Волна материи

Эта статья о волновых явлениях, проявляемых частицами материи. Об упругих волнах, распространяющихся через материальные среды, см. Механическая волна .

Волны материи являются центральной частью теории квантовой механики , являясь половиной корпускулярно-волнового дуализма . На всех масштабах, где измерения были практичны, материя демонстрирует волновое поведение. Например, пучок электронов может дифрагировать точно так же, как луч света или волна на воде.

Концепция о том, что материя ведет себя как волна, была предложена французским физиком Луи де Бройлем ( / d ə ˈ br ɔɪ / ) в 1924 году, поэтому волны материи также известны как волны де Бройля .

Длина волны де Бройля — это длина волны λ , частицей с импульсом p через постоянную Планка h связанная с :

$$\lambda ={\frac {h}{p}}.$$

Волновое поведение материи было экспериментально продемонстрировано сначала для электронов в 1927 году, а для других элементарных частиц , нейтральных атомов и молекул в последующие годы .

Введение

Предыстория

В конце 19 века считалось, что свет состоит из волн электромагнитных полей, которые распространяются согласно уравнениям Максвелла , а материя считалась состоящей из локализованных частиц (см. историю волнового и корпускулярного дуализма ). В 1900 году это разделение было поставлено под сомнение, когда, исследуя теорию излучения черного тела , Макс Планк предположил, что тепловая энергия колеблющихся атомов делится на дискретные части, или кванты. Расширяя исследование Планка в нескольких направлениях, включая его связь с фотоэлектрическим эффектом , Альберт Эйнштейн в 1905 году предположил, что свет также распространяется и поглощается квантами. теперь называемые фотонами . Эти кванты будут иметь энергию, определяемую соотношением Планка-Эйнштейна :

$$E=h\nu$$

и вектор импульса $\mathbf {p}$

$$\left|\mathbf {p} \right|=p={\frac {E}{c}}={\frac {h}{\lambda }},$$

где ν (строчная греческая буква nu ) и λ (строчная греческая буква лямбда ) обозначают частоту и длину волны света, c — скорость света, а h Планка — постоянную . В современном соглашении частота обозначается буквой f , как это делается в остальной части этой статьи. Постулат Эйнштейна был проверен экспериментально К. Т. Комптон и О. У. Ричардсон и А.Л. Хьюз в 1912 году, затем более тщательно, включая измерение постоянной Планка в 1916 году Робертом Милликеном.

де

Распространение волн де Бройля в одном измерении – действительная часть комплексной амплитуды выделена синим цветом, мнимая часть – зеленым. Вероятность (показанная как непрозрачность цвета ) обнаружения частицы в данной точке x распределена по форме волны; нет определенного положения частицы. Когда амплитуда увеличивается выше нуля, наклон уменьшается, поэтому амплитуда снова уменьшается, и наоборот. В результате получается переменная амплитуда: волна. Вверху: плоская волна . Внизу: волновой пакет .

Когда я задумал первые основные идеи волновой механики в 1923–1924 годах, я руководствовался целью осуществить реальный физический синтез, действительный для всех частиц, сосуществования волны и корпускулярных аспектов, которые Эйнштейн ввел для фотонов. в своей теории квантов света в 1905 году.

— де Бройль

Де Бройль в своей докторской диссертации 1924 года предположил, что так же, как свет обладает как волновыми, так и корпускулярными свойствами, электроны также обладают волновыми свойствами.Его диссертация началась с гипотезы, «что каждой порции энергии с собственной массой m ₀ можно связать периодическое явление частоты ν ₀ , такое, что можно найти: hν ₀ = m ₀ c ² . Частоту ν ₀ следует измерять, конечно, в остальном кадре энергетического пакета. Эта гипотеза является основой нашей теории». (Эта частота также известна как частота Комптона .)

