Конечная потенциальная яма

Конечная потенциальная яма (также известная как конечная квадратная яма ) — это концепция квантовой механики . Это расширение бесконечной потенциальной ямы , в которой частица заключена в «коробку», но имеющую конечные потенциальные «стенки». В отличие от бесконечной потенциальной ямы, существует вероятность, связанная с тем, что частица окажется вне ящика. Квантово-механическая интерпретация отличается от классической интерпретации, согласно которой, если полная энергия частицы меньше потенциального энергетического барьера стенок, ее нельзя найти вне ящика. В квантовой интерпретации существует ненулевая вероятность того, что частица окажется вне ящика, даже если энергия частицы меньше потенциального энергетического барьера стенок (ср. квантовое туннелирование ).

Частица в одномерной потенциальной яме

Для одномерного случая на x оси независимое от времени уравнение Шредингера можно записать как:

$$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi =E\psi$$ ( 1 )

где

• $\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$ – приведенная постоянная Планка,
• $h$ — постоянная Планка ,
• $m$ - масса частицы,
• $\psi$ — это (комплексная) волновая функция , которую мы хотим найти,
• $V(x)$ — функция, описывающая потенциальную энергию в каждой точке x , и
• $E$ — это энергия , действительное число, иногда называемое собственной энергией.

Для случая частицы в одномерном ящике длиной L потенциал равен $V_{0}$ вне поля и ноль для x между $-L/2$ и $L/2$. Считается, что волновая функция состоит из разных волновых функций в разных диапазонах x , в зависимости от того, находится ли x внутри или снаружи ящика. Следовательно, волновая функция определяется так, что: $$\psi ={\begin{cases}\psi _{1},&{\text{if }}x<-L/2{\text{ (the region outside the well)}}\\\psi _{2},&{\text{if }}-L/2<x<L/2{\text{ (the region inside the well)}}\\\psi _{3},&{\text{if }}x>L/2{\text{ (the region outside the well)}}\end{cases}}$$

Внутри коробки

Для области внутри прямоугольника V ( x ) = 0 и уравнение 1 сводится к $$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{2}}{dx^{2}}}=E\psi _{2}.$$Сдача в аренду $$k={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }},$$уравнение становится $${\frac {d^{2}\psi _{2}}{dx^{2}}}=-k^{2}\psi _{2}.$$

Это хорошо изученное дифференциальное уравнение и задача собственных значений с общим решением $$\psi _{2}=A\sin(kx)+B\cos(kx)\,.$$Следовательно, $$E={\frac {k^{2}\hbar ^{2}}{2m}}.$$

Здесь A и B могут быть любыми комплексными числами , а k может быть любым действительным числом.

За рамками

Для области вне ящика, поскольку потенциал постоянен, $V(x)=V_{0}$ и уравнение 1 становится: $$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=(E-V_{0})\psi _{1}$$

Есть два возможных семейства решений, в зависимости от того, E меньше ли $V_{0}$ (частица связана в потенциале) или E больше, чем $V_{0}$ (частица свободна).

Для свободной частицы $E>V_{0}$и позволяя $$k'={\frac {\sqrt {2m(E-V_{0})}}{\hbar }}$$ производит $${\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=-k'^{2}\psi _{1}$$с той же формой решения, что и для случая внутри скважины: $$\psi _{1}=C\sin(k'x)+D\cos(k'x)$$

Этот анализ будет сосредоточен на связанном состоянии, где $E<V_{0}$. Сдача в аренду $$\alpha ={\frac {\sqrt {2m(V_{0}-E)}}{\hbar }}$$производит $${\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=\alpha ^{2}\psi _{1}$$где общее решение экспоненциальное: $$\psi _{1}=Fe^{-\alpha x}+Ge^{\alpha x}$$

Аналогично и для другого региона за пределами коробки: $$\psi _{3}=He^{-\alpha x}+Ie^{\alpha x}$$

Теперь, чтобы найти конкретное решение рассматриваемой проблемы, мы должны указать соответствующие граничные условия и найти значения A , B , F , G , H и I, которые удовлетворяют этим условиям.

