Дробное исчисление

Информацию о соответствующем операторе см. в разделе Differentintegral .

Дробное исчисление - это раздел математического анализа , который изучает несколько различных возможностей определения степеней действительных чисел или комплексных чисел степеней дифференцирования . оператора $D$$$Df(x)={\frac {d}{dx}}f(x)\,,$$

и интеграции оператора $J$ $$Jf(x)=\int _{0}^{x}f(s)\,ds\,,$$

и разработать исчисление таких операторов, обобщающее классическое.

В этом контексте термин «степени» относится к итеративному применению линейного оператора. $D$ к функции $f$, то есть неоднократно составляя $D$ с собой, как в $${\begin{aligned}D^{n}(f)&=(\underbrace {D\circ D\circ D\circ \cdots \circ D} _{n})(f)\\&=\underbrace {D(D(D(\cdots D} _{n}(f)\cdots ))).\end{aligned}}$$

Например, можно попросить осмысленной интерпретации $${\sqrt {D}}=D^{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}$$

как аналог функционального квадратного корня для оператора дифференцирования, то есть выражения для некоторого линейного оператора, который при двукратном применении к любой функции будет иметь тот же эффект, что и дифференцирование . В более общем плане можно рассмотреть вопрос определения линейного оператора $$D^{a}$$

для каждого действительного числа $a$ таким образом, что, когда $a$ принимает целое значение $n\in \mathbb {Z}$, оно совпадает с обычным $n$-кратная дифференциация $D$ если $n>0$, и с $n$-я степень $J$ когда $n<0$.

Одна из причин введения и изучения такого рода расширений оператора дифференцирования $D$ заключается в том, что множества операторных степеней $\{D^{a}\mid a\in \mathbb {R} \}$ определенные таким образом, являются непрерывными полугруппами с параметром $a$, из которых исходная дискретная полугруппа $\{D^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \}$ для целого числа $n$ является счетной подгруппой: поскольку непрерывные полугруппы имеют хорошо развитую математическую теорию, их можно применять к другим разделам математики.

Дробные дифференциальные уравнения , также известные как необыкновенные дифференциальные уравнения, являются обобщением дифференциальных уравнений посредством применения дробного исчисления.

Исторические заметки

В прикладной математике и математическом анализе дробная производная — это производная любого произвольного порядка, вещественного или комплексного. Впервые он появляется в письме Гийому де Л'Опиталю Готфрида Вильгельма Лейбница в 1695 году. Примерно в то же время Лейбниц написал одному из братьев Бернулли, описывая сходство между биномиальной теоремой и правилом Лейбница для дробной производной произведения двух функций. Дробное исчисление было введено в одной из Нильса Хенрика Абеля . ранних статей где можно найти все элементы: идею интегрирования и дифференцирования дробного порядка, взаимообратную связь между ними, понимание того, что дифференцирование и интегрирование дробного порядка можно рассматривать как одну и ту же обобщенную операцию, и даже единые обозначения для дифференцирования. и интеграция произвольного реального порядка. Независимо от этого основы этой темы были заложены Лиувиллем в статье 1832 года. Оливер Примерно в 1890 году самоучка Хевисайд представил практическое использование операторов дробного дифференциала при анализе линий электропередачи. Теория и применение дробного исчисления значительно расширились за 19 и 20 века, и многие авторы дали различные определения дробных производных и интегралов.

Вычисление дробного интеграла

Пусть f ( x ) — функция, определенная для x > 0 . Составьте определенный интеграл от 0 до x . Позвони сюда $$(Jf)(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt\,.$$

Повторение этого процесса дает $${\begin{aligned}\left(J^{2}f\right)(x)&=\int _{0}^{x}(Jf)(t)\,dt\\&=\int _{0}^{x}\left(\int _{0}^{t}f(s)\,ds\right)dt\,,\end{aligned}}$$

и это может быть расширено произвольно.

Формула Коши для повторного интегрирования , а именно $$\left(J^{n}f\right)(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{0}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,dt\,,$$прямым путем приводит к обобщению для действительного n .

Использование гамма-функции для устранения дискретности факториальной функции дает нам естественного кандидата на дробное применение интегрального оператора. $$\left(J^{\alpha }f\right)(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}\left(x-t\right)^{\alpha -1}f(t)\,dt\,.$$

На самом деле это четко определенный оператор.