Чтобы найти длину волны, эквивалентную движущемуся телу, де Бройль установим полную энергию из специальной теории относительности для этого тела равной hν :

$$E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=h\nu$$

(Современная физика больше не использует эту форму полной энергии; соотношение энергия-импульс оказалось более полезным.) Де Бройль отождествил скорость частицы v волн со скоростью группы в свободном пространстве:

$$v_{\text{g}}\equiv {\frac {\partial \omega }{\partial k}}={\frac {d\nu }{d(1/\lambda )}}$$

(Современное определение групповой скорости использует угловую частоту ω и волновое число k ). Применяя дифференциалы к уравнению энергии и определяя релятивистский импульс :

$$p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$$

Бройль получил свою формулу для связи между длиной волны λ , связанной с электроном, и модулем его импульса p интегрируя, де через постоянную Планка h затем :

$$\lambda ={\frac {h}{p}}.$$

уравнение Шредингера (

Развивая идеи де Бройля, физик Питер Дебай сделал небрежное замечание, что, если частицы ведут себя как волны, они должны удовлетворять некоторому волновому уравнению. Вдохновленный замечанием Дебая, Эрвин Шредингер решил найти правильное трехмерное волновое уравнение для электрона. Он руководствовался аналогией Уильяма Роуэна Гамильтона между механикой и оптикой (см. Оптико-механическую аналогию Гамильтона ), закодированной в наблюдении, что нулевой предел оптики напоминает механическую систему — траектории световых лучей становятся острыми следами, подчиняющимися Принцип Ферма , аналог принципа наименьшего действия .

В 1926 году Шрёдингер опубликовал волновое уравнение, которое теперь носит его имя. – волновой аналог уравнений Максвелла – и использовал его для получения спектра водорода . энергетического Частоты решений нерелятивистского уравнения Шредингера отличаются от волн де Бройля комптоновской частотой, поскольку энергия, соответствующая массе покоя частицы, не входит в состав нерелятивистского уравнения Шредингера. Уравнение Шредингера описывает временную эволюцию волновой функции — функции, которая присваивает комплексное число каждой точке пространства. Шрёдингер пытался интерпретировать квадрат модуля волновой функции как плотность заряда. Однако этот подход не увенчался успехом. Макс Борн предположил, что квадрат модуля волновой функции вместо этого является плотностью вероятности , и это успешное предложение теперь известно как правило Борна .

Плотность вероятности в пространстве положений первоначально гауссовского состояния, движущегося в одном измерении с минимально неопределенным постоянным импульсом в свободном пространстве

В следующем, 1927 году, К. Г. Дарвин (внук знаменитого биолога ) исследовал уравнение Шрёдингера в нескольких идеализированных сценариях. Для несвязанного электрона в свободном пространстве он рассчитал распространение волны, приняв исходный гауссов волновой пакет . Дарвин показал, что в свое время $t$ позже позиция $x$ пакета, движущегося со скоростью $v$ было бы

$$x_{0}+vt\pm {\sqrt {\sigma ^{2}+(ht/2\pi \sigma m)^{2}}}$$

где $\sigma$ – неопределенность в исходном положении. Эта неопределенность положения создает неопределенность в скорости (дополнительный второй член в квадратном корне), что соответствует Гейзенберга . соотношению неопределенности Волновой пакет распространяется, как показано на рисунке.

подтверждение

В 1927 году возникновение волн материи было впервые экспериментально подтверждено в дифракционном эксперименте Джорджа Пэджета Томсона и Александра Рида. и эксперимент Дэвиссона-Гермера , оба для электронов.

Оригинальная электронографическая камера, изготовленная и использованная нобелевским лауреатом Г. П. Томсоном и его учеником Александром Ридом в 1925 году.

Пример оригинальной фотографии дифракции электронов из лаборатории Г. П. Томсона, сделанной в 1925–1927 гг.

Для других элементарных частиц подтверждена гипотеза де Бройля и существование волн материи, показано, что нейтральные атомы и даже молекулы имеют волнообразную форму.

Первые картины интерференции электронных волн, непосредственно демонстрирующие корпускулярно-волновой дуализм, использовали электронные бипризмы. (по сути, проволока, помещенная в электронный микроскоп) и измерял отдельные электроны, создавая дифракционную картину.Недавно была создана точная копия знаменитого эксперимента с двумя щелями. использование электронов через физические отверстия позволило показать фильм.

Волна материи с двойной щелью создает картину дифракции, электрон за электроном. Каждая белая точка представляет собой один электрон, попавший в детектор; при статистически большом количестве электронов появляются интерференционные полосы.

Электроны

Дополнительная информация: эксперимент Дэвиссона-Гермера и дифракция электронов.

