Дробные операторы Катугамполы

В математике представляют дробные операторы Катугамполы собой интегральные операторы , которые обобщают дробные операторы Римана–Лиувилля и Адамара в уникальную форму. ^[1]^[2]^[3]^[4] обобщает Дробный интеграл Катугамполы как дробный интеграл Римана – Лиувилля, так и дробный интеграл Адамара в единую форму. Он также тесно связан с дробным интегралом Эрдели – Кобера. ^[5]^[6]^[7]^[8] оператор, обобщающий дробный интеграл Римана–Лиувилля. Дробная производная Катугампола ^[2]^[3]^[4] был определен с использованием дробного интеграла Катугамполы ^[3] и, как и любой другой дробный дифференциальный оператор , он также расширяет возможности получения степеней действительного числа или степени комплексного числа интегрального и дифференциального операторов .

Определения

Эти операторы были определены в следующем расширенном пространстве Лебега.

Позволять ${\textit {X}}_{c}^{p}(a,b),\;c\in \mathbb {R} ,\,1\leq p\leq \infty$ — пространство этих измеримых по Лебегу функций $f$ на $[a,b]$ для чего $\|f\|_{{\textit {X}}_{c}^{p}}<\infty$ , где норма определяется выражением ^[1] ${\begin{aligned}\|f\|_{{\textit {X}}_{c}^{p}}=\left(\int _{a}^{b}|t^{c}f(t)|^{p}{\frac {dt}{t}}\right)^{1/p}<\infty ,\end{aligned}}$ для $1\leq p<\infty ,\,c\in \mathbb {R}$ и для дела $p=\infty$ ${\begin{aligned}\|f\|_{{\textit {X}}_{c}^{\infty }}={\text{ess sup}}_{a\leq t\leq b}[t^{c}|f(t)|],\quad (c\in \mathbb {R} ).\end{aligned}}$

Эквивалентный дробный интеграл

Он определяется через следующие интегралы ^[1]^[2]^[9]^[10]^[11]

({}^{\rho }{\mathcal {I}}_{a+}^{\alpha }f)(x)={\frac {\rho ^{1-\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{x}{\frac {\tau ^{\rho -1}f(\tau )}{(x^{\rho }-\tau ^{\rho })^{1-\alpha }}}\,d\tau ,

( 1 )

для $x>a$ и $\operatorname {Re} (\alpha )>0.$ Этот интеграл называется левосторонним дробным интегралом. Аналогично, правосторонний дробный интеграл определяется формулой:

({}^{\rho }{\mathcal {I}}_{b-}^{\alpha }f)(x)={\frac {\rho ^{1-\alpha }}{\Gamma ({\alpha })}}\int _{x}^{b}{\frac {\tau ^{\rho -1}f(\tau )}{(\tau ^{\rho }-x^{\rho })^{1-\alpha }}}\,d\tau .

( 2 )

для $\textstyle x<b$ и $\textstyle \operatorname {Re} (\alpha )>0$ .

Это дробные обобщения $n$ -сложите левый и правый интегралы вида

\int _{a}^{x}t_{1}^{\rho -1}\,dt_{1}\int _{a}^{t_{1}}t_{2}^{\rho -1}\,dt_{2}\cdots \int _{a}^{t_{n-1}}t_{n}^{\rho -1}f(t_{n})\,dt_{n}

и

\int _{x}^{b}t_{1}^{\rho -1}\,dt_{1}\int _{t_{1}}^{b}t_{2}^{\rho -1}\,dt_{2}\cdots \int _{t_{n-1}}^{b}t_{n}^{\rho -1}f(t_{n})\,dt_{n}

для

\textstyle n\in \mathbb {N} ,

соответственно. Несмотря на то, что рассматриваемые интегральные операторы очень похожи на знаменитый оператор Эрдейи–Кобера , получить дробные интегралы Адамара как прямое следствие операторов Эрдейи–Кобера невозможно. Также существует соответствующая дробная производная, которая обобщает Римана–Лиувилля и дробные производные Адамара . Как и в случае с дробными интегралами, это не относится к оператору Эрдейи–Кобера.

