Функция Прабхакара

Функция Прабхакара — это некая специальная функция в математике, введенная индийским математиком Тилаком Раджем Прабхакаром в статье, опубликованной в 1971 году. Функция представляет собой трехпараметрическое обобщение хорошо известной в математике двухпараметрической функции Миттаг-Леффлера . Функция изначально была введена для решения некоторых классов интегральных уравнений . Позже было обнаружено, что функция находит применение в теории дробного исчисления , а также в некоторых областях физики.

Определение

Сначала определяются однопараметрические и двухпараметрические функции Миттаг-Леффлера. Затем дается определение трехпараметрической функции Миттаг-Леффлера, функции Прабхакара. В следующих определениях $\Gamma (z)$ – это хорошо известная гамма-функция, определяемая формулой

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-z}\,dz,\quad \Re (z)>0$.

В дальнейшем будет предполагаться, что $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ все это комплексные числа.

Однопараметрическая функция Миттаг-Леффлера

Однопараметрическая функция Миттаг-Леффлера определяется как

$E_{\alpha }(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {z^{n}}{\Gamma (\alpha n+1)}}.$

Двухпараметрическая функция Миттаг-Леффлера

Двухпараметрическая функция Миттаг-Леффлера определяется как

$E_{\alpha ,\beta }(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {z^{n}}{\Gamma (\alpha n+\beta )}},\quad \Re (\alpha )>0.$

Трехпараметрическая функция Миттаг-Леффлера (функция Прабхакара)

Трехпараметрическая функция Миттаг-Леффлера (функция Прабхакара) определяется формулой

$E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(\gamma )_{n}}{n!\Gamma (\alpha n+\beta )}}z^{n},\quad \Re (\alpha )>0$

где $(\gamma )_{n}=\gamma (\gamma +1)\ldots (\gamma +n-1)$.

Элементарные частные случаи

Из определения непосредственно следуют следующие частные случаи.

1. $E_{\alpha ,\beta }^{0}(z)={\frac {1}{\Gamma (\beta )}}$
2. $E_{\alpha ,\beta }^{1}(z)=E_{\alpha ,\beta }(z)$, двухпараметрическая функция Миттаг-Леффлера.
3. $E_{\alpha ,1}^{1}(z)=E_{\alpha }(z)$, однопараметрическая функция Миттаг-Леффлера.
4. $E_{1,1}^{1}(z)=e^{z}$, классическая показательная функция.

Характеристики

Формула приведения

Следующую формулу можно сократить, чтобы уменьшить значение третьего параметра. $\gamma$.

$E_{\alpha ,\beta }^{\gamma +1}(z)={\frac {1}{\alpha \gamma }}{\big [}E_{\alpha ,\beta -1}^{\gamma }(z)+(1-\beta +\alpha \gamma )E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(z){\big ]}$

Связь с функцией Фокса – Райта

Функция Прабхакара связана с функцией Фокса – Райта следующим соотношением:

$E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(z)={\frac {1}{\Gamma (\gamma )}}{}_{1}\Psi _{1}\left({\begin{matrix}\left(\gamma ,1\right)\\(\beta ,\alpha )\end{matrix}};z\right)$

Производные

Производная функции Прабхакара определяется выражением

${\frac {d}{dz}}\left(E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(z)\right)={\frac {1}{\alpha z}}{\big [}E_{\alpha ,\beta -1}^{\gamma }(z)+(1-\beta )E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }{\big ]}$

Существует общее выражение для производных более высокого порядка. Позволять $m$ быть положительным целым числом. $m$-я производная функции Прабхакара определяется выражением

${\frac {d^{m}}{dz^{m}}}\left(E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(z)\right)={\frac {\Gamma (\gamma +m)}{\Gamma (\gamma )}}E_{\alpha ,m\alpha +\beta }^{\gamma +m}(z)$

Следующий результат полезен в приложениях.

${\frac {d^{m}}{dz^{m}}}\left(t^{\beta -1}E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(t^{\alpha }z)\right)=t^{\beta -m-1}E_{\alpha ,\beta -m}^{\gamma }(t^{\alpha }z)$

Интегралы

Известен следующий результат, связанный с функцией Прабхакара.

$\int _{0}^{t}\tau ^{\beta -1}E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(\tau ^{\alpha }z)=t^{\beta }E_{\alpha ,\beta +1}^{\gamma }(t^{\alpha }z)$

Преобразования Лапласа

Следующий результат, включающий преобразования Лапласа, играет важную роль как в физических приложениях, так и в численных вычислениях функции Прабхакара.

$L\left[t^{\beta -1}E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(t^{\alpha }z)\,;\,s\right]={\frac {s^{\alpha \gamma -\beta }}{(s^{\alpha }-z)^{\gamma }}},\quad \Re (s)>0,\quad |s|>|z|^{1/\alpha }$

Дробное исчисление Прабхакара

Следующая функция известна в литературе как ядро ​​Прабхакара.

$e_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(t;\lambda )=t^{\beta -1}E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(t^{\alpha }z)$

Учитывая любую функцию $f(t)$, свертка ядра Прабхакара и $f(t)$ называется дробным интегралом Прабхакара:

$\int _{t_{0}}^{t}(t-u)^{\beta -1}E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }\left(\lambda (t-u)^{\alpha }\right)f(u)\,du$

Свойства дробного интеграла Прабхакара широко изучены в литературе.