Прямоугольный потенциальный барьер

В квантовой механике прямоугольный волново (или, иногда, квадратный ) потенциальный барьер — стандартная одномерная задача, демонстрирующая явления -механического туннелирования (также называемого «квантовым туннелированием») и волново-механического отражения. Задача состоит в решении одномерного нестационарного уравнения Шредингера для частицы, столкнувшейся с прямоугольным потенциальным энергетическим барьером. Обычно, как и здесь, предполагается, что свободная частица сталкивается с барьером слева.

Хотя классически частица, ведущая себя как точечная масса , будет отражаться, если ее энергия меньше $V_{0}$, частица, фактически ведущая себя как волна материи, имеет ненулевую вероятность проникнуть через барьер и продолжить свое движение как волна на другой стороне. В классической волновой физике этот эффект известен как затухающая связь волн . Вероятность того, что частица пройдет через барьер, определяется коэффициентом пропускания , тогда как вероятность того, что она отразится, определяется коэффициентом отражения . Волновое уравнение Шрёдингера позволяет вычислить эти коэффициенты.

Расчет

Рассеяние на конечном потенциальном барьере высоты $V_{0}$. Указаны амплитуды и направление движущихся левых и правых волн. Красным цветом обозначены волны, использованные для определения амплитуды отражения и передачи. $E>V_{0}$ для этой иллюстрации.

Нестационарное уравнение Шредингера для волновой функции $\psi (x)$ читает $${\hat {H}}\psi (x)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V(x)\right]\psi (x)=E\psi (x)$$где ${\hat {H}}$ является гамильтонианом , $\hbar$ это (уменьшенный) постоянная Планка , $m$ это масса , $E$ энергия частицы и $$V(x)=V_{0}[\Theta (x)-\Theta (x-a)]$$барьерный потенциал с высотой $V_{0}>0$ и ширина $a$. $\Theta (x)=0,\;x<0;\;\Theta (x)=1,\;x>0$– ступенчатая функция Хевисайда , т.е. $$V(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<0\\V_{0}&{\text{if }}0<x<a\\0&{\text{if }}a<x\end{cases}}$$

Барьер расположен между $x=0$ и $x=a$. Барьер можно переместить в любое $x$ позицию без изменения результатов. Первый член гамильтониана ${\textstyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi }$ это кинетическая энергия.

Барьер делит пространство на три части ( $x<0,0<x<a,x>a$). В любой из этих частей потенциал постоянен, а это означает, что частица квазисвободна, а решение уравнения Шрёдингера можно записать в виде суперпозиции левых и правых движущихся волн (см. свободная частица ). Если $E>V_{0}$$${\begin{cases}\psi _{L}(x)=A_{r}e^{ik_{0}x}+A_{l}e^{-ik_{0}x}&x<0\\\psi _{C}(x)=B_{r}e^{ik_{1}x}+B_{l}e^{-ik_{1}x}&0<x<a\\\psi _{R}(x)=C_{r}e^{ik_{0}x}+C_{l}e^{-ik_{0}x}&x>a\end{cases}}$$где волновые числа связаны с энергией соотношением $${\begin{cases}k_{0}={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}&x<0\quad {\text{or}}\quad x>a\\k_{1}={\sqrt {2m(E-V_{0})/\hbar ^{2}}}&0<x<a.\end{cases}}$$

Индекс $r/l$ по коэффициентам $A$ и $B$ обозначает направление вектора скорости. Обратите внимание, что если энергия частицы ниже высоты барьера, $k_{1}$ становится мнимой, а волновая функция экспоненциально затухает внутри барьера. Тем не менее мы сохраняем обозначения $r/l$ хотя в этом случае волны больше не распространяются. Здесь мы предположили $E\neq V_{0}$. Дело $E=V_{0}$ рассматривается ниже.

Коэффициенты $A,B,C$ должны быть найдены из граничных условий волновой функции при $x=0$ и $x=a$. Волновая функция и ее производная должны быть непрерывны всюду, поэтому $${\begin{aligned}\psi _{L}(0)&=\psi _{C}(0)\\\left.{\frac {d\psi _{L}}{dx}}\right|_{x=0}&=\left.{\frac {d\psi _{C}}{dx}}\right|_{x=0}\\\psi _{C}(a)&=\psi _{R}(a)\\\left.{\frac {d\psi _{C}}{dx}}\right|_{x=a}&=\left.{\frac {d\psi _{R}}{dx}}\right|_{x=a}.\end{aligned}}$$