В 1927 году в Bell Labs Клинтон Дэвиссон и Лестер Гермер выпустили медленно движущиеся электроны по мишени из кристаллического никеля . Была измерена интенсивность дифрагированных электронов, и было установлено, что она имеет угловую зависимость, аналогичную дифракционной картине, предсказанной Брэггом для рентгеновских лучей . В то же время Джордж Пейджет Томсон и Александр Рид из Абердинского университета независимо стреляли электронами по тонкой целлулоидной фольге, а затем и по металлическим пленкам, наблюдая кольца, которые можно интерпретировать аналогичным образом. (Александр Рид, аспирант Томсона, провел первые эксперименты, но вскоре погиб в аварии на мотоцикле. и редко упоминается.) До принятия гипотезы де Бройля дифракция была свойством, которое, как считалось, проявлялось только у волн. Поэтому наличие каких-либо эффектов дифракции на веществе свидетельствует о волновой природе вещества. Интерпретация волн материи была положена на прочный фундамент в 1928 году Гансом Бете . решивший уравнение Шрёдингера , показывая, как это может объяснить экспериментальные результаты. Его подход аналогичен тому, что используется в современных подходах к дифракции электронов .

Это был решающий результат в развитии квантовой механики . Подобно тому, как фотоэлектрический эффект продемонстрировал корпускулярную природу света, эти эксперименты показали волновую природу материи.

Нейтроны

Нейтроны , производимые в ядерных реакторах с кинетической энергией около 1 МэВ , термализуются примерно до 0,025 эВ при рассеянии на легких атомах. Результирующая длина волны де Бройля (около 180 пм ) соответствует межатомному расстоянию. В 1944 году Эрнест О. Воллан , получивший докторскую степень в области рассеяния рентгеновских лучей. под руководством Артура Комптона признал потенциал применения тепловых нейтронов из недавно введенного в эксплуатацию ядерного реактора Х-10 в кристаллографии . Вместе с Клиффордом Г. Шуллом они разработали дифракция нейтронов на протяжении 1940-х годов. В 1970-х годах нейтронный интерферометр продемонстрировал действие гравитации в отношении корпускулярно-волнового дуализма в нейтронном интерферометре.

Атомы

Интерференцию волн атомной материи впервые наблюдали Иммануил Эстерманн и Отто Штерн в 1930 году, когда луч Na дифрагировал от поверхности NaCl. Короткая длина волны де Бройля атомов препятствовала прогрессу в течение многих лет, пока два технологических прорыва не возродили интерес: микролитография, позволяющая создавать точные небольшие устройства, и лазерное охлаждение, позволяющее замедлять атомы, увеличивая их длину волны де Бройля.

Достижения в области лазерного охлаждения позволили охладить нейтральные атомы до температур нанокельвина. При этих температурах длины волн де Бройля достигают микрометрового диапазона. Используя брэгговскую дифракцию атомов и метод интерферометрии Рамсея, длина волны де Бройля холодных атомов натрия была точно измерена и оказалась согласующейся с температурой, измеренной другим методом.

Молекулы

Недавние эксперименты подтверждают эти соотношения для молекул и даже макромолекул , которые в противном случае можно было бы считать слишком большими, чтобы подвергаться квантово-механическим эффектам. В 1999 году исследовательская группа в Вене продемонстрировала дифракцию молекул размером с фуллерен . Исследователи рассчитали, что длина волны де Бройля наиболее вероятной скорости C ₆₀ равна 2,5 пм .Более поздние эксперименты доказывают квантовую природу молекул, состоящих из 810 атомов и массой 10 123   Да . С 2019 года это значение было увеличено до молекул массой 25 000 Да .

В этих экспериментах построение таких интерференционных картин можно было зарегистрировать в реальном времени и с чувствительностью к одной молекуле. Большие молекулы уже настолько сложны, что открывают экспериментальный доступ к некоторым аспектам квантово-классического интерфейса, т. е. к определенным декогеренции . механизмам

Бегущие волны материи

Волны имеют более сложные представления о скорости , чем твердые объекты.Самый простой подход — сосредоточиться на описании в терминах плоских волн материи для свободной частицы , то есть волновой функции, описываемой уравнением

$$\psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -i\omega t},$$

где $\mathbf {r}$ это позиция в реальном пространстве, $\mathbf {k}$ – волновой вектор в обратных метрах, ω – угловая частота в единицах обратного времени и $t$ это время. (Здесь используется физическое определение волнового вектора, которое $2\pi$ умножить волновой вектор, используемый в кристаллографии , см. волновой вектор .) Уравнения де Бройля связывают длину волны λ с модулем импульса . $|\mathbf {p} |=p$, а частота f соответствует полной энергии E как свободной частицы, написано выше:

$${\begin{aligned}&\lambda ={\frac {2\pi }{|\mathbf {k} |}}={\frac {h}{p}}\\&f={\frac {\omega }{2\pi }}={\frac {E}{h}}\end{aligned}}$$

