смысле можно сказать, что системы дробных порядков обладают потенциалом неограниченной памяти. ^[3]

Мотивация к изучению систем дробного порядка

Экспоненциальные законы — это классический подход к изучению динамики плотности населения, но существует множество систем, в которых динамика подчиняется более быстрым или медленным законам, чем экспоненциальные. В таком случае аномальные изменения динамики лучше всего могут быть описаны функциями Миттаг-Леффлера . ^[4]

Аномальная диффузия — еще одна динамическая система, в которой системы дробного порядка играют важную роль для описания аномального потока в процессе диффузии.

Вязкоупругость — это свойство материала, при котором материал проявляет свою природу между чисто упругим и чистой жидкостью. В случае реальных материалов взаимосвязь между напряжением и деформацией, определяемая законом Гука и законом Ньютона, имеет очевидные недостатки. Поэтому GW Скотт Блэр представил новую взаимосвязь между стрессом и напряжением, определяемую формулой

\sigma (t)=E{D_{t}^{\alpha }}\varepsilon (t),\quad 0<\alpha <1.

^{[ нужна ссылка ]}

В теории хаоса было замечено, что хаос возникает в динамических системах порядка 3 и более. С введением систем дробного порядка некоторые исследователи изучают хаос в системах с общим порядком менее 3. ^[5]

В нейробиологии было обнаружено, что одиночные пирамидные нейроны неокортекса крысы адаптируются со временной шкалой, которая зависит от временной шкалы изменений в статистике стимулов. Эта адаптация в нескольких временных масштабах согласуется с дифференциацией дробного порядка, так что скорость срабатывания нейрона является дробной производной медленно меняющихся параметров стимула. ^[6]

Анализ дробных дифференциальных уравнений

дробного порядка Рассмотрим задачу начального значения :

{_{0}^{C}D_{t}^{\alpha }}x(t)=f(t,x(t)),\quad t\in [0,T],\quad x(0)=x_{0},\quad 0<\alpha <1.

Существование и уникальность

Здесь при условии непрерывности функции f можно преобразовать приведенное выше уравнение в соответствующее интегральное уравнение.

x(t)=x_{0}+{_{0}^{C}D_{t}^{-\alpha }}f(t,x(t))=x_{0}+{\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{t}{\frac {f(s,x(s))\,ds}{(t-s)^{1-\alpha }}},

Можно построить пространство решений и определить с помощью этого уравнения непрерывное собственное отображение в пространстве решений, а затем применить теорему о фиксированной точке , чтобы получить фиксированную точку , которая является решением приведенного выше уравнения.

Численное моделирование

Для численного моделирования решения приведенных выше уравнений Кай Дитхельм предложил дробный линейный многошаговый метод Адамса – Башфорта или квадратурные методы . ^[7]

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Монхе, Консепсьон А. (2010). Системы и управления дробного порядка: основы и приложения . Спрингер. ISBN 9781849963350 .
^ Каттани, Карло; Шривастава, Хари М.; Ян, Сяо-Цзюнь (2015). Дробная динамика . Вальтер де Грюйтер К.Г. п. 31. ISBN 9783110472097 .
^ Jump up to: ^а ^б Винагре, Блас М.; Монже, Калифорния; Кальдерон, Антонио Дж. «Системы дробного порядка и действия по управлению дробным порядком» (PDF) . 41-я конференция IEEE по принятию решений и управлению .
^ Риверо, М. (2011). «Дробная динамика популяций». Прил. Математика. Вычислить . 218 (3): 1089–95. дои : 10.1016/j.amc.2011.03.017 .
^ Пятрас, Иво; Беднарова, Дагмар (2009). «Хаотические системы дробного порядка». Конференция IEEE 2009 г. по новейшим технологиям и автоматизации производства . стр. 1–8. дои : 10.1109/ETFA.2009.5347112 . ISBN 978-1-4244-2727-7 . S2CID 15126209 .
^ Лундстрем, Брайан Н.; Хиггс, Мэтью Х.; Испания, Уильям Дж.; Фэрхолл, Адриенн Л. (ноябрь 2008 г.). «Фракционная дифференцировка неокортикальных пирамидных нейронов» . Природная неврология . 11 (11): 1335–1342. дои : 10.1038/nn.2212 . ISSN 1546-1726 . ПМЦ 2596753 . ПМИД 18931665 .
^ Дитхельм, Кай. «Обзор численных методов дробного исчисления» (PDF) . КНАМ . Проверено 6 сентября 2017 г.