Подставляя волновые функции, граничные условия дают следующие ограничения на коэффициенты

$$A_{r}+A_{l}=B_{r}+B_{l}$$$$ik_{0}(A_{r}-A_{l})=ik_{1}(B_{r}-B_{l})$$$$B_{r}e^{iak_{1}}+B_{l}e^{-iak_{1}}=C_{r}e^{iak_{0}}+C_{l}e^{-iak_{0}}$$$$ik_{1}\left(B_{r}e^{iak_{1}}-B_{l}e^{-iak_{1}}\right)=ik_{0}\left(C_{r}e^{iak_{0}}-C_{l}e^{-iak_{0}}\right).$$

Передача и отражение

На этом этапе поучительно сравнить ситуацию с классическим случаем. В обоих случаях частица ведет себя как свободная частица вне барьерной области. Классическая частица с энергией $E$ больше высоты барьера $V_{0}$ пройдет всегда барьер, и классическая частица с $E<V_{0}$ инцидент на барьере всегда будет отражен.

Для изучения квантового случая рассмотрим следующую ситуацию: частица падает на барьер с левой стороны ( $A_{r}$). Это может быть отражено ( $A_{l}$) или передается ( $C_{r}$).

Чтобы найти амплитуды отражения и пропускания при падении слева, мы подставляем приведенные выше уравнения $A_{r}=1$ (входящая частица), $A_{l}=r$ (отражение), $C_{l}=0$ (нет входящей частицы справа), и $C_{r}=t$ (передача инфекции). Затем исключим коэффициенты $B_{l},B_{r}$ из уравнения и решить $r$ и $t$.

Результат:

$$t={\frac {4k_{0}k_{1}e^{-ia(k_{0}-k_{1})}}{(k_{0}+k_{1})^{2}-e^{2iak_{1}}(k_{0}-k_{1})^{2}}}$$$$r={\frac {(k_{0}^{2}-k_{1}^{2})\sin(ak_{1})}{2ik_{0}k_{1}\cos(ak_{1})+(k_{0}^{2}+k_{1}^{2})\sin(ak_{1})}}.$$

Благодаря зеркальной симметрии модели амплитуды падения справа такие же, как и слева. Заметим, что эти выражения справедливы для любой энергии $E>0$, $E\neq V_{0}$. Если $E=V_{0}$, затем $k_{1}=0$, поэтому в обоих этих выражениях есть особенность.

Анализ полученных выражений

Е < В ₀

Вероятность передачи через конечный потенциальный барьер для ${\textstyle {\sqrt {2mV_{0}}}a/\hbar }$ = 1, 3 и 7. Пунктир: классический результат. Сплошная линия: квантовомеханический результат.

Удивительным результатом является то, что для энергий, меньших высоты барьера, $E<V_{0}$ существует ненулевая вероятность $$T=|t|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {V_{0}^{2}\sinh ^{2}(k_{1}a)}{4E(V_{0}-E)}}}}$$

чтобы частица прошла через барьер, при этом ${\textstyle k_{1}={\sqrt {2m(V_{0}-E)/\hbar ^{2}}}}$. Этот эффект, отличающийся от классического случая, называется квантовым туннелированием . Передача экспоненциально подавляется с увеличением ширины барьера, что можно понять из функционального вида волновой функции: вне барьера она колеблется с волновым вектором $k_{0}$, тогда как внутри барьера оно экспоненциально затухает на расстоянии $1/k_{1}$. Если барьер намного шире этой длины распада, левая и правая части практически независимы и, как следствие, туннелирование подавляется.

Е > В ₀

В этом случае $$T=|t|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {V_{0}^{2}\sin ^{2}(k_{1}a)}{4E(E-V_{0})}}}},$$где ${\textstyle k_{1}={\sqrt {2m(E-V_{0})/\hbar ^{2}}}}$.

Не менее удивительно то, что для энергий, превышающих высоту барьера, $E>V_{0}$, частица может отразиться от барьера с ненулевой вероятностью $$R=|r|^{2}=1-T.$$

Вероятности передачи и отражения фактически колеблются в зависимости от $k_{1}a$. Классический результат идеальной передачи без какого-либо отражения ( $T=1$, $R=0$) воспроизводится не только в пределе высоких энергий $E\gg V_{0}$ но и когда энергия и ширина барьера удовлетворяют $k_{1}a=n\pi$, где $n=1,2,\dots$ (см. вершины вблизи $E/V_{0}=1.2$ и 1,8 на рисунке выше). Обратите внимание, что написанные вероятности и амплитуды относятся к любой энергии (выше/ниже) высоты барьера.

