Амплитуда вероятности

Эта статья об амплитуде вероятности в квантовой механике. Чтобы узнать о других значениях, см. Амплитуда (значения) .

Волновая функция одного электрона на 5d- орбитали атома водорода . электрона Твердое тело показывает места, где плотность вероятности превышает определенное значение (здесь 0,02 нм). ⁻³ ): рассчитывается на основе амплитуды вероятности. Оттенок . цветной поверхности показывает сложную фазу волновой функции

В квантовой механике амплитуда вероятности — это комплексное число, используемое для описания поведения систем. Квадрат модуля этой величины представляет собой плотность вероятности .

Амплитуды вероятности обеспечивают связь между квантовым вектором состояния системы и результатами наблюдений этой системы. Эта связь была впервые предложена Максом Борном в 1926 году. Интерпретация значений волновой функции как амплитуды вероятности является основой теории Копенгагенская интерпретация квантовой механики. Фактически, свойства пространства волновых функций использовались для физических предсказаний (например, излучения атомов с определенными дискретными энергиями) до того, как была предложена какая-либо физическая интерпретация конкретной функции. За это понимание Борн был удостоен половины Нобелевской премии по физике 1954 года , и вычисленную таким образом вероятность иногда называют «вероятностью Борна». Эти вероятностные концепции, а именно плотность вероятности и квантовые измерения , в то время активно оспаривались первыми физиками, работавшими над этой теорией, такими как Шрёдингер и Эйнштейн . Это источник загадочных последствий и философских трудностей в интерпретации квантовой механики — темы, которые продолжают обсуждаться даже сегодня.

Физический обзор

Если пренебречь некоторыми техническими сложностями, то проблема квантового измерения заключается в поведении квантового состояния, для которого значение наблюдаемой Q измеряемой является неопределенным . Такое состояние считается когерентной суперпозицией наблюдаемой собственных состояний , состояний, в которых значение наблюдаемой определяется однозначно, для различных возможных значений наблюдаемой.

измерение Q Когда производится , система (в соответствии с Копенгагенской интерпретацией ) переходит в одно из собственных состояний , возвращая собственное значение, принадлежащее этому собственному состоянию. Систему всегда можно описать линейной комбинацией или суперпозицией этих собственных состояний с неравными «весами» . Интуитивно понятно, что с большей «вероятностью» будут созданы собственные состояния с более тяжелыми «весами». Действительно, в какое из вышеперечисленных собственных состояний переходит система, задается вероятностным законом: вероятность перехода системы в это состояние пропорциональна абсолютному значению квадрата соответствующего числового веса. Эти числовые веса называются амплитудами вероятности, и это соотношение, используемое для расчета вероятностей из заданных чистых квантовых состояний (таких как волновые функции), называется правилом Борна .

Ясно, что сумма вероятностей, равная сумме абсолютных квадратов амплитуд вероятностей, должна равняться 1. Это требование нормализации .

Если известно, что система находится в некотором собственном состоянии Q (например, после наблюдения соответствующего собственного значения Q ), вероятность наблюдения этого собственного значения становится равной 1 (определенно) для всех последующих измерений Q (при условии, что нет других важных силы действуют между измерениями). Другими словами, амплитуды вероятности равны нулю для всех остальных собственных состояний и остаются равными нулю для будущих измерений. Если набор собственных состояний, к которым система может перейти при измерении Q, такой же, как набор собственных состояний для измерения R , то последующие измерения либо Q , либо R всегда дают одни и те же значения с вероятностью 1, независимо от порядка. в которых они применяются. На амплитуды вероятности ни одно из измерений не влияет, и говорят, что наблюдаемые коммутируют .

Напротив, если собственные состояния Q и R различны, то измерение R приводит к переходу в состояние, которое не является собственным Q. состоянием Следовательно, если известно, что система находится в некотором собственном состоянии Q (все амплитуды вероятности равны нулю, за исключением одного собственного состояния), то при наблюдении R амплитуды вероятности изменяются. Второе, последующее наблюдение Q уже не обязательно дает собственное значение, соответствующее начальному состоянию. Другими словами, амплитуды вероятности для второго измерения Q зависят от того, происходит ли оно до или после измерения R , и две наблюдаемые не коммутируют .