где h — постоянная Планка . Уравнения также можно записать в виде

$${\begin{aligned}&\mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} \\&E=\hbar \omega ,\\\end{aligned}}$$

Здесь ħ = h /2 π — приведенная постоянная Планка. Второе уравнение также называют соотношением Планка–Эйнштейна .

Групповая скорость

В гипотезе де Бройля скорость частицы равна групповой скорости волны вещества. В изотропных средах или вакууме групповая скорость волны определяется выражением:

$$\mathbf {v_{g}} ={\frac {\partial \omega (\mathbf {k} )}{\partial \mathbf {k} }}$$

Связь между угловой частотой и волновым вектором называется дисперсионным соотношением . Для нерелятивистского случая это:

$$\omega (\mathbf {k} )\approx {\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}+{\frac {\hbar k^{2}}{2m_{0}}}\,.$$

где $m_{0}$ это масса покоя. Применение производной дает (нерелятивистскую) групповую скорость волн материи :

$$\mathbf {v_{g}} ={\frac {\hbar \mathbf {k} }{m_{0}}}$$

Для сравнения групповая скорость света с дисперсией $\omega (k)=ck$, это скорость света $c$.

В качестве альтернативы можно использовать релятивистское соотношение дисперсии для волн материи.

$$\omega (\mathbf {k} )={\sqrt {k^{2}c^{2}+\left({\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}\right)^{2}}}\,.$$

затем

$$\mathbf {v_{g}} ={\frac {\mathbf {k} c^{2}}{\omega }}$$

Эта релятивистская форма относится к фазовой скорости, как обсуждается ниже.

Для неизотропных сред вместо этого мы используем форму Энергия-импульс :

$${\begin{aligned}\mathbf {v} _{\mathrm {g} }&={\frac {\partial \omega }{\partial \mathbf {k} }}={\frac {\partial (E/\hbar )}{\partial (\mathbf {p} /\hbar )}}={\frac {\partial E}{\partial \mathbf {p} }}={\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}\left({\sqrt {p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}}}\right)\\&={\frac {\mathbf {p} c^{2}}{\sqrt {p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}}}}\\&={\frac {\mathbf {p} c^{2}}{E}}.\end{aligned}}$$

Но (см. ниже), поскольку фазовая скорость равна $\mathbf {v} _{\mathrm {p} }=E/\mathbf {p} =c^{2}/\mathbf {v}$, затем

$${\begin{aligned}\mathbf {v} _{\mathrm {g} }&={\frac {\mathbf {p} c^{2}}{E}}\\&={\frac {c^{2}}{\mathbf {v} _{\mathrm {p} }}}\\&=\mathbf {v} ,\end{aligned}}$$

где $\mathbf {v}$ – скорость центра масс частицы, идентичная групповой скорости.

Фазовая скорость

Фазовая скорость в изотропных средах определяется как:

$$\mathbf {v_{p}} ={\frac {\omega }{\mathbf {k} }}$$

Используя приведенную выше релятивистскую групповую скорость:

$$\mathbf {v_{p}} ={\frac {c^{2}}{\mathbf {v_{g}} }}$$

Это показывает, что $\mathbf {v_{p}} \cdot \mathbf {v_{g}} =c^{2}$ как сообщили Р. В. Дитчберн в 1948 г. и Дж. Л. Синг в 1952 г. Электромагнитные волны также подчиняются $\mathbf {v_{p}} \cdot \mathbf {v_{g}} =c^{2}$, как оба $|\mathbf {v_{p}} |=c$ и $|\mathbf {v_{g}} |=c$. Поскольку для волн материи $|\mathbf {v_{g}} |<c$, отсюда следует, что $|\mathbf {v_{p}} |>c$, но только групповая скорость несет информацию. фазовая Таким образом , сверхсветовая скорость не нарушает специальную теорию относительности, поскольку не несет информации.