Несложно показать, что оператор J удовлетворяет условию $${\begin{aligned}\left(J^{\alpha }\right)\left(J^{\beta }f\right)(x)&=\left(J^{\beta }\right)\left(J^{\alpha }f\right)(x)\\&=\left(J^{\alpha +\beta }f\right)(x)\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha +\beta )}}\int _{0}^{x}\left(x-t\right)^{\alpha +\beta -1}f(t)\,dt\,.\end{aligned}}$$

показывать Доказательство этой личности

$${\begin{aligned}\left(J^{\alpha }\right)\left(J^{\beta }f\right)(x)&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}(x-t)^{\alpha -1}\left(J^{\beta }f\right)(t)\,dt\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\int _{0}^{x}\int _{0}^{t}\left(x-t\right)^{\alpha -1}\left(t-s\right)^{\beta -1}f(s)\,ds\,dt\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\int _{0}^{x}f(s)\left(\int _{s}^{x}\left(x-t\right)^{\alpha -1}\left(t-s\right)^{\beta -1}\,dt\right)\,ds\end{aligned}}$$ where in the last step we exchanged the order of integration and pulled out the f(s) factor from the t integration. Changing variables to r defined by t = s + (x − s)r,$$\left(J^{\alpha }\right)\left(J^{\beta }f\right)(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\int _{0}^{x}\left(x-s\right)^{\alpha +\beta -1}f(s)\left(\int _{0}^{1}\left(1-r\right)^{\alpha -1}r^{\beta -1}\,dr\right)\,ds$$ The inner integral is the beta function which satisfies the following property:$$\int _{0}^{1}\left(1-r\right)^{\alpha -1}r^{\beta -1}\,dr=B(\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma (\alpha )\,\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}$$ Substituting back into the equation:$${\begin{aligned}\left(J^{\alpha }\right)\left(J^{\beta }f\right)(x)&={\frac {1}{\Gamma (\alpha +\beta )}}\int _{0}^{x}\left(x-s\right)^{\alpha +\beta -1}f(s)\,ds\\&=\left(J^{\alpha +\beta }f\right)(x)\end{aligned}}$$ Interchanging α and β shows that the order in which the J operator is applied is irrelevant and completes the proof.

Это соотношение называется полугрупповым свойством дробных дифференцированных интегральных операторов.

Дробный интеграл Римана – Лиувилля

Классическую форму дробного исчисления дает интеграл Римана – Лиувилля , который по сути является тем, что было описано выше. Теория дробного интегрирования периодических функций (следовательно, включая «граничное условие» повторения после периода) определяется интегралом Вейля . Он определен в ряду Фурье и требует, чтобы постоянный коэффициент Фурье обращался в нуль (таким образом, он применяется к функциям на единичном круге , интегралы которых равны нулю). Интеграл Римана–Лиувилля существует в двух формах: верхней и нижней. Учитывая интервал [ a , b ] , интегралы определяются как $${\begin{aligned}\sideset {_{a}}{_{t}^{-\alpha }}Df(t)&=\sideset {_{a}}{_{t}^{\alpha }}If(t)\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{t}\left(t-\tau \right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau \\\sideset {_{t}}{_{b}^{-\alpha }}Df(t)&=\sideset {_{t}}{_{b}^{\alpha }}If(t)\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{t}^{b}\left(\tau -t\right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau \end{aligned}}$$

Если первое справедливо для t > a , а второе справедливо для t < b .

Было предложено что интеграл на положительной вещественной оси (т.е. $a=0$) было бы более уместно назвать интегралом Абеля – Римана на основе истории открытия и использования, и в том же духе интеграл по всей действительной линии можно было бы назвать интегралом Лиувилля – Вейля.

Напротив, производная Грюнвальда – Летникова начинается с производной, а не с интеграла.

Дробный интеграл Адамара

был Дробный интеграл Адамара введен Жаком Адамаром. и определяется следующей формулой: $$\sideset {_{a}}{_{t}^{-\alpha }}{\mathbf {D} }f(t)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{t}\left(\log {\frac {t}{\tau }}\right)^{\alpha -1}f(\tau ){\frac {d\tau }{\tau }},\qquad t>a\,.$$

Дробный интеграл Атангана – Баляну

Дробный интеграл Атангана – Балеану от непрерывной функции определяется как: $$\sideset {_{{\hphantom {A}}a}^{\operatorname {AB} }}{_{t}^{\alpha }}If(t)={\frac {1-\alpha }{\operatorname {AB} (\alpha )}}f(t)+{\frac {\alpha }{\operatorname {AB} (\alpha )\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{t}\left(t-\tau \right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau$$

Дробные производные

Не путать с фрактальной производной .