формулировка

См. Также: Связанное состояние § Определение

В формальной установке состояние изолированной физической системы в квантовой механике представляется в фиксированный момент времени. $t$вектором состояния |Ψ⟩, принадлежащим сепарабельному комплексному гильбертовому пространству . Используя обозначение Бракета, связь между вектором состояния и « базисом позиции ». $\{|x\rangle \}$ гильбертова пространства можно записать как

$\psi (x)=\langle x|\Psi \rangle$.

Его связь с наблюдаемой можно объяснить, обобщив квантовое состояние. $\psi$ к измеримой функции и области ее определения к заданному σ -конечному пространству с мерой $(X,{\mathcal {A}},\mu )$. Это позволяет уточнить теорему Лебега о разложении , разлагая µ на ​​три взаимно сингулярные части.

$\mu =\mu _{\mathrm {ac} }+\mu _{\mathrm {sc} }+\mu _{\mathrm {pp} }$

где µac _µpp непрерывна относительно меры Лебега, µsc _– сингулярна относительно меры Лебега и безатомна, а абсолютно _чисто точечная мера.

Непрерывные амплитуды

Обычное представление амплитуды вероятности представляет собой волновую функцию. $\psi$ принадлежащий к Л ² пространство ( классов эквивалентности ) суммируемых с квадратом функций , т. е. $\psi$ принадлежит Л ² ( X ) тогда и только тогда, когда

$\|\psi \|^{2}=\int _{X}|\psi (x)|^{2}\,dx<\infty$.

Если норма равна 1 и $|\psi (x)|^{2}\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ такой, что

$\int _{X}|\psi (x)|^{2}\,dx\equiv \int _{X}\,d\mu _{ac}(x)=1$,

затем $|\psi (x)|^{2}$ — это функция плотности вероятности для измерения положения частицы в данный момент времени, определяемая как производная Радона – Никодима по мере Лебега (например, на множестве R всех действительных чисел ). Поскольку вероятность — безразмерная величина, | ψ ( Икс ) | ² должен иметь размерность, обратную размерности переменной интегрирования x . Например, указанная выше амплитуда имеет размерность [L ^−1/2 ], где L представляет длину .

В то время как гильбертово пространство является сепарабельным тогда и только тогда, когда оно допускает счетный ортонормированный базис, образ непрерывной случайной величины $x$ представляет собой несчетное множество (т.е. вероятность того, что система находится «в позиции $x$" всегда будет нулем ). Таким образом, собственные состояния наблюдаемой не обязательно должны быть измеримыми функциями, принадлежащими L ² ( X ) (см. условие нормировки ниже). Типичным примером является оператор позиции ${\hat {\mathrm {x} }}$ определяется как

$\langle x|{\hat {\mathrm {x} }}|\Psi \rangle ={\hat {\mathrm {x} }}\langle x|\Psi \rangle =x_{0}\psi (x),\quad x\in \mathbb {R} ,$

чьи собственные функции являются дельта-функциями Дирака

$\psi (x)=\delta (x-x_{0})$

которые явно не принадлежат L ² ( Х ) . Однако при замене пространства состояний подходящим оснащенным гильбертовым пространством строгое понятие собственных состояний из спектральной теоремы , а также спектрального разложения . сохраняется

Дискретные амплитуды

Позволять $\mu _{pp}$ быть атомарным (т.е. множество $A\subset X$ в ${\mathcal {A}}$ это атом ); определяя меру любой дискретной переменной x ∈ A , равную 1 . Амплитуды состоят из вектора состояния |Ψ⟩ индексированного , A ; его компоненты обозначены ψ ( x ) для единообразия с предыдущим случаем. Если ℓ ² -норма равна |Ψ⟩ 1, то | ψ ( Икс ) | ² — функция вероятностной массы .

Удобное конфигурационное пространство X таково, что каждая точка дает некоторое уникальное значение наблюдаемой Q. x Для дискретного X все элементы стандартного базиса являются собственными векторами Q это означает, что . Затем $\psi (x)$ — амплитуда вероятности собственного состояния | х ⟩ . Если оно соответствует невырожденному собственному значению Q , то $|\psi (x)|^{2}$ дает вероятность соответствующего значения Q для начального состояния |Ψ⟩ .

| ψ ( Икс ) | = 1 тогда и только тогда, когда | x ⟩ — то же квантовое состояние, что и |Ψ⟩ . ψ ( x ) = 0 тогда и только тогда, когда | x ⟩ и | ортогональны Ψ⟩ . В противном случае модуль ψ ( x ) находится в диапазоне от 0 до 1.