Дробная производная Катугампола

Как и в случае других дробных производных, он определяется через дробный интеграл Катугамполы. ^[3]^[9]^[10]^[11]

Позволять $\alpha \in \mathbb {C} ,\ \operatorname {Re} (\alpha )\geq 0,n=[\operatorname {Re} (\alpha )]+1$ и $\rho >0.$ Обобщенные дробные производные, соответствующие обобщенным дробным интегралам ( 1 ) и ( 2 ), определяются соответственно для $0\leq a<x<b\leq \infty$ , к

Полупроизводная функции $f(x)=x^{0.5}$ для дробной производной Катугамполы.

Полупроизводная функции $f(x)=x^{\nu }$ для дробной производной Катугамполы для $\alpha =0.5$ и $\rho =2$ .

{\begin{aligned}{\big (}{}^{\rho }{\mathcal {D}}_{a+}^{\alpha }f{\big )}(x)&={\bigg (}x^{1-\rho }\,{\frac {d}{dx}}{\bigg )}^{n}\,\,{\big (}{}^{\rho }{\mathcal {I}}_{a+}^{n-\alpha }f{\big )}(x)\\&={\frac {\rho ^{\alpha -n+1}}{\Gamma ({n-\alpha })}}\,{\bigg (}x^{1-\rho }\,{\frac {d}{dx}}{\bigg )}^{n}\int _{a}^{x}{\frac {\tau ^{\rho -1}f(\tau )}{(x^{\rho }-\tau ^{\rho })^{\alpha -n+1}}}\,d\tau ,\end{aligned}}

и

{\begin{aligned}{\big (}{}^{\rho }{\mathcal {D}}_{b-}^{\alpha }f{\big )}(x)&={\bigg (}-x^{1-\rho }\,{\frac {d}{dx}}{\bigg )}^{n}\,\,{\big (}{}^{\rho }{\mathcal {I}}_{b-}^{n-\alpha }f{\big )}(x)\\&={\frac {\rho ^{\alpha -n+1}}{\Gamma ({n-\alpha })}}{\bigg (}-x^{1-\rho }{\frac {d}{dx}}{\bigg )}^{n}\int _{x}^{b}{\frac {\tau ^{\rho -1}f(\tau )}{(\tau ^{\rho }-x^{\rho })^{\alpha -n+1}}}\,d\tau ,\end{aligned}}

соответственно, если интегралы существуют.

Эти операторы обобщают дробные производные Римана–Лиувилля и Адамара в единую форму, а дробная производная Эрдели–Кобера является обобщением дробной производной Римана–Лиувилля. ^[3] Когда, $b=\infty$ Дробные производные называются типа Вейля производными .

Дробная производная Капуто – Катугамполы

Существует модификация производного Катугамполы типа Капуто, которая теперь известна как дробная производная Капуто-Катугамполы. ^[12]^[13]Позволять $f\in L^{1}[a,b],\alpha \in (0,1]$ и $\rho$ . Дробная производная CK порядка $\alpha$ функции $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ,$ относительно параметра $\rho$ может быть выражено как

{}^{C}{\mathcal {D}}_{a+}^{\alpha ,\rho }f(t)={\frac {\rho ^{\alpha }t^{1-\alpha }}{\Gamma (1-\alpha )}}{\frac {d}{dt}}\int _{a}^{t}{\frac {s^{\rho -1}}{(t^{\rho }-s^{\rho })^{\alpha }}}{\big [}f(s)-f(a){\big ]}\,ds.

Оно удовлетворяет следующему результату. Предположим, что $f\in C^{1}[a,b]$ , то производная CK имеет следующий эквивалентный вид ^{[ нужна ссылка ]}

{}^{C}{\mathcal {D}}_{a+}^{\alpha ,\rho }f(t)={\frac {\rho ^{\alpha }}{\Gamma (1-\alpha )}}\int _{a}^{t}{\frac {f^{\prime }(s)}{(t^{\rho }-s^{\rho })^{\alpha }}}ds.