К сожалению, аналогичный процесс для производного оператора D значительно сложнее, но можно показать, что D не является ни коммутативным , ни аддитивным . вообще

В отличие от классических ньютоновских производных, дробные производные могут быть определены различными способами, которые часто не приводят к одному и тому же результату даже для гладких функций. Некоторые из них определяются через дробный интеграл. Из-за несовместимости определений часто необходимо четко указывать, какое определение используется.

Дробные производные гауссианы, непрерывно интерполирующие между функцией и ее первой производной.

Дробная производная Римана – Лиувилля

Соответствующая производная вычисляется с использованием правила Лагранжа для дифференциальных операторов. Чтобы найти производную α -го порядка, производная n- го порядка интеграла порядка ( n − α ) вычисляется , где n — наименьшее целое число, большее α (то есть n = ⌈ α ⌉ ). Дробная производная и интеграл Римана-Лиувилля имеют множество применений, например, в случае решения уравнения в случае нескольких систем, таких как системы токамака, и дробный параметр переменного порядка. Подобно определениям интеграла Римана – Лиувилля, производная имеет верхний и нижний варианты. $${\begin{aligned}\sideset {_{a}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)&={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\sideset {_{a}}{_{t}^{-(n-\alpha )}}Df(t)\\&={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\sideset {_{a}}{_{t}^{n-\alpha }}If(t)\\\sideset {_{t}}{_{b}^{\alpha }}Df(t)&={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\sideset {_{t}}{_{b}^{-(n-\alpha )}}Df(t)\\&={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\sideset {_{t}}{_{b}^{n-\alpha }}If(t)\end{aligned}}$$

Дробная производная Капуто

Другим вариантом вычисления дробных производных является дробная производная Капуто. Он был представлен Микеле Капуто в его статье 1967 года. В отличие от дробной производной Римана – Лиувилля, при решении дифференциальных уравнений с использованием определения Капуто нет необходимости определять начальные условия дробного порядка. Определение Капуто иллюстрируется следующим образом, где снова n = ⌈ α ⌉ : $$\sideset {^{C}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)={\frac {1}{\Gamma (n-\alpha )}}\int _{0}^{t}{\frac {f^{(n)}(\tau )}{\left(t-\tau \right)^{\alpha +1-n}}}\,d\tau .$$

Существует дробная производная Капуто, определяемая как: $$D^{\nu }f(t)={\frac {1}{\Gamma (n-\nu )}}\int _{0}^{t}(t-u)^{(n-\nu -1)}f^{(n)}(u)\,du\qquad (n-1)<\nu <n$$который имеет то преимущество, что равен нулю, когда f ( t ) является постоянным, а его преобразование Лапласа выражается посредством начальных значений функции и ее производной. Более того, существует дробная производная Капуто распределенного порядка, определяемая как $${\begin{aligned}\sideset {_{a}^{b}}{^{n}u}Df(t)&=\int _{a}^{b}\phi (\nu )\left[D^{(\nu )}f(t)\right]\,d\nu \\&=\int _{a}^{b}\left[{\frac {\phi (\nu )}{\Gamma (1-\nu )}}\int _{0}^{t}\left(t-u\right)^{-\nu }f'(u)\,du\right]\,d\nu \end{aligned}}$$

где φ ( ν ) — весовая функция, которая используется для математического представления наличия нескольких формализмов памяти.

Дробная производная Капуто – Фабрицио

В статье 2015 года М. Капуто и М. Фабрицио представили определение дробной производной с неособым ядром для функции $f(t)$ из $C^{1}$ предоставлено: $$\sideset {_{{\hphantom {C}}a}^{\text{CF}}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{a}^{t}f'(\tau )\ e^{\left(-\alpha {\frac {t-\tau }{1-\alpha }}\right)}\ d\tau ,$$

где $a<0,\alpha \in (0,1]$.

