Свободная частица

В физике — свободная частица это частица, которая в некотором смысле не связана внешней силой или, что то же самое, не находится в области, где ее потенциальная энергия меняется. В классической физике это означает, что частица находится в «свободном от поля» пространстве. В квантовой механике это означает, что частица находится в области однородного потенциала, который обычно равен нулю в интересующей области, поскольку потенциал может быть произвольно установлен равным нулю в любой точке пространства.

Классическая свободная частица [ править ]

Классическая свободная частица характеризуется фиксированной скоростью v . Импульс задается

\mathbf {p} =m\mathbf {v}

и кинетическая энергия (равная полной энергии) на

E={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {p^{2}}{2m}}

где m — масса частицы, а v — векторная скорость частицы.

Бесквантовая частица [ править ]

Математическое описание [ править ]

Свободная частица с массой $m$ в нерелятивистской квантовой механике описывается свободным уравнением Шрёдингера :

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\ \psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (\mathbf {r} ,t)

где ψ — волновая функция частицы в положении r и времени t . Решение для частицы с импульсом p или волновым вектором k на угловой частоте ω или энергии E дается сложной плоской волной :

\psi (\mathbf {r} ,t)=Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}=Ae^{i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)/\hbar }

с амплитудой A и имеет два разных правила в зависимости от его массы:

если частица имеет массу $m$ : ${\textstyle \omega ={\frac {\hbar k^{2}}{2m}}}$ (или эквивалент ${\textstyle E={\frac {p^{2}}{2m}}}$ ).
если частица является безмассовой частицей: $\omega =kc$ .

Спектр собственных значений бесконечно вырожден, поскольку каждому собственному значению E >0 соответствует бесконечное число собственных функций, соответствующих различным направлениям $\mathbf {p}$ .

Отношения де Бройля : $\mathbf {p} =\hbar \mathbf {k}$ , $E=\hbar \omega$ применять. Поскольку потенциальная энергия равна (как утверждается) нулю, полная энергия E равна кинетической энергии, которая имеет ту же форму, что и в классической физике:

E=T\,\rightarrow \,{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}=\hbar \omega

Что касается всех квантовых частиц, свободных или связанных, принципы неопределенности Гейзенберга ${\textstyle \Delta p_{x}\Delta x\geq {\frac {\hbar }{2}}}$ применять. Понятно, что поскольку плоская волна имеет определенный импульс (определенную энергию), вероятность обнаружения местоположения частицы едина и пренебрежимо мала во всем пространстве. Другими словами, волновая функция не нормируема в евклидовом пространстве, эти стационарные состояния не могут соответствовать физически реализуемым состояниям . ^[1]

Измерения и расчеты [ править ]

Интеграл от функции плотности вероятности

\rho (\mathbf {r} ,t)=\psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t)=|\psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}

где * обозначает комплексно-сопряженное число , по всему пространству — это вероятность найти частицу во всем пространстве, которая должна быть равна единице, если частица существует:

\int _{\mathrm {all\,space} }|\psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}d^{3}\mathbf {r} =1

Это условие нормировки волновой функции. Волновая функция не нормируема для плоской волны, но нормируется для волнового пакета .

Увеличение степени локализации волнового пакета, что означает, что частица становится более локализованной.

В пределе ħ → 0 положение и импульс частицы становятся точно известны.

Интерпретация волновой функции для одной частицы со спином 0 в одном измерении. Показанные волновые функции являются непрерывными, конечными, однозначными и нормированными. Непрозрачность цвета (%) частиц соответствует плотности вероятности (которая может измеряться в %) обнаружения частицы в точках на оси x.

Разложение Фурье [ править ]

Волновая функция свободной частицы может быть представлена суперпозицией собственных функций импульса с коэффициентами, заданными преобразованием Фурье исходной волновой функции: ^[2]

\psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}\int _{\mathrm {all\,\mathbf {k} \,space} }{\hat {\psi }}_{0}(\mathbf {k} )e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}d^{3}\mathbf {k}

где интеграл ведется по всему k -пространству и ${\textstyle \omega =\omega (\mathbf {k} )={\frac {\hbar \mathbf {k} ^{2}}{2m}}}$ (чтобы гарантировать, что волновой пакет является решением уравнения Шредингера для свободных частиц). Здесь $\psi _{0}$ - значение волновой функции в момент времени 0 и ${\hat {\psi }}_{0}$ представляет собой преобразование Фурье $\psi _{0}$ . (преобразование Фурье ${\hat {\psi }}_{0}(\mathbf {k} )$ по сути, это волновая функция импульса волновой функции положения $\psi _{0}(\mathbf {r} )$ , но записанный как функция $\mathbf {k}$ скорее, чем $\mathbf {p} =\hbar \mathbf {k}$ .)

Среднее значение импульса p для комплексной плоской волны равно

\langle \mathbf {p} \rangle =\left\langle \psi \left|-i\hbar \nabla \right|\psi \right\rangle =\hbar \mathbf {k} ,

а для общего волнового пакета это

\langle \mathbf {p} \rangle =\int _{\mathrm {all\,space} }\psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)(-i\hbar \nabla )\psi (\mathbf {r} ,t)d^{3}\mathbf {r} =\int _{\mathrm {all\,{\textbf {k}}\,space} }\hbar \mathbf {k} |{\hat {\psi }}_{0}(\mathbf {k} )|^{2}d^{3}\mathbf {k} .

Ожидаемое значение энергии E равно

\langle E\rangle =\left\langle \psi \left|-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\right|\psi \right\rangle =\int _{\text{all space}}\psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\right)\psi (\mathbf {r} ,t)d^{3}\mathbf {r} .