Дробная производная Хильфера – Катугампола

Еще одним недавним обобщением является дробная производная Хильфера-Катугамполы . ^[14]^[15] Пусть закажет $0<\alpha <1$ и введите $0\leq {\beta }\leq {1}$ . Дробная производная (левосторонняя/правосторонняя),относительно $x$ , с $\rho >0$ , определяется

{\begin{aligned}({^{\rho }{\mathcal {D}}_{a\pm }^{\alpha ,\beta }}\varphi )(x)&=\left(\pm \,{^{\rho }{\mathcal {J}}_{a\pm }^{\beta (1-\alpha )}}\left(t^{\rho -1}{\frac {d}{dt}}\right){^{\rho }{\mathcal {J}}_{a\pm }^{(1-\beta )(1-\alpha )}}\varphi \right)(x)\\&=\left(\pm \,{^{\rho }{\mathcal {J}}_{a\pm }^{\beta (1-\alpha )}}\delta _{\rho }\,{^{\rho }{\mathcal {J}}_{a\pm }^{(1-\beta )(1-\alpha )}}\varphi \right)(x),\end{aligned}}

где $\delta _{\rho }=t^{\rho -1}{\frac {d}{dt}}$ , для функций $\varphi$ в котором выражение в правой части существует, где ${\mathcal {J}}$ - обобщенный дробный интеграл приведено в ( 1 ).

Средняя трансформация

Как и в случае с преобразованиями Лапласа , преобразования Меллина будут использоваться специально при решении дифференциальных уравнений . Преобразования Меллина левосторонней и правосторонней версий интегральных операторов Катугамполы имеют вид ^[2]^[4]

Теорема

Позволять $\alpha \in {\mathcal {C}},\ \operatorname {Re} (\alpha )>0,$ и $\rho >0.$ Затем, ${\begin{aligned}&{\mathcal {M}}{\bigg (}{}^{\rho }{\mathcal {I}}_{a+}^{\alpha }f{\bigg )}(s)={\frac {\Gamma {\big (}1-{\frac {s}{\rho }}-\alpha {\big )}}{\Gamma {\big (}1-{\frac {s}{\rho }}{\big )}\,\rho ^{\alpha }}}\,{\mathcal {M}}f(s+\alpha \rho ),\quad \operatorname {Re} (s/\rho +\alpha )<1,\,x>a,\\&{\mathcal {M}}{\bigg (}{}^{\rho }{\mathcal {I}}_{b-}^{\alpha }f{\bigg )}(s)={\frac {\Gamma {\big (}{\frac {s}{\rho }}{\big )}}{\Gamma {\big (}{\frac {s}{\rho }}+\alpha {\big )}\,\rho ^{\alpha }}}\,{\mathcal {M}}f(s+\alpha \rho ),\quad \operatorname {Re} (s/\rho )>0,\,x<b,\end{aligned}}$

для $f\in {\textit {X}}_{s+\alpha \rho }^{1}(\mathbb {R} ^{+})$ , если ${\mathcal {M}}f(s+\alpha \rho )$ существует для $s\in \mathbb {C}$ .

Неравенства типа Эрмита-Адамара

Операторы Катугамполы удовлетворяют следующим неравенствам типа Эрмита-Адамара: ^[16]

Теорема

Позволять $\alpha >0$ и $\rho >0$ . Если $f$ является выпуклой функцией на $[a,b]$ , затем $f\left({\frac {a+b}{2}}\right)\leq {\frac {\rho ^{\alpha }\Gamma (\alpha +1)}{4(b^{\alpha }-a^{\alpha })^{\alpha }}}\left[{}^{\rho }{\mathcal {I}}_{a+}^{\alpha }F(b)+{}^{\rho }{\mathcal {I}}_{b-}^{\alpha }F(a)\right]\leq {\frac {f(a)+f(b)}{2}},$ где $F(x)=f(x)+f(a+b-x),\;x\in [a,b]$ .

Когда $\rho \rightarrow 0^{+}$ , в приведенном выше результате справедливо следующее неравенство типа Адамара: ^[16]

Следствие

Позволять $\alpha >0$ . Если $f$ является выпуклой функцией на $[a,b]$ , затем $f\left({\frac {a+b}{2}}\right)\leq {\frac {\Gamma (\alpha +1)}{4\left(\ln {\frac {b}{a}}\right)^{\alpha }}}\left[\mathbf {I} _{a+}^{\alpha }F(b)+\mathbf {I} _{b-}^{\alpha }F(a)\right]\leq {\frac {f(a)+f(b)}{2}},$ где $\mathbf {I} _{a+}^{\alpha }$ и $\mathbf {I} _{b-}^{\alpha }$ — левые и правые дробные интегралы Адамара .

