Полукруглая потенциальная яма

В квантовой механике случай частицы в одномерном кольце аналогичен случаю частицы в ящике . Частица движется по полукругу из $0$ к $\pi$ куда он не может убежать, потому что потенциал от $\pi$ к $2\pi$ бесконечен. Вместо этого происходит полное отражение, то есть частица прыгает взад и вперед между $0$ к $\pi$ . Уравнение Шредингера для свободной частицы , ограниченной полукругом (технически, конфигурационное пространство которой представляет собой круг $S^{1}$ ) является

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi =E\psi

( 1 )

Волновая функция

Используя цилиндрические координаты на одномерном полукруге, волновая функция зависит только от угловой координаты , и поэтому

\nabla ^{2}={\frac {1}{s^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}

( 2 )

Таким образом, подставляя лапласиан в цилиндрические координаты, волновая функция выражается как

-{\frac {\hbar ^{2}}{2ms^{2}}}{\frac {d^{2}\psi }{d\phi ^{2}}}=E\psi

( 3 )

Момент инерции полукруга, лучше всего выражаемый в цилиндрических координатах, равен ${\textstyle I\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \iiint _{V}r^{2}\,\rho (r,\phi ,z)\,rdr\,d\phi \,dz\!}$ . Решая интеграл, находим, что момент инерции полукруга равен $I=ms^{2}$ , то же самое для обруча того же радиуса. Волновую функцию теперь можно выразить как $-{\frac {\hbar ^{2}}{2I}}{\frac {d^{2}\psi }{d\phi ^{2}}}=E\psi$ , что легко разрешимо.

Поскольку частица не может покинуть область из $0$ к $\pi$ , общее решение этого дифференциального уравнения есть

\psi (\phi )=A\cos(m\phi )+B\sin(m\phi )

( 4 )

Определение ${\textstyle m={\sqrt {\frac {2IE}{\hbar ^{2}}}}}$ , мы можем вычислить энергию как ${\textstyle E={\frac {m^{2}\hbar ^{2}}{2I}}}$ . Затем мы применяем граничные условия, где $\psi$ и ${\frac {d\psi }{d\phi }}$ непрерывны, а волновая функция нормируема:

\int _{0}^{\pi }\left|\psi (\phi )\right|^{2}\,d\phi =1\ .

( 5 )

Как и в случае с бесконечной квадратной ямой, первое граничное условие требует, чтобы волновая функция была равна 0 в обеих точках. $\phi =0$ и $\phi =\pi$ . По сути

\ \psi (0)=\psi (\pi )=0.

( 6 )

Поскольку волновая функция $\psi (0)=0$ , коэффициент A должен быть равен 0, поскольку $\cos(0)=1$ . Волновая функция также равна 0 при $\phi =\pi$ поэтому мы должны применить это граничное условие. Отбросив тривиальное решение, где B =0, волновая функция $\psi (\pi )=0=B\sin(m\pi )$ только тогда, когда m является целым числом, поскольку $\sin(n\pi )=0$ . Это граничное условие квантует энергию, где энергия равна ${\textstyle E={\frac {m^{2}\hbar ^{2}}{2I}}}$ где m — любое целое число. Условие m =0 исключается, поскольку $\psi =0$ повсюду, а это означает, что частица вообще не находится в потенциале. Отрицательные целые числа также исключаются, поскольку их легко включить в условие нормализации.

Затем мы нормализуем волновую функцию, получая результат, где ${\textstyle B={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}}$ . Нормированная волновая функция

\psi (\phi )={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(m\phi ).

( 7 )

Энергия основного состояния системы равна $E={\frac {\hbar ^{2}}{2I}}$ . Подобно частице в ящике, в возбужденных состояниях системы существуют узлы, в которых оба $\psi (\phi )$ и $\psi (\phi )^{2}$ оба равны 0, что означает, что вероятность найти частицу в этих узлах равна 0.

Анализ

Поскольку волновая функция зависит только от азимутального угла $\phi$ , измеримыми величинами системы являются угловое положение и угловой момент, выражаемые операторами $\phi$ и $L_{z}$ соответственно.

Используя цилиндрические координаты, операторы $\phi$ и $L_{z}$ выражаются как $\phi$ и ${\textstyle -i\hbar {\frac {d}{d\phi }}}$ соответственно, где эти наблюдаемые играют роль, аналогичную положению и импульсу частицы в ящике. Коммутационные соотношения и соотношения неопределенностей для углового положения и углового момента задаются следующим образом:

[\phi ,L_{z}]=i\hbar \ \psi (\phi )

( 8 )

(\Delta \phi )(\Delta L_{z})\geq {\frac {\hbar }{2}}

где

\Delta _{\psi }\phi ={\sqrt {\langle {\phi }^{2}\rangle _{\psi }-\langle {\phi }\rangle _{\psi }^{2}}}

и

\Delta _{\psi }L_{z}={\sqrt {\langle {L_{z}}^{2}\rangle _{\psi }-\langle {L_{z}}\rangle _{\psi }^{2}}}

( 9 )

Граничные условия

Как и во всех задачах квантовой механики, при изменении граничных условий изменяется и волновая функция. Если частица ограничена движением всего кольца в пределах от 0 до $2\pi$ , на частицу распространяется только периодическое граничное условие (см. частица в кольце ). Если частица ограничена движением ${\textstyle -{\frac {\pi }{2}}}$ к ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ , становится важным вопрос четности и нечетности.

Волновое уравнение для такого потенциала имеет вид:

\psi _{\rm {o}}(\phi )={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cos(m\phi )

( 10 )

\psi _{\rm {e}}(\phi )={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(m\phi )

( 11 )

где $\psi _{\rm {o}}(\phi )$ и $\psi _{\rm {e}}(\phi )$ относятся к нечетному и четному m соответственно.

Аналогично, если полукруглая потенциальная яма является конечной ямой, решение будет напоминать решение конечной потенциальной ямы, где угловые операторы $\phi$ и $L_{z}$ заменить линейные операторы x и p .

См. также