Проективное гильбертово пространство

В математике и основах квантовой механики проективное гильбертово пространство или лучевое пространство. $\mathbf {P} (H)$ комплексного гильбертова пространства $H$ — множество классов эквивалентности $[v]$ ненулевых векторов $v\in H$, для отношения эквивалентности $\sim$ на $H$ данный

$w\sim v$ тогда и только тогда, когда $v=\lambda w$ для некоторого ненулевого комплексного числа $\lambda$.

Это обычная конструкция проективизации , примененная к комплексному гильбертовому пространству. В квантовой механике классы эквивалентности $[v]$ их еще называют лучами или проективными лучами .

Обзор

См. Также: Теорема Вигнера § Лучи и лучевое пространство.

Физический смысл проективного гильбертова пространства состоит в том, что в квантовой теории волновые функции $\psi$ и $\lambda \psi$ представляют одно и то же физическое состояние для любого $\lambda \neq 0$. Правило Борна требует, чтобы, если система является физической и измеримой, ее волновая функция имеет единичную норму , $\langle \psi |\psi \rangle =1$, и в этом случае она называется нормированной волновой функцией . Ограничение единичной нормы не полностью определяет $\psi$ внутри луча, поскольку $\psi$ можно умножить на любое $\lambda$ с абсолютным значением 1 ( группа кругов $U(1)$ действие) и сохраняют свою нормализацию. Такой $\lambda$ можно записать как $\lambda =e^{i\phi }$ с $\phi$ называется глобальной фазой .

Лучи, отличающиеся таким $\lambda$ соответствуют одному и тому же состоянию (ср. квантовое состояние (алгебраическое определение) , учитывая C*-алгебру наблюдаемых и представление на $H$). Никакое измерение не может восстановить фазу луча; это не заметно. Один говорит, что $U(1)$ является калибровочной группой первого рода.

Если $H$ является неприводимым представлением алгебры наблюдаемых, то лучи индуцируют чистые состояния . Выпуклые линейные комбинации лучей естественным образом порождают матрицы плотности, которые (все еще в случае неприводимого представления) соответствуют смешанным состояниям.

В случае $H$ конечномерен, т. е. $H=H_{n}$гильбертово пространство сводится к конечномерному пространству внутреннего произведения , а набор проективных лучей можно рассматривать как комплексное проективное пространство ; это однородное пространство для унитарной группы $\mathrm {U} (n)$. То есть,

$\mathbf {P} (H_{n})=\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n-1}$,

который несет в себе метрику Кэлера , называемую метрикой Фубини–Студи , полученную из нормы гильбертова пространства.

Таким образом, проективизация, например, двумерного комплексного гильбертова пространства (пространства, описывающего один кубит ) представляет собой комплексную проективную линию $\mathbb {C} \mathbf {P} ^{1}$. Это известно как сфера Блоха или, что то же самое, сфера Римана . см. в разделе «Расслоение Хопфа» Подробности конструкции проективизации в этом случае .

Продукт

Декартово произведение проективных гильбертовых пространств не является проективным пространством. — Отображение Сегре это вложение декартова произведения двух проективных пространств в проективное пространство, связанное с тензорным произведением двух гильбертовых пространств, заданное формулой $\mathbf {P} (H)\times \mathbf {P} (H')\to \mathbf {P} (H\otimes H'),([x],[y])\mapsto [x\otimes y]$. В квантовой теории оно описывает, как создавать состояния сложной системы из состояний ее составляющих. Это всего лишь вложение , а не сюръекция; большая часть пространства тензорного произведения не лежит в его диапазоне и представляет собой запутанные состояния .

См. также

• Комплексное проективное пространство
• Проективное представление
• Проективное пространство , для понятия в целом

Ссылки

• Аштекар, Абхай; Шиллинг, Трой А. (1999). «Геометрическая формулировка квантовой механики». На пути Эйнштейна . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. arXiv : gr-qc/9706069 . дои : 10.1007/978-1-4612-1422-9_3 . ISBN  978-1-4612-7137-6 .
• Чирелли, Р; Ланзавеккья, П; Мания, А (1983). «Нормальные чистые состояния алгебры фон Неймана ограниченных операторов как многообразия Кэлера». Журнал физики A: Математический и общий . 16 (16). Издательство ИОП: 3829–3835. Бибкод : 1983JPhA...16.3829C . дои : 10.1088/0305-4470/16/16/020 . ISSN   0305-4470 .
• Конг, Отто CW; Лю, Вэй-Инь (2021). «Некоммутативная координатная картина квантового фазового пространства». Китайский физический журнал . 71 . Эльзевир Б.В.: 418. arXiv : 1903.11962 . Бибкод : 2021ChJPh..71..418K . дои : 10.1016/j.cjph.2021.03.014 . S2CID   85543324 .
• Миранда, Рик (1995). Алгебраические кривые и римановы поверхности . Провиденс (Род-Айленд): Американское математическое соц. ISBN  0-8218-0268-2 .