Групповая скорость скорость и фазовая

Распространение волнового пакета с движением одного пика, заштрихованного фиолетовым цветом. Пики движутся с фазовой скоростью, тогда как весь пакет движется с групповой скоростью.

Фазовая скорость определяется как скорость, с которой распространяется решение в виде плоской волны, а именно:

v_{p}={\frac {\omega }{k}}={\frac {\hbar k}{2m}}={\frac {p}{2m}}.

Обратите внимание, что ${\frac {p}{2m}}$ это не скорость классической частицы с импульсом $p$ ; скорее, это половина классической скорости.

При этом предположим, что исходная волновая функция $\psi _{0}$ представляет собой волновой пакет, преобразование Фурье которого ${\hat {\psi }}_{0}$ сосредоточен вблизи определенного волнового вектора $\mathbf {k}$ . Тогда групповая скорость плоской волны определяется как

v_{g}=\nabla \omega (\mathbf {k} )={\frac {\hbar \mathbf {k} }{m}}={\frac {\mathbf {p} }{m}},

что согласуется с формулой для классической скорости частицы. Групповая скорость — это (приблизительная) скорость, с которой распространяется весь волновой пакет, а фазовая скорость — это скорость, с которой движутся отдельные пики волнового пакета. ^[3] Рисунок иллюстрирует это явление: отдельные пики внутри волнового пакета распространяются со скоростью вдвое меньшей скорости всего пакета.

Распространение волнового пакета [ править ]

Понятие групповой скорости основано на линейном приближении к дисперсионному уравнению $\omega (k)$ около определенного значения $k$ . ^[4] В этом приближении амплитуда волнового пакета движется со скоростью, равной групповой скорости, не меняя формы . Этот результат представляет собой приближение, которое не отражает некоторые интересные аспекты эволюции свободной квантовой частицы. Примечательно, что ширина волнового пакета, измеряемая неопределенностью положения, растет линейно во времени в течение больших времен. Это явление называется расплыванием волнового пакета свободной частицы.

В частности, нетрудно вычислить точную формулу для неопределенности $\Delta _{\psi (t)}X$ как функция времени, где $X$ является оператором позиции. Для простоты, работая в одном пространственном измерении, мы имеем: ^[5]

(\Delta _{\psi (t)}X)^{2}={\frac {t^{2}}{m^{2}}}(\Delta _{\psi _{0}}P)^{2}+{\frac {2t}{m}}\left(\left\langle {\tfrac {1}{2}}({XP+PX})\right\rangle _{\psi _{0}}-\left\langle X\right\rangle _{\psi _{0}}\left\langle P\right\rangle _{\psi _{0}}\right)+(\Delta _{\psi _{0}}X)^{2},

где

\psi _{0}

волновая функция нулевого времени. Выражение в скобках во втором слагаемом в правой части представляет собой квантовую ковариацию

X

и

P

.

Таким образом, для больших положительных времен неопределенность в $X$ растет линейно, с коэффициентом $t$ равный $(\Delta _{\psi _{0}}P)/m$ . Если импульс исходной волновой функции $\psi _{0}$ сильно локализован, волновой пакет будет распространяться медленно, и приближение групповой скорости останется хорошим в течение длительного времени. Интуитивно этот результат говорит о том, что если исходная волновая функция имеет очень четко определенный импульс, то частица имеет четко определенную скорость и будет (в хорошем приближении) распространяться с этой скоростью в течение длительного времени.

свободная Релятивистская частица квантовая

Существует ряд уравнений, описывающих релятивистские частицы: см. релятивистские волновые уравнения .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Квантовая механика , Э. Аберс, Пирсон Эд., Аддисон Уэсли, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0
Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е издание) , Р. Эйсберг, Р. Резник, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0
Стационарные состояния , А. Холден, Монографии колледжа по физике (США), Oxford University Press, 1971, ISBN 0-19-851121-3
Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, том. 267, Спрингер, ISBN 978-1461471158
Квантовая механика демистифицирована , Д. МакМэхон, МакГро Хилл (США), 2006, ISBN 0-07-145546 9
Элементарная квантовая механика , Н. Ф. Мотт, Wykeham Science, Wykeham Press (Taylor & Francisco Group), 1972, ISBN 0-85109-270-5
Квантовая механика , Э. Заарур, Ю. Пелег, Р. Пнини, Очерки Шаума, Мак Грау Хилл (США), 1998, ISBN 007-0540187

Специфический

^ «Лекция 9» (PDF) .
^ Зал 2013 г., раздел 4.1.
^ Зал 2013 г., разделы 4.3 и 4.4.
^ Холл, 2013 г., уравнение 4.24.
^ Зал 2013 г. Предложение 4.10

Дальнейшее чтение [ править ]

Новая квантовая вселенная , Т.Хей, П.Уолтерс, издательство Кембриджского университета, 2009, ISBN 978-0-521-56457-1 .
Квантовая теория поля , Д. МакМахон, МакГроу Хилл (США), 2008, ISBN 978-0-07-154382-8
Квантовая механика , Э. Заарур, Ю. Пелег, Р. Пнини, Ускоренный курс Шаума Easy Outlines, Mc Graw Hill (США), 2006, ISBN 978-007-145533-6

[1] «Лекция 9» (PDF) .

[2] Зал 2013 г., раздел 4.1.

[3] Зал 2013 г., разделы 4.3 и 4.4.

[4] Холл, 2013 г., уравнение 4.24.

[5] Зал 2013 г. Предложение 4.10

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]