Дискретную амплитуду вероятности можно рассматривать как основную частоту в частотной области вероятности ( сферические гармоники ) в целях упрощения вычислений преобразования М-теории . Дискретные динамические переменные используются в таких задачах, как частица в идеализированном отражающем ящике и квантовый гармонический осциллятор .

Примеры

Примером дискретного случая является квантовая система, которая может находиться в двух возможных состояниях , например поляризация фотона , . Когда поляризация измеряется, это может быть горизонтальное состояние. $|H\rangle$ или вертикальное состояние $|V\rangle$. Пока его поляризация не будет измерена, фотон может находиться в суперпозиции обоих этих состояний, поэтому его состояние $|\psi \rangle$ можно было бы записать как

$|\psi \rangle =\alpha |H\rangle +\beta |V\rangle$,

с $\alpha$ и $\beta$ амплитуды вероятности состояний $|H\rangle$ и $|V\rangle$ соответственно. Когда измеряется поляризация фотона, результирующее состояние бывает либо горизонтальным, либо вертикальным. Но в случайном эксперименте вероятность быть горизонтально поляризованным равна $|\alpha |^{2}$, а вероятность быть вертикально поляризованным равна $|\beta |^{2}$.

Следовательно, фотон в состоянии ${\textstyle |\psi \rangle ={\sqrt {\frac {1}{3}}}|H\rangle -i{\sqrt {\frac {2}{3}}}|V\rangle }$ будет иметь вероятность ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$ выйти горизонтально поляризованным, и вероятность ${\textstyle {\frac {2}{3}}}$ иметь вертикальную поляризацию при совокупности выполнении измерений. Однако порядок таких результатов совершенно случайен.

Другой пример — квантовый спин. Если прибор для измерения вращения направлен вдоль оси z и, следовательно, способен измерить z-компоненту вращения ( ${\textstyle \sigma _{z}}$), для измерения спина «вверх» и «вниз» должно быть верно следующее:

$\sigma _{z}|u\rangle =(+1)|u\rangle$

$\sigma _{z}|d\rangle =(-1)|d\rangle$

Если предположить, что система подготовлена ​​так, что +1 прописан в ${\textstyle \sigma _{x}}$ а затем прибор вращают для измерения ${\textstyle \sigma _{z}}$, имеет место следующее:

${\begin{aligned}\langle r|u\rangle &=\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\langle u|+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\langle d|\right)\cdot |u\rangle \\&=\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right)\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{aligned}}$

Амплитуда вероятности измерения спина вверх определяется выражением ${\textstyle \langle r|u\rangle }$, поскольку система имела начальное состояние ${\textstyle |r\rangle }$. Вероятность измерения ${\textstyle |u\rangle }$ дается

$P(|u\rangle )=\langle r|u\rangle \langle u|r\rangle =\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}$

Что согласуется с экспериментом.

Нормализация

В приведенном выше примере измерение должно давать либо | Ч ⟩ или | V ⟩ , поэтому полная вероятность измерения | Ч ⟩ или | V ⟩ должно быть равно 1. Это приводит к ограничению, согласно которому α ² + б ² = 1 ; в более общем смысле сумма квадратов модулей амплитуд вероятности всех возможных состояний равна единице . Если понимать «все возможные состояния» как ортонормированный базис , что имеет смысл в дискретном случае, то это условие совпадает с описанным выше условием нормы-1 .

Всегда можно разделить любой ненулевой элемент гильбертова пространства на его норму и получить нормированный вектор состояния. Не каждая волновая функция принадлежит гильбертовому пространству L ² ( Х ) , однако. Волновые функции, удовлетворяющие этому ограничению, называются нормируемыми .