Недавнее развитие

Эти операторы упоминались в следующих работах:

Дробное исчисление. Введение для физиков , Ричард Херрманн ^[17]
Дробное исчисление вариаций в терминах обобщенного дробного интеграла с приложениями к физике , Татьяна Одзевичевич, Агнешка Б. Малиновска и Дельфим Ф.М. Торрес, Аннотация и прикладной анализ, том 2012 (2012), номер статьи 871912, 24 страницы ^[18]
Введение в дробное вариационное исчисление , Агнешка Б. Малиновска и Дельфим Ф.М. Торрес, Imperial College Press, 2015 г.
Расширенные методы дробного вариационного исчисления , Малиновская, Агнешка Б., Одзевич, Татьяна, Торрес, Delfim FM, Springer, 2015
Формулы разложения в терминах производных целого порядка для дробного интеграла и производной Адамара , Шакур Пус, Рикардо Алмейда и Дельфим Ф.М. Торрес, Численный функциональный анализ и оптимизация, том 33, выпуск 3, 2012, стр. 301–319. ^[19]

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с Катугампола, Удита Н. (2011). «Новый подход к обобщенному дробному интегралу». Прикладная математика и вычислительная техника . 218 (3): 860–865. arXiv : 1010.0742 . дои : 10.1016/j.amc.2011.03.062 . S2CID 27479409 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Катугампола, Удита Н. (2011). Об обобщенных дробных интегралах и производных , к.т.н. Диссертация, Университет Южного Иллинойса, Карбондейл, август 2011 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Катугампола, Удита Н. (2014), « Новый подход к обобщенным дробным производным » (PDF) , Bull. Математика. Анальный. Приложение. , 6 (4): 1–15, МР 3298307
^ Jump up to: ^а ^б ^с Катугампола, Удита Н. (2015). «Преобразования Меллина обобщенных дробных интегралов и производных». Прикладная математика и вычислительная техника . 257 : 566–580. arXiv : 1112.6031 . дои : 10.1016/j.amc.2014.12.067 . S2CID 28000114 .
^ Эрдели, Артур (1950–51). «О некоторых функциональных преобразованиях». Отчеты математического семинара Туринского университета и политехнического института . 10 : 217–234. МР 0047818 .
^ Кобер, Герман (1940). «О дробных интегралах и производных». Ежеквартальный журнал математики (Оксфордская серия) . 11 (1): 193–211. Бибкод : 1940QJMat..11..193K . дои : 10.1093/qmath/os-11.1.193 .
^ Дробные интегралы и производные: теория и приложения , Самко, С.; Килбас, А.А.; и Маричев О. Твердый переплет: 1006 страниц. Издатель: Тейлор и Фрэнсис Букс. ISBN 2-88124-864-0
^ Теория и приложения дробных дифференциальных уравнений , Килбас, А.А.; Шривастава, HM; и Трухильо, Дж. Дж. Амстердам, Нидерланды, Elsevier, февраль 2006 г. ISBN 0-444-51832-0
^ Jump up to: ^а ^б Тайпраюн, Чаттай; Нтуяс, Сотирис К; Тарибун, Джессада (2015). «О нелокальных условиях дробного интеграла Катугамполы для дробного уравнения Ланжевена» . Достижения в разностных уравнениях . 2015 . дои : 10.1186/s13662-015-0712-3 .
^ Jump up to: ^а ^б Алмейда, Р.; Бастос, Н. (2016). «Аппроксимационная формула для интеграла Катугамполы» (PDF) . Дж. Математика. Анал . 7 (1): 23–30. arXiv : 1512.03791 . Бибкод : 2015arXiv151203791A . Архивировано из оригинала (PDF) 4 марта 2016 г. Проверено 2 января 2016 г.
^ Jump up to: ^а ^б Катугампола, Удита. «Сайт Google» . Проверено 11 ноября 2017 г. {{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется |journal= ( помощь )
^ Алмейда, Рикардо (2017). «Вариационные задачи с дробной производной типа Капуто». Журнал теории оптимизации и приложений . 174 (1): 276–294. arXiv : 1601.07376 . дои : 10.1007/s10957-016-0883-4 . S2CID 6350899 .
^ Цзэн, Шэн-Да; Баляну, Дмитрий; Бай, Юнру; Ву, Гочэн (2017). «Дробные дифференциальные уравнения типа Капуто – Катугамполы и численные решения». Прикладная математика и вычислительная техника . 315 : 549–554. дои : 10.1016/j.amc.2017.07.003 .
^ Оливейра, Д.С.; Капелас де Оливейра, Э. (2017). «Дробная производная Хильфера-Катугампола». arXiv : 1705.07733 [ math.CA ].
^ Бхайрат, Сандип П.; Даигуде, Д.Б. (2017). «Существование и устойчивость дробных дифференциальных уравнений, включающих обобщенную производную Катугамполы». arXiv : 1709.08838 [ math.CA ].
^ Jump up to: ^а ^б М. Джлели; Д. О'Риган; Б. Самет (2016). «О неравенствах типа Эрмита-Адамара с помощью обобщенных дробных интегралов» (PDF) . Турецкий математический журнал . 40 : 1221–1230. дои : 10.3906/mat-1507-79 .
^ Дробное исчисление. Введение для физиков , Ричард Херрманн. Твердый переплет. Издательство: World Scientific, Сингапур; (февраль 2011 г.) ISBN 978-981-4340-24-3
^ Одзевич, Татьяна; Малиновская, Агнешка Б.; Торрес, Дельфим FM (2012). «Дробное вариационное исчисление в терминах обобщенного дробного интеграла с приложениями к физике» . Аннотация и прикладной анализ . 2012 : 1–24. arXiv : 1203.1961 . дои : 10.1155/2012/871912 . S2CID 8270676 .
^ Пусех, Шакур; Алмейда, Рикардо; Торрес, Дельфим FM (2012). «Формулы разложения через производные целого порядка для дробного интеграла и производной Адамара». Численный функциональный анализ и оптимизация . 33 (3): 301. arXiv : 1112.0693 . дои : 10.1080/01630563.2011.647197 . S2CID 119144021 .