Дробная производная Атангана – Балеану

В 2016 году Атангана и Балеану предложили дифференциальные операторы, основанные на обобщенной функции Миттаг-Леффлера. $E_{\alpha }$. Целью было ввести дробные дифференциальные операторы с неособым нелокальным ядром. Их дробные дифференциальные операторы приведены ниже в смысле Римана–Лиувилля и Капуто соответственно. Для функции $f(t)$ из $C^{1}$ данный $$\sideset {_{{\hphantom {AB}}a}^{\text{ABC}}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)={\frac {\operatorname {AB} (\alpha )}{1-\alpha }}\int _{a}^{t}f'(\tau )E_{\alpha }\left(-\alpha {\frac {(t-\tau )^{\alpha }}{1-\alpha }}\right)d\tau ,$$

Если функция непрерывна, производная Атанганы–Балеану в смысле Римана–Лиувилля определяется следующим образом: $$\sideset {_{{\hphantom {AB}}a}^{\text{ABC}}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)={\frac {\operatorname {AB} (\alpha )}{1-\alpha }}{\frac {d}{dt}}\int _{a}^{t}f(\tau )E_{\alpha }\left(-\alpha {\frac {(t-\tau )^{\alpha }}{1-\alpha }}\right)d\tau ,$$

Ядро, используемое в дробной производной Атанганы – Балеану, обладает некоторыми свойствами кумулятивной функции распределения. Например, для всех $\alpha \in (0,1]$, функция $E_{\alpha }$ возрастает по реальной линии, сходится к $0$ в $-\infty$, и $E_{\alpha }(0)=1$. Следовательно, мы имеем, что функция $x\mapsto 1-E_{\alpha }(-x^{\alpha })$ — кумулятивная функция распределения вероятностной меры положительных действительных чисел. Таким образом, распределение определено, и любое из его кратных называется распределением Миттаг-Леффлера порядка $\alpha$. Также хорошо известно, что все эти распределения вероятностей абсолютно непрерывны . В частности, функция Миттаг-Леффлера имеет частный случай $E_{1}$, которая является показательной функцией, распределением Миттаг-Леффлера порядка $1$ следовательно, является экспоненциальным распределением . Однако для $\alpha \in (0,1)$ . распределения Миттаг-Леффлера имеют хвост тяжелый Их преобразование Лапласа определяется формулой: $$\mathbb {E} (e^{-\lambda X_{\alpha }})={\frac {1}{1+\lambda ^{\alpha }}},$$

Это прямо означает, что для $\alpha \in (0,1)$, ожидание бесконечно. Кроме того, эти распределения являются геометрически устойчивыми распределениями .

Производная Рисса

Производная Рисса определяется как $${\mathcal {F}}\left\{{\frac {\partial ^{\alpha }u}{\partial \left|x\right|^{\alpha }}}\right\}(k)=-\left|k\right|^{\alpha }{\mathcal {F}}\{u\}(k),$$

где ${\mathcal {F}}$ обозначает преобразование Фурье .

Другие типы

К классическим дробным производным относятся:

• Производные Грюнвальда – Летникова
• Производные Сонина–Летникова
• Производная Лиувилля
• Производная Капуто
• Производная Адамара
• Производная Маршо
• Производная Рисса
• Производная Миллера – Росса
• Производная Вейля
• Производная Эрдели – Кобера
• $F^{\alpha }$-производная

Новые дробные производные включают:

• Производная Коимбры
• Производное катугампола
• Вспомогательные производные
• Производная Дэвидсона
• Производная Чена
• Производная Капуто Фабрицио
• Производные Атангана – Балеано

Природа дробной производной

The $a$-я производная функции $f$ в какой-то момент $x$ является местной собственностью только тогда, когда $a$ является целым числом; это не относится к нецелочисленным степенным производным. Другими словами, нецелая дробная производная от $f$ в $x=c$ зависит от всех значений $f$, даже те, которые находятся далеко от $c$. Поэтому ожидается, что операция дробной производной включает в себя своего рода граничные условия , включающие информацию о дальнейшей функции.

Дробная производная функции порядка $a$ в настоящее время часто определяется с помощью интегральных преобразований Фурье или Меллина .

Обобщения

Оператор Трансильвания – Кобер

Оператор Эрдейи –Кобера — это интегральный оператор, введенный Артуром Эрдели (1940). и Герман Кобер (1940) и дается $${\frac {x^{-\nu -\alpha +1}}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}\left(t-x\right)^{\alpha -1}t^{-\alpha -\nu }f(t)\,dt\,,$$

который обобщает дробный интеграл Римана–Лиувилля и интеграл Вейля.