Нахождение волновых функций для связанного состояния

Решения уравнения Шредингера должны быть непрерывными и непрерывно дифференцируемыми. Эти требования представляют собой граничные условия для ранее выведенных дифференциальных уравнений, то есть условия совмещения решений внутри и снаружи скважины.

В этом случае конечная потенциальная яма симметрична, поэтому симметрию можно использовать для сокращения необходимых вычислений.

Подводя итог предыдущим разделам: $$\psi ={\begin{cases}\psi _{1},&{\text{if }}x<-L/2{\text{ (the region outside the box)}}\\\psi _{2},&{\text{if }}-L/2<x<L/2{\text{ (the region inside the box)}}\\\psi _{3}&{\text{if }}x>L/2{\text{ (the region outside the box)}}\end{cases}}$$где мы нашли $\psi _{1}$, $\psi _{2}$, и $\psi _{3}$ быть: $${\begin{aligned}\psi _{1}&=Fe^{-\alpha x}+Ge^{\alpha x}\\\psi _{2}&=A\sin(kx)+B\cos(kx)\\\psi _{3}&=He^{-\alpha x}+Ie^{\alpha x}\end{aligned}}$$

Мы видим это как $x$ идет в $-\infty$, $F$ срок стремится к бесконечности. Аналогично, как $x$ идет в $+\infty$, $I$ срок стремится к бесконечности. Чтобы волновая функция была интегрируемой с квадратом, мы должны положить $F=I=0$, и мы имеем: $$\psi _{1}=Ge^{\alpha x}$$ и $$\psi _{3}=He^{-\alpha x}$$

Далее, мы знаем, что в целом $\psi$ функция должна быть непрерывной и дифференцируемой. Другими словами, значения функций и их производных должны совпадать в точках разделения:

$\psi _{1}(-L/2)=\psi _{2}(-L/2)$		$\psi _{2}(L/2)=\psi _{3}(L/2)$
$\left.{\frac {d\psi _{1}}{dx}}\right|_{x=-L/2}=\left.{\frac {d\psi _{2}}{dx}}\right|_{x=-L/2}$		$\left.{\frac {d\psi _{2}}{dx}}\right|_{x=L/2}=\left.{\frac {d\psi _{3}}{dx}}\right|_{x=L/2}$

Эти уравнения имеют два типа решений: симметричные, для которых $A=0$ и $G=H$, и антисимметричный, для которого $B=0$ и $G=-H$. Для симметричного случая получаем $$He^{-\alpha L/2}=B\cos(kL/2)$$$$-\alpha He^{-\alpha L/2}=-kB\sin(kL/2)$$поэтому взятие соотношения дает

Roots of the equation for the quantized energy levels

$$\alpha =k\tan(kL/2).$$Аналогично для антисимметричного случая получаем $$\alpha =-k\cot(kL/2).$$

Напомним, что оба $\alpha$ и $k$ зависят от энергии. Мы обнаружили, что условия непрерывности не могут быть выполнены для произвольного значения энергии; потому что это результат случая бесконечной потенциальной ямы. Таким образом, допускаются только определенные значения энергии, которые являются решениями одного или любого из этих двух уравнений. Отсюда мы находим, что энергетические уровни системы ниже $V_{0}$ дискретны; соответствующие собственные функции являются связанными состояниями . (Напротив, для энергетических уровней выше $V_{0}$ являются непрерывными. )

Уравнения энергии не могут быть решены аналитически. Тем не менее мы увидим, что в симметричном случае всегда существует хотя бы одно связанное состояние, даже если яма очень неглубокая. Графическое или численное решение уравнений энергии можно немного переписать. Если ввести безразмерные переменные $u=\alpha L/2$ и $v=kL/2$и обратите внимание на определения $\alpha$ и $k$ что $u^{2}=u_{0}^{2}-v^{2}$, где $u_{0}^{2}=mL^{2}V_{0}/2\hbar ^{2}$, основные уравнения читаются $${\sqrt {u_{0}^{2}-v^{2}}}={\begin{cases}v\tan v,&{\text{(symmetric case) }}\\-v\cot v,&{\text{(antisymmetric case) }}\end{cases}}$$