Е = В ₀

Вероятность передачи при $E=V_{0}$ является $$T={\frac {1}{1+ma^{2}V_{0}/2\hbar ^{2}}}.$$

константам, Это выражение можно получить, вычислив коэффициент прохождения по указанным выше как и в остальных случаях, или взяв предел $T$ как $E$ подходы $V_{0}$. Для этого соотношение

$$x={\frac {E}{V_{0}}}$$

определен, который используется в функции $f(x)$:

$$f(x)={\frac {\sinh(v_{0}{\sqrt {1-x}})}{\sqrt {1-x}}}$$

В последнем уравнении $v_{0}$ определяется следующим образом:

$$v_{0}={\sqrt {\frac {2mV_{0}a^{2}}{\hbar ^{2}}}}$$

Эти определения можно вставить в выражение для $T$ что было получено для случая $E<V_{0}$.

$$T(x)={\frac {1}{1+{\frac {f(x)^{2}}{4x}}}}$$

Теперь при лимита расчете $f(x)$ когда x приближается к 1 (с использованием правила Лопиталя ),

$\lim _{x\to 1}f(x)=\lim _{x\to 1}{\frac {\sinh(v_{0}{\sqrt {1-x}})}{(1-x)}}=\lim _{x\to 1}{\frac {{\frac {d}{dx}}\sinh(v_{0}{\sqrt {1-x}})}{{\frac {d}{dx}}{\sqrt {1-x}}}}=v_{0}\cosh(0)=v_{0}$

также предел $T(x)$ как $x$ подходы 1 можно получить:

$\lim _{x\to 1}T(x)=\lim _{x\to 1}{\frac {1}{1+{\frac {f(x)^{2}}{4x}}}}={\frac {1}{1+{\frac {v_{0}^{2}}{4}}}}$

Подставив приведенное выше выражение для $v_{0}$ в оцененном значении предела приведенное выше выражение для T успешно воспроизводится.

Замечания и приложения

Представленный выше расчет на первый взгляд может показаться нереальным и вряд ли полезным. Однако она оказалась подходящей моделью для множества реальных систем. Одним из таких примеров являются интерфейсы между двумя проводящими материалами. В объеме материалов движение электронов квазисвободно и может быть описано кинетическим членом приведенного выше гамильтониана с эффективной массой $m$. Часто поверхности таких материалов покрыты оксидными слоями или не идеальны по другим причинам. Этот тонкий непроводящий слой затем можно смоделировать с помощью барьерного потенциала, как указано выше. Электроны могут затем туннелировать из одного материала в другой, вызывая ток.

Работа сканирующего туннельного микроскопа (СТМ) основана на этом туннельном эффекте. В этом случае барьер возникает из-за зазора между кончиком СТМ и лежащим под ним объектом. Поскольку туннельный ток экспоненциально зависит от ширины барьера, это устройство чрезвычайно чувствительно к изменениям высоты исследуемого образца.

Вышеуказанная модель является одномерной, а пространство – трехмерным. Необходимо решить уравнение Шредингера в трех измерениях. С другой стороны, многие системы изменяются только в одном направлении координат и трансляционно инвариантны в остальных; они разделены . Тогда уравнение Шрёдингера можно свести к рассматриваемому здесь случаю с помощью анзаца для волновой функции типа: $\Psi (x,y,z)=\psi (x)\phi (y,z)$.

Чтобы узнать о другой связанной модели барьера, см. Дельта-потенциальный барьер (QM) , который можно рассматривать как частный случай конечного потенциального барьера. Все результаты из этой статьи немедленно применимы к дельта-потенциальному барьеру, если принять пределы $V_{0}\to \infty ,\;a\to 0$ сохраняя при этом $V_{0}a=\lambda$ постоянный.

См. также

• Морзе / Дальний потенциал
• Потенциал шага
• Конечная потенциальная яма

Ссылки

• Гриффитс, Дэвид Дж. (2004). Введение в квантовую механику (2-е изд.) . Прентис Холл. ISBN  0-13-111892-7 .
• Коэн-Таннуджи, Клод; Диу, Бернар; Лалоэ, Франк; и др. (1996). Квантовая механика . перевод с французского Сьюзен Рид Хемли. Wiley-Interscience: Wiley. стр. 231–233 . ISBN  978-0-471-56952-7 .