Функциональное исчисление

В рамках функционального анализа функции f ( D ), изучаются в функциональном исчислении спектральной теории более общие, чем степени . Теория псевдодифференциальных операторов позволяет также рассматривать степени D . Возникающие операторы являются примерами сингулярных интегральных операторов ; а обобщение классической теории на высшие измерения называется теорией потенциалов Рисса . Итак, существует ряд современных теорий, в рамках которых дробное исчисление можно обсуждать . См. также оператор Эрдели–Кобера , важный в функций специальной теории ( Кобер 1940 ), ( Эрдели 1950–1951 ).

Приложения

Дробное сохранение массы

Как описано Уиткрафтом и Меершертом (2008), уравнение дробного сохранения массы необходимо для моделирования потока жидкости, когда контрольный объем недостаточно велик по сравнению с масштабом неоднородности и когда поток внутри контрольного объема является нелинейным. В указанной статье уравнение дробного сохранения массы для потока жидкости выглядит следующим образом: $$-\rho \left(\nabla ^{\alpha }\cdot {\vec {u}}\right)=\Gamma (\alpha +1)\Delta x^{1-\alpha }\rho \left(\beta _{s}+\phi \beta _{w}\right){\frac {\partial p}{\partial t}}$$

Электрохимический анализ

См. Также: Неополярограмма.

При изучении окислительно-восстановительного поведения подложки в растворе к поверхности электрода прикладывают напряжение, вызывающее перенос электронов между электродом и подложкой. Результирующий перенос электрона измеряется как ток. Ток зависит от концентрации подложки на поверхности электрода. По мере расходования субстрата свежий субстрат диффундирует к электроду, как это описано законами диффузии Фика . Преобразование Лапласа второго закона Фика дает обычное дифференциальное уравнение второго порядка (здесь в безразмерной форме): $${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}C(x,s)=sC(x,s)$$

чье решение C ( x , s ) содержит половинную степенную зависимость от s . Взяв производную от C ( x , s ) , а затем обратное преобразование Лапласа, получим следующее соотношение: $${\frac {d}{dx}}C(x,t)={\frac {d^{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}}{dt^{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}}}C(x,t)$$

который связывает концентрацию подложки на поверхности электрода с током. Это соотношение применяется в электрохимической кинетике для объяснения механистического поведения. Например, его использовали для изучения скорости димеризации субстратов при электрохимическом восстановлении.

Проблема с потоком грунтовых вод

В 2013–2014 гг. Атангана и др. описал некоторые проблемы потока подземных вод, используя концепцию производной дробного порядка. В этих работах классический закон Дарси обобщается, рассматривая расход воды как функцию нецелочисленной производной пьезометрического напора. Этот обобщенный закон и закон сохранения массы затем используются для вывода нового уравнения потока подземных вод.

Дробное дисперсионное уравнение адвекции

Это уравнение было показано, что оно полезно для моделирования потока загрязнений в гетерогенных пористых средах.

Атангана и Киликман расширили дисперсионное уравнение дробной адвекции до уравнения переменного порядка. В их работе гидродинамическое дисперсионное уравнение было обобщено с использованием понятия вариационной производной порядка . Модифицированное уравнение решалось численно методом Кранка–Николсона . Устойчивость и сходимость при численном моделировании показали, что модифицированное уравнение более надежно прогнозирует движение загрязнений в деформируемых водоносных горизонтах, чем уравнения с постоянными дробными и целыми производными.

Модели уравнений дробной диффузии во времени и пространстве

Аномальные диффузионные процессы в сложных средах можно хорошо охарактеризовать с помощью моделей уравнений диффузии дробного порядка. Член производной по времени соответствует долговременному распаду тяжелого хвоста, а пространственная производная — диффузионной нелокальности. Уравнение дробной диффузии во времени и пространстве можно записать как $${\frac {\partial ^{\alpha }u}{\partial t^{\alpha }}}=-K(-\Delta )^{\beta }u.$$

Простым расширением дробной производной является дробная производная переменного порядка, α и β заменяются на α ( x , t ) и β ( x , t ) . Его применение в моделировании аномальной диффузии можно найти в ссылке.