На графике справа, для $u_{0}^{2}=20$, решения существуют там, где синий полукруг пересекает фиолетовую или серую кривые ( $v\tan v$ и $-v\cot v$). Каждая фиолетовая или серая кривая представляет возможное решение. $v_{i}$ в пределах диапазона ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}(i-1)\leq v_{i}<{\frac {\pi }{2}}i}$. Общее количество решений, $N$, (т. е. количество фиолетовых/серых кривых, пересекаемых синим кружком) определяется путем деления радиуса синего круга на $u_{0}$, по диапазону каждого решения $\pi /2$ и используя функции пола или потолка: $$N=\left\lfloor {\frac {2u_{0}}{\pi }}\right\rfloor +1=\left\lceil {\frac {2u_{0}}{\pi }}\right\rceil$$

В этом случае существует ровно три решения, так как $N=\lfloor 2{\sqrt {20}}/\pi \rfloor +1=\lfloor 2.85\rfloor +1=2+1=3$.

Solutions of the finite square well

$v_{1}=1.28,v_{2}=2.54$ и $v_{3}=3.73$, с соответствующими энергиями $$E_{n}={2\hbar ^{2}v_{n}^{2} \over mL^{2}}.$$Если мы захотим, мы можем вернуться назад и найти значения констант $A,B,G,H$ теперь в уравнениях (нам также нужно наложить условие нормировки). Справа показаны уровни энергии и волновые функции в этом случае (где ${\textstyle x_{0}\equiv \hbar /{\sqrt {2mV_{0}}}}$).

Заметим, что, как бы мала $u_{0}$ (какой бы мелкой или узкой яма ни была), всегда существует хотя бы одно связанное состояние.

Стоит отметить два особых случая. Поскольку высота потенциала становится большой, $V_{0}\to \infty$, радиус полукруга увеличивается, а корни все ближе и ближе приближаются к значениям $v_{n}=n\pi /2$, и мы восстанавливаем случай бесконечного квадратного колодца .

Другой случай — это очень узкий и глубокий колодец, в частности случай $V_{0}\to \infty$ и $L\to 0$ с $V_{0}L$ зафиксированный. Как $u_{0}\propto {\sqrt {V_{0}}}L$ оно будет стремиться к нулю, и поэтому будет только одно связанное состояние. Тогда приближенное решение будет $v^{2}=u_{0}^{2}-u_{0}^{4}$, а энергия стремится $E=-mL^{2}V_{0}^{2}/2\hbar ^{2}$. Но это всего лишь энергия связанного состояния дельта -функции потенциала силы. $V_{0}L$, как и должно быть.

Более простое графическое решение для энергетических уровней можно получить, нормировав потенциал и энергию путем умножения на ${8m}{L^{2}}/h^{2}$. Нормированные величины $${\tilde {V}}_{0}=V_{0}{\frac {8m}{h^{2}}}L^{2}\qquad {\tilde {E}}=E{\frac {8m}{h^{2}}}L^{2}$$прямо указывая отношения между разрешенными парами $(V_{0},E)$ как $${\sqrt {{\tilde {V}}_{0}}}={\sqrt {\tilde {E}}}\,\left|{\sec({\sqrt {\tilde {E}}}\,{\pi }/{2})}\right|,\qquad {\sqrt {{\tilde {V}}_{0}}}={\sqrt {\tilde {E}}}\,\left|{\csc({\sqrt {\tilde {E}}}\,{\pi }/{2})}\right|$$для волновых функций четной и нечетной четности соответственно. В предыдущих уравнениях необходимо учитывать только положительные производные части функций. Таблица, показывающая разрешенные пары $(V_{0},E)$ сообщается на рисунке.

Несвязанные состояния

Если мы решим независимое от времени уравнение Шредингера для энергии $E>V_{0}$, решения будут колебательными как внутри, так и вне скважины. Таким образом, решение никогда не интегрируется с квадратом; то есть это всегда ненормируемое состояние. Однако это не означает, что квантовая частица не может иметь энергию, превышающую $V_{0}$, это просто означает, что система имеет непрерывный спектр выше $V_{0}$. Ненормализуемые собственные состояния достаточно близки к интегрируемым с квадратом, поэтому они все еще вносят вклад в спектр гамильтониана как неограниченного оператора.