Уравнение Шредингера , описывающее состояния квантовых частиц, имеет решения, которые описывают систему и точно определяют, как состояние изменяется со временем . Предположим, что волновая функция ψ ( x , t ) дает описание частицы (положение x в данный момент времени t ). Волновая функция интегрируема с квадратом, если

$\int |\psi (\mathbf {x} ,t)|^{2}\,\mathrm {d\mathbf {x} } =a^{2}<\infty .$

После нормализации волновая функция по-прежнему представляет то же состояние и поэтому по определению равна

$\psi (\mathbf {x} ,t):={\frac {\psi (\mathbf {x} ,t)}{a}}.$

Согласно стандартной копенгагенской интерпретации , нормированная волновая функция дает амплитуды вероятности положения частицы. Следовательно, ρ ( x ) знак равно | ψ ( Икс , т ) | ² представляет собой функцию плотности вероятности , а вероятность того, что частица находится в объеме V в фиксированный момент времени t , определяется выражением

$P_{\mathbf {x} \in V}(t)=\int _{V}|\psi (\mathbf {x} ,t)|^{2}\,\mathrm {d\mathbf {x} } =\int _{V}\rho (\mathbf {x} )\,\mathrm {d\mathbf {x} } .$

Функция плотности вероятности не меняется со временем, поскольку эволюция волновой функции диктуется уравнением Шредингера и, следовательно, является полностью детерминированной. Это ключ к пониманию важности этой интерпретации: для данной постоянной массы частицы ) и потенциала уравнение Шрёдингера полностью определяет _{, начального ψ(x, t0} последующие волновые функции . Вышеупомянутое затем дает вероятности местонахождения частицы во все последующие моменты времени.

В контексте двухщелевого эксперимента

Основная статья: Эксперимент с двумя щелями

Амплитуды вероятности имеют особое значение, поскольку они действуют в квантовой механике как эквивалент обычных вероятностей со многими аналогичными законами, как описано выше. Например, в классическом эксперименте с двумя щелями электроны случайным образом вылетают в две щели, и распределение вероятности обнаружения электронов во всех частях большого экрана, расположенного за щелями, подвергается сомнению. Интуитивный ответ заключается в том, что P (через любую щель) = P (через первую щель) + P (через вторую щель) , где P (событие) — вероятность этого события. Это очевидно, если предположить, что электрон проходит через любую щель. Когда не установлена ​​измерительная аппаратура, определяющая, через какую щель проходят электроны, наблюдаемое распределение вероятностей на экране отражает интерференционную картину , свойственную световым волнам. Если предположить, что вышеуказанный закон верен, то эту закономерность невозможно объяснить. Нельзя сказать, что частицы проходят через любую из щелей, и простое объяснение не работает. Однако правильное объяснение заключается в связи амплитуд вероятности с каждым событием. Комплексные амплитуды, которые представляют электрон, проходящий через каждую щель ( ψ _первый и ψ _второй ) подчиняются закону именно той формы, которую ожидали: ψ _total = ψ _первый + ψ _второй . Это принцип квантовой суперпозиции . Вероятность, которая представляет собой квадрат модуля амплитуды вероятности, в таком случае следует интерференционной картине при условии, что амплитуды являются комплексными:

$$P=\left|\psi _{\text{first}}+\psi _{\text{second}}\right|^{2}=\left|\psi _{\text{first}}\right|^{2}+\left|\psi _{\text{second}}\right|^{2}+2\left|\psi _{\text{first}}\right|\left|\psi _{\text{second}}\right|\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2}).$$

Здесь, $\varphi _{1}$ и $\varphi _{2}$являются аргументами ψ первого _{второго} и ψ _{соответственно} . Чисто реальная формулировка имеет слишком мало измерений, чтобы описать состояние системы с учетом суперпозиции. То есть без аргументов об амплитудах мы не можем описать фазозависимую интерференцию. Решающий термин ${\textstyle 2\left|\psi _{\text{first}}\right|\left|\psi _{\text{second}}\right|\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})}$ называется «интерференционным членом», и его бы не было, если бы мы добавили вероятности.

Однако можно разработать эксперимент, в котором экспериментатор наблюдает, через какую щель проходит каждый электрон. Тогда из-за коллапса волновой функции интерференционная картина на экране не наблюдается.

Можно пойти дальше и разработать эксперимент, в котором экспериментатор избавится от этой «информации о пути» с помощью «квантового ластика» . Тогда, согласно копенгагенской интерпретации , снова применяется случай А и интерференционная картина восстанавливается.