Дальнейшее чтение

Уэст, Брюс; Болонья, Мауро; Григолини, Паоло (2003). «3. Дробная динамика» . Физика фрактальных операторов . Спрингер. стр. 77–120. ISBN 978-0-387-95554-4 .
Заславский, Джордж М. (23 декабря 2004 г.). Гамильтонов хаос и дробная динамика . ОУП Оксфорд. ISBN 978-0-19-852604-9 .
Лакшмикантам, В.; Лила, С.; Деви, Дж. Васундхара (2009). Теория дробных динамических систем . Кембриджский научный. ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
Тарасов, В.Е. (2010). Дробная динамика: приложения дробного исчисления к динамике частиц, полей и сред . Спрингер. ISBN 978-3-642-14003-7 .
Капонетто, Р.; Донгола, Г.; Фортуна, Л.; Пятрас, И. (2010). Системы дробного порядка: приложения для моделирования и управления . Всемирная научная. Бибкод : 2010fosm.book.....C . Архивировано из оригинала 25 марта 2012 г. Проверено 17 октября 2016 г.
Клафтер, Дж.; Лим, Южная Каролина; Мецлер Р., ред. (2011). Дробная динамика. Последние достижения . Всемирная научная. дои : 10.1142/8087 . ISBN 978-981-4340-58-8 .

Ли, Чанпин; Ву, Юйцзян; Йе, Руисонг, ред. (2013). Последние достижения в области прикладной нелинейной динамики с численным анализом: дробная динамика, сетевая динамика, классическая динамика и фрактальная динамика с их численным моделированием . Междисциплинарные математические науки. Том. 15. Всемирная научная. дои : 10.1142/8637 . ISBN 978-981-4436-45-8 .
Игорь Подлубный (27 октября 1998 г.). Дробные дифференциальные уравнения: введение в дробные производные, дробные дифференциальные уравнения, методы их решения и некоторые их приложения . Эльзевир. ISBN 978-0-08-053198-4 .
Миллер, Кеннет С. (1993). Росс, Бертрам (ред.). Введение в дробное исчисление и дробные дифференциальные уравнения . Уайли. ISBN 0-471-58884-9 .
Олдхэм, Кейт Б.; Спаниер, Джером (1974). Дробное исчисление; Теория и приложения дифференциации и интеграции в произвольном порядке . Математика в науке и технике. Том. В. Академическая пресса. ISBN 0-12-525550-0 .

Внешние ссылки

Применение дробного исчисления в автоматическом управлении и робототехнике Учебное пособие по дробному исчислению, системам дробного порядка и теории управления дробного порядка.

[Monje2010-1] Jump up to: ^а ^б Монхе, Консепсьон А. (2010). Системы и управления дробного порядка: основы и приложения . Спрингер. ISBN 9781849963350 .

[Cattani2015-2] Каттани, Карло; Шривастава, Хари М.; Ян, Сяо-Цзюнь (2015). Дробная динамика . Вальтер де Грюйтер К.Г. п. 31. ISBN 9783110472097 .

[Vinagre2002-3] Jump up to: ^а ^б Винагре, Блас М.; Монже, Калифорния; Кальдерон, Антонио Дж. «Системы дробного порядка и действия по управлению дробным порядком» (PDF) . 41-я конференция IEEE по принятию решений и управлению .

[4] Риверо, М. (2011). «Дробная динамика популяций». Прил. Математика. Вычислить . 218 (3): 1089–95. дои : 10.1016/j.amc.2011.03.017 .

[5] Пятрас, Иво; Беднарова, Дагмар (2009). «Хаотические системы дробного порядка». Конференция IEEE 2009 г. по новейшим технологиям и автоматизации производства . стр. 1–8. дои : 10.1109/ETFA.2009.5347112 . ISBN 978-1-4244-2727-7 . S2CID 15126209 .

[6] Лундстрем, Брайан Н.; Хиггс, Мэтью Х.; Испания, Уильям Дж.; Фэрхолл, Адриенн Л. (ноябрь 2008 г.). «Фракционная дифференцировка неокортикальных пирамидных нейронов» . Природная неврология . 11 (11): 1335–1342. дои : 10.1038/nn.2212 . ISSN 1546-1726 . ПМЦ 2596753 . ПМИД 18931665 .

[Diethelm2006-7] Дитхельм, Кай. «Обзор численных методов дробного исчисления» (PDF) . КНАМ . Проверено 6 сентября 2017 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]