Асимметричный колодец

Рассмотрим одномерную асимметричную потенциальную яму, заданную потенциалом $$V(x)={\begin{cases}V_{1},&{\text{if }}-\infty <x<0{\text{ (the region outside the well)}}\\0,&{\text{if }}0<x<a{\text{ (the region inside the well)}}\\V_{2}&{\text{if }}a<x<\infty {\text{ (the region outside the well)}}\end{cases}}$$с $V_{2}>V_{1}$. Соответствующее решение для волновой функции с $E<V_{1}$ оказывается $$\psi (x)={\begin{cases}c_{1}e^{k_{1}x},&{\text{for }}x<0,{\text{where }}k_{1}={\sqrt {(2m/\hbar ^{2})(V_{1}-E)}}\\c\sin(kx+\delta ),&{\text{for }}0<x<a,{\text{where }}k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}\\c_{2}e^{-k_{2}x},&{\text{for }}x>a,{\text{where }}k_{2}={\sqrt {(2m/\hbar ^{2})(V_{2}-E)}}\end{cases}}$$и $$\sin \delta ={\frac {k\hbar }{\sqrt {2mV_{1}}}}.$$

Энергетические уровни $E=k^{2}\hbar ^{2}/(2m)$ определяются один раз $k$ решается как корень следующего трансцендентного уравнения $$ka=n\pi -\sin ^{-1}\left({\frac {k\hbar }{\sqrt {2mV_{1}}}}\right)-\sin ^{-1}\left({\frac {k\hbar }{\sqrt {2mV_{2}}}}\right)$$где $n=1,2,3,\dots$ Существование корня приведенного выше уравнения не всегда гарантируется, например, всегда можно найти значение $a$ настолько мал, что при заданных значениях $V_{1}$ и $V_{2}$, дискретного уровня энергии не существует. Результаты симметричной скважины получаются из приведенного выше уравнения, установив $V_{1}=V_{2}=V_{o}$.

Частица в сферической потенциальной яме

Рассмотрим следующую сферическую потенциальную яму $$U(r)={\begin{cases}-U_{0},&{\text{if }}r<a{\text{ (the region inside the well)}}\\0,&{\text{if }}r>a{\text{ (the region outside the well)}}\end{cases}}$$где $r$ - радиус от начала координат. Решение для волновой функции с нулевым угловым моментом ( $l=0$) и с энергией $E<0$ дается $$\psi (r)={\begin{cases}{\frac {A}{r}}\sin kr,&{\text{for }}r<a,{\text{where }}k={\sqrt {(2m/\hbar ^{2})(U_{0}-|E|)}}\\{\frac {B}{r}}e^{-\kappa r},&{\text{for }}r>a,{\text{where }}\kappa ={\sqrt {2m|E|/\hbar ^{2}}}={\sqrt {2mU_{0}/\hbar ^{2}-k^{2}}}.\end{cases}}$$удовлетворяющее условию

$k\cot ka=-\kappa .$

Это уравнение не всегда имеет решение, что указывает на отсутствие связанных состояний в некоторых случаях. Минимальная глубина потенциальной ямы, при которой связанное состояние впервые возникает при $E=0$ дается

$U_{0,\mathrm {min} }={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{8ma^{2}}}$

которая увеличивается с уменьшением радиуса скважины $a$. Таким образом, связанные состояния невозможны, если яма достаточно мелкая и узкая. Для глубины скважины, немного превышающей минимальное значение, т.е. $U_{0}/U_{0,\mathrm {min} }-1\ll 1$, энергия основного состояния $E_{1}$ (поскольку мы рассматриваем $l=0$ случай) определяется выражением

$-E_{1}={\frac {\pi ^{2}}{16}}{\frac {(|U_{0}|-U_{0,\mathrm {min} })^{2}}{U_{0,\mathrm {min} }}}.$

Сферически-симметричная кольцевая скважина

Приведенные выше результаты можно использовать, чтобы показать, что что касается одномерного случая, в сферической полости существует два связанных состояния, поскольку сферические координаты эквивалентны радиусу в любом направлении.