Сохранение вероятностей

Основная статья: Вероятностный ток

Интуитивно, поскольку нормированная волновая функция остается нормированной при развитии согласно волновому уравнению, будет существовать связь между изменением плотности вероятности положения частицы и изменением амплитуды в этих положениях.

Определим вероятностный ток (или поток) j как

$\mathbf {j} ={\hbar \over m}{1 \over {2i}}\left(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*}\right)={\hbar \over m}\operatorname {Im} \left(\psi ^{*}\nabla \psi \right),$

измеряется в единицах (вероятность)/(площадь × время).

Тогда ток удовлетворяет уравнению

$\nabla \cdot \mathbf {j} +{\partial \over \partial t}|\psi |^{2}=0.$

Плотность вероятности $\rho =|\psi |^{2}$, это уравнение представляет собой в точности уравнение неразрывности , встречающееся во многих ситуациях в физике, когда нам нужно описать локальное сохранение величин. Лучший пример - классическая электродинамика, где j соответствует плотности тока, соответствующей электрическому заряду, а плотность - это плотность заряда. Соответствующее уравнение непрерывности описывает локальное сохранение зарядов .

Композитные системы

Для двух квантовых систем с пространствами L ² ( Х ₁ ) и Л ² ( X ₂ ) и заданных состояниях |Ψ ₁ ⟩ и |Ψ ₂ ⟩ соответственно, их объединенное состояние |Ψ ₁ ⟩   ⊗   |Ψ ₂ ⟩ может быть выражено как ψ ₁ ( x ₁ ) ψ ₂ ( x ₂ ) функция от X ₁   ×   X ₂ , что дает произведение соответствующих вероятностных мер . Другими словами, амплитуды незапутанного составного состояния являются произведениями исходных амплитуд, и соответствующие наблюдаемые в системах 1 и 2 ведут себя в этих состояниях как независимые случайные величины . Это усиливает вероятностную интерпретацию, изложенную выше .

Амплитуды в операторах

Понятие амплитуд также используется в контексте теории рассеяния , особенно в форме S-матриц . В то время как квадраты модулей векторных компонентов для данного вектора дают фиксированное распределение вероятностей, квадраты модулей матричных элементов интерпретируются как вероятности перехода, как и в случайном процессе. Подобно тому, как конечномерный единичный вектор задает конечное распределение вероятностей, конечномерная унитарная матрица определяет вероятности перехода между конечным числом состояний.

«Переходная» интерпретация может быть применена к L ² s и в недискретных пространствах.

См. также

• Значение ожидания (квантовая механика)
• Свободная частица
• Конечный потенциальный барьер
• Волна материи
• Формулировка фазового пространства
• Принцип неопределенности
• Амплитуда вероятности Уорда
• Волновой пакет

Ссылки

• Бойерле, Жерар Г.А.; де Керф, Эдди А. (1990). Алгебры Ли, Часть 1: Конечно- и бесконечномерные алгебры Ли и их приложения в физике . Исследования по математической физике. Амстердам: Северная Голландия. ISBN  0-444-88776-8 .
• де ла Мадрид Модино, Р. (2001). Квантовая механика на языке оснащенного гильбертова пространства (кандидатская диссертация). Университет Вальядолида.
• Фейнман, Р.П.; Лейтон, РБ; Сэндс, М. (1989). «Амплитуда вероятности» . Фейнмановские лекции по физике . Том. 3. Редвуд-Сити: Аддисон-Уэсли. ISBN  0-201-51005-7 .
• Гаддер, Стэнли П. (1988). Квантовая вероятность . Сан-Диего: Академическая пресса. ISBN  0-12-305340-4 .
• Саймон, Барри (2005). Ортогональные многочлены на единичной окружности. Часть 1. Классическая теория . Публикации коллоквиума Американского математического общества. Том. 54. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-3446-6 . МР   2105088 .
• Тешль, Г. (2014). Математические методы в квантовой механике . Провиденс (Род-Айленд): Американское математическое соц. ISBN  978-1-4704-1704-8 .
• Цвибах, Бартон (2022). Освоение квантовой механики . Кембридж, Массачусетс: MIT Press. ISBN  978-0-262-04613-8 .