Дальнейшее чтение

Миллер, Кеннет С. (1993). Росс, Бертрам (ред.). Введение в дробное исчисление и дробные дифференциальные уравнения . Уайли. ISBN 0-471-58884-9 .
Олдхэм, Кейт Б.; Спаниер, Джером (1974). Дробное исчисление; Теория и приложения дифференциации и интеграции в произвольном порядке . Математика в науке и технике. Том. В. Академическая пресса. ISBN 0-12-525550-0 .
Подлубный, Игорь (1998). Дробные дифференциальные уравнения. Введение в дробные производные, дробно-дифференциальные уравнения, некоторые методы их решения и некоторые их приложения . Математика в науке и технике. Том. 198. Академическая пресса. ISBN 0-12-558840-2 .
Херрманн, Ричард (2011). Дробное исчисление. Введение для физиков . Всемирная научная. ISBN 978-981-4340-24-3 .
Мачадо, Джей Ти; Кирьякова В.; Майнарди, Ф. (2011). «Новейшая история дробного исчисления» (PDF) . Коммуникации в нелинейной науке и численном моделировании . 16 (3): 1140. Бибкод : 2011CNSNS..16.1140M . дои : 10.1016/j.cnsns.2010.05.027 . hdl : 10400.22/4149 . Архивировано из оригинала (PDF) 20 октября 2013 г. Проверено 2 января 2016 г.

Примечания

CRONE (R) Toolbox, набор инструментов Matlab и Simulink, предназначенный для дробного исчисления, можно загрузить по адресу http://cronetoolbox.ims-bordeaux.fr.

[Integral-1] Jump up to: ^а ^б ^с Катугампола, Удита Н. (2011). «Новый подход к обобщенному дробному интегралу». Прикладная математика и вычислительная техника . 218 (3): 860–865. arXiv : 1010.0742 . дои : 10.1016/j.amc.2011.03.062 . S2CID 27479409 .

[dist-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Катугампола, Удита Н. (2011). Об обобщенных дробных интегралах и производных , к.т.н. Диссертация, Университет Южного Иллинойса, Карбондейл, август 2011 г.

[derivative-3] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Катугампола, Удита Н. (2014), « Новый подход к обобщенным дробным производным » (PDF) , Bull. Математика. Анальный. Приложение. , 6 (4): 1–15, МР 3298307

[tran-4] Jump up to: ^а ^б ^с Катугампола, Удита Н. (2015). «Преобразования Меллина обобщенных дробных интегралов и производных». Прикладная математика и вычислительная техника . 257 : 566–580. arXiv : 1112.6031 . дои : 10.1016/j.amc.2014.12.067 . S2CID 28000114 .