Структурные модели демпфирования

Дробные производные используются для моделирования вязкоупругого демпфирования в определенных типах материалов, таких как полимеры.

ПИД-регуляторы

Обобщение ПИД-регуляторов для использования дробных порядков может увеличить степень их свободы. Новое уравнение, связывающее управляющую переменную u ( t ) через измеренное значение ошибки e ( t ), можно записать как $$u(t)=K_{\mathrm {p} }e(t)+K_{\mathrm {i} }D_{t}^{-\alpha }e(t)+K_{\mathrm {d} }D_{t}^{\beta }e(t)$$

где α и β — положительные дробные порядки, а K _p , K _i и K _d , все неотрицательные, обозначают коэффициенты для пропорциональных , целых и производных членов соответственно (иногда обозначаемых P , I и D ).

Уравнения акустических волн для сложных сред

Распространение акустических волн в сложных средах, например в биологических тканях, обычно подразумевает затухание, подчиняющееся степенному закону частоты. Явление такого рода можно описать с помощью причинно-волнового уравнения, которое включает дробные производные по времени: $$\nabla ^{2}u-{\dfrac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}+\tau _{\sigma }^{\alpha }{\dfrac {\partial ^{\alpha }}{\partial t^{\alpha }}}\nabla ^{2}u-{\dfrac {\tau _{\epsilon }^{\beta }}{c_{0}^{2}}}{\dfrac {\partial ^{\beta +2}u}{\partial t^{\beta +2}}}=0\,.$$

См. также Холм и Нэшхольм (2011). и ссылки в нем. Такие модели связаны с общепризнанной гипотезой о том, что явления множественной релаксации приводят к затуханию, измеряемому в сложных средах. Эта ссылка далее описана в Näsholm & Holm (2011b). и в обзорном документе, а также статью об акустическом затухании . См. Холм и Нэшольм (2013). за статью, в которой сравниваются дробные волновые уравнения, моделирующие степенное затухание. Эта книга о степенном затухании также раскрывает эту тему более подробно.

Панди и Холм придали физический смысл дробным дифференциальным уравнениям, выведя их из физических принципов и интерпретировав дробный порядок с точки зрения параметров акустической среды, например, в насыщенных жидкостью зернистых рыхлых морских отложениях. Интересно, что Панди и Холм вывели закон Ломница в сейсмологии и закон Наттинга в неньютоновской реологии, используя структуру дробного исчисления. Закон Наттинга использовался для моделирования распространения волн в морских отложениях с использованием дробных производных.

Дробное уравнение Шредингера в квантовой теории

Дробное уравнение Шредингера , фундаментальное уравнение дробной квантовой механики , имеет следующий вид: $$i\hbar {\frac {\partial \psi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=D_{\alpha }\left(-\hbar ^{2}\Delta \right)^{\frac {\alpha }{2}}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t)\,.$$

где решением уравнения является волновая функция ψ ( r , t ) – квантовомеханическая амплитуда вероятности того, что частица будет иметь заданный вектор положения r в любой момент времени t , а ħ – приведенная постоянная Планка . Функция потенциальной энергии V , ( r ) t зависит от системы.

Дальше, ${\textstyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial \mathbf {r} ^{2}}}}$ — оператор Лапласа , а D _α — масштабная константа с физической размерностью [ D _α ] = J ^{1 − а} ·м ^а ·с ^{− а} = кг ^{1 − а} ·м ^{2 − а} ·с ^{а - 2} , (при α = 2 , ${\textstyle D_{2}={\frac {1}{2m}}}$ для частицы массы m ) и оператор (− ​​ħ ² Д) ^{а /2} - это трехмерная дробная квантовая производная Рисса, определенная формулой $$(-\hbar ^{2}\Delta )^{\frac {\alpha }{2}}\psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{(2\pi \hbar )^{3}}}\int d^{3}pe^{{\frac {i}{\hbar }}\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} }|\mathbf {p} |^{\alpha }\varphi (\mathbf {p} ,t)\,.$$

Индекс α в дробном уравнении Шрёдингера — это индекс Леви, 1 < α ≤ 2 .