Основное состояние ( n = 1) сферически симметричного потенциала всегда будет иметь нулевой орбитальный угловой момент (ℓ = n−1), а приведенная волновая функция $\chi (r)\equiv r\psi (r)$ удовлетворяет уравнению $$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\chi }{dr^{2}}}+U(r)\chi (r)=E\chi (r)$$где $\psi (r)$ – радиальная часть волновой функции. Обратите внимание, что для ( n = 1) угловая часть постоянна ( ℓ = 0).

Оно идентично одномерному уравнению, за исключением граничных условий. Как и прежде, $$\chi (r)={\begin{cases}c_{1}\sin({k_{1}r}),&{\text{for }}r<a,{\text{ where }}k_{1}={\sqrt {2m/\hbar ^{2}(U_{1}-E)}}\\[1ex]c\sin({kr+\delta }),&{\text{for }}a<r<b,{\text{ where }}k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}\\[1ex]c_{2}e^{-k_{2}r},&{\text{for }}r>b,{\text{ where }}k_{2}={\sqrt {2m/\hbar ^{2}(U_{2}-E)}}\end{cases}}$$

Энергетические уровни для $a<r<b$$$E={\frac {k^{2}\hbar ^{2}}{2m}}$$определяются один раз ${\displaystyle k}$ решается как корень следующего трансцендентного уравнения $$k(b-a)=n\pi$$где ${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$

Существование корня приведенного выше уравнения всегда гарантируется. Результаты всегда имеют сферическую симметрию. Он выполняет условие, при котором волна не находит потенциала внутри сферы: $\chi (a)=\chi (0)=0$.

Другое дифференциальное уравнение действует, когда ℓ ≠0, как и в заголовках выше, вот оно:

${\frac {d^{2}\chi }{dr^{2}}}+{\begin{Bmatrix}k^{2}-{\frac {l(l+1)}{r^{2}}}\end{Bmatrix}}\chi (r)=0$

Решение можно рационализировать путем некоторых изменений переменных и функций, чтобы получить дифференциальное уравнение типа Бесселя, решение которого:

${\frac {\chi (r)}{r}}={\begin{cases}Aj_{l}({k_{1}r}),&{\text{for }}r<a,{\text{ where }}k_{1}={\sqrt {2m/\hbar ^{2}(U_{1}-E)}}\\[1ex]Aj_{l}({kr})+By_{l}({kr}),&{\text{for }}a<r<b,{\text{ where }}k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}\\[1ex]B{\frac {e^{-k_{2}r}}{r}},&{\text{for }}r>b,{\text{ where }}k_{2}={\sqrt {2m/\hbar ^{2}(U_{2}-E)}}\end{cases}}$

где $j_{l}{(kr)}$ и $y_{l}({kr})$ являются сферическими функциями Бесселя и Ньюмана соответственно и могут быть переписаны как функция стандартной функции Бесселя.

Энергетические уровни для $a<r<b$

$$E={\frac {k^{2}\hbar ^{2}}{2m}}$$

определяются один раз ${\displaystyle k}$ решается как корень следующего трансцендентного уравнения

$$k(b-a)={\frac {4n\pi }{2l+1}}$$

где ${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$

Существование корня приведенного выше уравнения всегда гарантируется. Результаты всегда имеют сферическую симметрию.

Он выполняет условие, при котором волна не находит потенциала внутри сферы: $\chi (a)=\chi (0)=0$, но ${\displaystyle k}$ решается как корень следующего трансцендентного уравнения, где ${\displaystyle r<b}$:

$kb={\frac {2n\pi }{2l+1}}$

См. также

• Потенциальная скважина
• Потенциал дельта-функции
• Бесконечная потенциальная яма
• Полукруглая потенциальная скважина
• Квантовое туннелирование
• Прямоугольный потенциальный барьер

Дальнейшее чтение

• Гриффитс, Дэвид Дж. (2005). Введение в квантовую механику (2-е изд.). Прентис-Холл . ISBN  0-13-111892-7 .
• Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, том. 267, Спрингер