[erdelyi-5] Эрдели, Артур (1950–51). «О некоторых функциональных преобразованиях». Отчеты математического семинара Туринского университета и политехнического института . 10 : 217–234. МР 0047818 .

[Kober-6] Кобер, Герман (1940). «О дробных интегралах и производных». Ежеквартальный журнал математики (Оксфордская серия) . 11 (1): 193–211. Бибкод : 1940QJMat..11..193K . дои : 10.1093/qmath/os-11.1.193 .

[Samko-7] Дробные интегралы и производные: теория и приложения , Самко, С.; Килбас, А.А.; и Маричев О. Твердый переплет: 1006 страниц. Издатель: Тейлор и Фрэнсис Букс. ISBN 2-88124-864-0

[KilSri-8] Теория и приложения дробных дифференциальных уравнений , Килбас, А.А.; Шривастава, HM; и Трухильо, Дж. Дж. Амстердам, Нидерланды, Elsevier, февраль 2006 г. ISBN 0-444-51832-0

[langevin-9] Jump up to: ^а ^б Тайпраюн, Чаттай; Нтуяс, Сотирис К; Тарибун, Джессада (2015). «О нелокальных условиях дробного интеграла Катугамполы для дробного уравнения Ланжевена» . Достижения в разностных уравнениях . 2015 . дои : 10.1186/s13662-015-0712-3 .

[appro-10] Jump up to: ^а ^б Алмейда, Р.; Бастос, Н. (2016). «Аппроксимационная формула для интеграла Катугамполы» (PDF) . Дж. Математика. Анал . 7 (1): 23–30. arXiv : 1512.03791 . Бибкод : 2015arXiv151203791A . Архивировано из оригинала (PDF) 4 марта 2016 г. Проверено 2 января 2016 г.

[googlesite-11] Jump up to: ^а ^б Катугампола, Удита. «Сайт Google» . Проверено 11 ноября 2017 г. {{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется |journal= ( помощь )

[12] Алмейда, Рикардо (2017). «Вариационные задачи с дробной производной типа Капуто». Журнал теории оптимизации и приложений . 174 (1): 276–294. arXiv : 1601.07376 . дои : 10.1007/s10957-016-0883-4 . S2CID 6350899 .

[13] Цзэн, Шэн-Да; Баляну, Дмитрий; Бай, Юнру; Ву, Гочэн (2017). «Дробные дифференциальные уравнения типа Капуто – Катугамполы и численные решения». Прикладная математика и вычислительная техника . 315 : 549–554. дои : 10.1016/j.amc.2017.07.003 .

[14] Оливейра, Д.С.; Капелас де Оливейра, Э. (2017). «Дробная производная Хильфера-Катугампола». arXiv : 1705.07733 [ math.CA ].

[15] Бхайрат, Сандип П.; Даигуде, Д.Б. (2017). «Существование и устойчивость дробных дифференциальных уравнений, включающих обобщенную производную Катугамполы». arXiv : 1709.08838 [ math.CA ].

[H-H-16] Jump up to: ^а ^б М. Джлели; Д. О'Риган; Б. Самет (2016). «О неравенствах типа Эрмита-Адамара с помощью обобщенных дробных интегралов» (PDF) . Турецкий математический журнал . 40 : 1221–1230. дои : 10.3906/mat-1507-79 .

[17] Дробное исчисление. Введение для физиков , Ричард Херрманн. Твердый переплет. Издательство: World Scientific, Сингапур; (февраль 2011 г.) ISBN 978-981-4340-24-3

[18] Одзевич, Татьяна; Малиновская, Агнешка Б.; Торрес, Дельфим FM (2012). «Дробное вариационное исчисление в терминах обобщенного дробного интеграла с приложениями к физике» . Аннотация и прикладной анализ . 2012 : 1–24. arXiv : 1203.1961 . дои : 10.1155/2012/871912 . S2CID 8270676 .

[19] Пусех, Шакур; Алмейда, Рикардо; Торрес, Дельфим FM (2012). «Формулы разложения через производные целого порядка для дробного интеграла и производной Адамара». Численный функциональный анализ и оптимизация . 33 (3): 301. arXiv : 1112.0693 . дои : 10.1080/01630563.2011.647197 . S2CID 119144021 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]