Дробное уравнение Шредингера переменного порядка

переменного порядка, являющееся естественным обобщением Дробное уравнение Шредингера дробного уравнения Шредингера, использовалось для изучения дробных квантовых явлений: $$i\hbar {\frac {\partial \psi ^{\alpha (\mathbf {r} )}(\mathbf {r} ,t)}{\partial t^{\alpha (\mathbf {r} )}}}=\left(-\hbar ^{2}\Delta \right)^{\frac {\beta (t)}{2}}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t),$$

где ${\textstyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial \mathbf {r} ^{2}}}}$ – оператор Лапласа и оператор (− ​​ħ ² Д) ^{б ( т )/2} — дробная квантовая производная Рисса переменного порядка.

См. также

• Акустическое затухание
• Авторегрессионное дробно-интегрированное скользящее среднее
• Инициализированное дробное исчисление
• Нелокальный оператор

Другие дробные теории

• Система дробного порядка
• Дробное преобразование Фурье
• Дробное исчисление Прабхакара

Дальнейшее чтение

Статьи по истории дробного исчисления

• Росс, Б. (1975). «Краткая история и изложение фундаментальной теории дробного исчисления». Дробное исчисление и его приложения . Конспект лекций по математике. Том. 457. стр. 1–36. дои : 10.1007/BFb0067096 . ISBN  978-3-540-07161-7 . {{cite book}}: |journal= игнорируется ( помогите )
• Дебнат, Л. (2004). «Краткое историческое введение в дробное исчисление». Международный журнал математического образования в области науки и технологий . 35 (4): 487–501. дои : 10.1080/00207390410001686571 . S2CID   122198977 .
• Тенрейро Мачадо, Дж.; Кирьякова В. ; Майнарди, Ф. (2011). «Новейшая история дробного исчисления». Коммуникации в нелинейной науке и численном моделировании . 16 (3): 1140–1153. Бибкод : 2011CNSNS..16.1140M . дои : 10.1016/j.cnsns.2010.05.027 . hdl : 10400.22/4149 .
• Тенрейро Мачадо, JA; Галхано, AM; Трухильо, Джей-Джей (2013). «Научные показатели развития дробного исчисления с 1966 года». Дробное исчисление и прикладной анализ . 16 (2): 479–500. дои : 10.2478/s13540-013-0030-y . hdl : 10400.22/3773 . S2CID   122487513 .
• Тенрейро Мачадо, JA; Галхано, AMSF; Трухильо, Джей-Джей (2014). «О развитии дробного исчисления за последние пятьдесят лет». Наукометрика . 98 (1): 577–582. дои : 10.1007/s11192-013-1032-6 . hdl : 10400.22/3769 . S2CID   16879651 .
• Рамирес, ЛЕС; Коимбра, CFM (2010). «О выборе и значении операторов переменного порядка для динамического моделирования» . Международный журнал дифференциальных уравнений . 2010 (1): 846107. doi : 10.1155/2010/846107 . hdl : 10.1155/6314 . S2CID   16501850 .

Книги

• Олдхэм, Кейт Б.; Спаниер, Джером (1974). Дробное исчисление; Теория и приложения дифференциации и интеграции в произвольном порядке . Математика в науке и технике. Том. В. Академическая пресса. ISBN  978-0-12-525550-9 .
• Миллер, Кеннет С.; Росс, Бертрам, ред. (1993). Введение в дробное исчисление и дробные дифференциальные уравнения . Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-0-471-58884-9 .
• Самко, С.; Килбас, А.А.; Маричев, О. (1993). Дробные интегралы и производные: теория и приложения . Книги Тейлора и Фрэнсиса. ISBN  978-2-88124-864-1 .
• Карпинтери, А.; Майнарди, Ф., ред. (1998). Фракталы и дробное исчисление в механике сплошных сред . Спрингер-Верлаг Телос. ISBN  978-3-211-82913-4 .
• Игорь Подлубный (27 октября 1998 г.). Дробные дифференциальные уравнения: введение в дробные производные, дробные дифференциальные уравнения, методы их решения и некоторые их приложения . Эльзевир. ISBN  978-0-08-053198-4 .
• Уэст, Брюс Дж.; Болонья, Мауро; Григолини, Паоло (2003). Физика фрактальных операторов . Том. 56. Шпрингер Верлаг. п. 65. Бибкод : 2003ФТ....56л..65Вт . дои : 10.1063/1.1650234 . ISBN  978-0-387-95554-4 . {{cite book}}: |journal= игнорируется ( помогите )
• Майнарди, Ф. (2010). Дробное исчисление и волны в линейной вязкоупругости: введение в математические модели . Издательство Имперского колледжа. дои : 10.1142/p614 . ISBN  978-1-84816-329-4 .
• Тарасов, В.Е. (2010). Дробная динамика: приложения дробного исчисления к динамике частиц, полей и сред . Нелинейная физика. Спрингер. дои : 10.1007/978-3-642-14003-7 . ISBN  978-3-642-14003-7 .
• Чжоу, Ю. (2010). Основная теория дробных дифференциальных уравнений . Сингапур: World Scientific. дои : 10.1142/9069 . ISBN  978-981-4579-89-6 .
• Учайкин, В.В. (2012). Дробные производные для физиков и инженеров . Нелинейная физика. Пресса о высшем образовании. Бибкод : 2013fdpe.book.....U . дои : 10.1007/978-3-642-33911-0 . ISBN  978-3-642-33911-0 .
• Дафтардар-гейджи, Варша (2013). Дробное исчисление: теория и приложения . Издательство Нароса. ISBN  978-8184873337 .
• Шривастава, Хари М (2014). Специальные функции в дробном исчислении и родственные ему дробные дифференциальные уравнения . Сингапур: World Scientific. дои : 10.1142/8936 . ISBN  978-981-4551-10-6 .
• Ли, Чанпин; Цзэн, Фанхай (2015). Численные методы дробного исчисления . США: CRC Press.
• Умаров, С. (2015). Введение в дробные и псевдодифференциальные уравнения с сингулярными символами . Развитие математики. Том. 41. Швейцария: Шпрингер. дои : 10.1007/978-3-319-20771-1 . ISBN  978-3-319-20770-4 .
• Херрманн, Р. (2018). Дробное исчисление - Введение для физиков (3-е изд.). Сингапур: World Scientific. дои : 10.1142/11107 . ISBN  978-981-3274-57-0 . S2CID   242068092 .
• Ли, Чанпин; Цай, Мин (2019). Теория и численные аппроксимации дробных интегралов и производных . СИАМ. дои : 10.1137/1.9781611975888 . ISBN  978-1-61197-587-1 .

Внешние ссылки

• Из MathWorld :
  • Вайсштейн, Эрик В. «Дробное дифференциальное уравнение» . Математический мир .
  • Вайсштейн, Эрик В. «Дробное исчисление» . Математический мир .
  • Вайсштейн, Эрик В. «Дробная производная» . Математический мир .
• «Дробное исчисление» . MathPages.com .
• Специализированные журналы
  • Дробное исчисление и прикладной анализ 1998–2014 гг.
  • Дробное исчисление и прикладной анализ ISSN   1314-2224 2015—
  • Дробное дифференциальное исчисление (FDC) ISSN   1847-9677 2011–
  • Коммуникации в дробном исчислении ISSN   2218-3892
  • Журнал дробного исчисления и приложений (JFCA) ISSN   2090-5858 2011—
• Лоренцо, Карл Ф.; Хартли, Том Т. (2002). «Инициализированное дробное исчисление» . Технические сводки . Исследовательский центр Джона Х. Гленна НАСА.
• Подлубный, Игорь (2010). «Дробное исчисление: Ресурсы» .
• Херрманн, Ричард (2018). «Гигаэдр» . сборник книг, статей, препринтов и т. д.
• Дюгоусон, Стефан (2006). «Метафизические дифференциалы» (на французском языке).
• Ловерро, Адам (2005). «История, определения и приложения для инженера» (PDF) . Университет Нотр-Дам . Архивировано из оригинала (PDF) 29 октября 2005 г.
• Моделирование дробного исчисления
• Вводные замечания по дробному исчислению
• Степенной закон и дробная динамика
• CRONE Toolbox , набор инструментов Matlab и Simulink, посвященный дробному исчислению, который можно бесплатно загрузить.
• Завада, Петр (1998). «Оператор дробной производной в комплексной плоскости». Связь в математической физике . 192 (2): 261–285. arXiv : funct-an/9608002 . Бибкод : 1998CMaPh.192..261Z . дои : 10.1007/s002200050299 . S2CID   1201395 .
• Завада, Петр (2002). «Релятивистские волновые уравнения с дробными производными и псевдодифференциальными операторами» . Журнал прикладной математики . 2 (4): 163–197. arXiv : hep-th/0003126 . дои : 10.1155/S1110757X02110102 . S2CID   6647936 .