Для неизотропных сред тогда

$$\mathbf {v} _{\mathrm {p} }={\frac {\omega }{\mathbf {k} }}={\frac {E/\hbar }{\mathbf {p} /\hbar }}={\frac {E}{\mathbf {p} }}.$$

Использование релятивистских соотношений для энергии и импульса дает

$$\mathbf {v} _{\mathrm {p} }={\frac {E}{\mathbf {p} }}={\frac {mc^{2}}{m\mathbf {v} }}={\frac {\gamma m_{0}c^{2}}{\gamma m_{0}\mathbf {v} }}={\frac {c^{2}}{\mathbf {v} }}.$$

Переменная $\mathbf {v}$ можно интерпретировать либо как скорость частицы, либо как групповую скорость соответствующей волны материи — это одно и то же. Поскольку скорость частицы $|\mathbf {v} |<c$ для любой частицы, имеющей ненулевую массу (согласно специальной теории относительности ), фазовая скорость волн материи всегда превышает c , т. е.

$$|\mathbf {v} _{\mathrm {p} }|>c,$$

которое приближается к c, когда скорость частицы релятивистская. Сверхсветовая фазовая скорость не нарушает специальную теорию относительности, как и в случае , рассмотренном выше для неизотропных сред. Дополнительную информацию см. в статье «Дисперсия (оптика)» .

Специальная теория относительности

Используя две формулы специальной теории относительности : одну для релятивистской энергии массы, другую для релятивистского импульса.

$${\begin{aligned}E&=mc^{2}=\gamma m_{0}c^{2}\\[1ex]\mathbf {p} &=m\mathbf {v} =\gamma m_{0}\mathbf {v} \end{aligned}}$$

позволяет записать уравнения для длины волны и частоты де Бройля как

$${\begin{aligned}&\lambda =\,\,{\frac {h}{\gamma m_{0}v}}\,=\,{\frac {h}{m_{0}v}}\,\,\,{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\\[2.38ex]&f={\frac {\gamma \,m_{0}c^{2}}{h}}={\frac {m_{0}c^{2}}{h{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}},\end{aligned}}$$

где $v=|\mathbf {v} |$ это скорость , $\gamma$ фактор Лоренца и $c$ скорость света в вакууме. Это показывает, что когда скорость частицы приближается к нулю (покой), длина волны де Бройля приближается к бесконечности.

Четырехвекторы

Основная статья: Четырехвекторный

Используя четыре-вектора, соотношения де Бройля образуют одно уравнение:

$$\mathbf {P} =\hbar \mathbf {K} ,$$

который не зависит от кадра .Аналогично, связь между скоростью группы/частицы и фазовой скоростью задается в независимой от системы координат форме:

$$\mathbf {K} =\left({\frac {\omega _{0}}{c^{2}}}\right)\mathbf {U} ,$$

где

• Четырехимпульсный $\mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\mathbf {p} }\right)$
• Четырехволновой вектор $\mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\mathbf {k} }\right)$
• Четырехскоростной $\mathbf {U} =\gamma (c,{\mathbf {u} })=\gamma (c,v_{\mathrm {g} }{\hat {\mathbf {u} }})$

Волны

Предыдущие разделы относятся конкретно к свободным частицам , волновые функции которых представляют собой плоские волны. Существует значительное количество других волн материи, которые можно разделить на три класса: одночастичные волны материи, коллективные волны материи и стоячие волны.

Одночастичные

Более общее описание волн материи, соответствующих одному типу частиц (например, только одному электрону или нейтрону), будет иметь форму, подобную

$$\psi (\mathbf {r} )=u(\mathbf {r} ,\mathbf {k} )\exp(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -iE(\mathbf {k} )t/\hbar )$$

где теперь есть дополнительный пространственный член $u(\mathbf {r} ,\mathbf {k} )$ спереди, а энергия в более общем виде записана как функция волнового вектора. Различные термины, приведенные ранее, все еще применяются, хотя энергия больше не всегда пропорциональна квадрату волнового вектора. Распространенный подход заключается в определении эффективной массы , которая в общем случае является тензором. $m_{ij}^{*}$ данный

$${m_{ij}^{*}}^{-1}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}$$

так что в простом случае, когда все направления одинаковы, форма аналогична форме свободной волны, описанной выше.

$$E(\mathbf {k} )={\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} ^{2}}{2m^{*}}}$$

В общем случае групповая скорость будет заменена током вероятности.

$$\mathbf {j} (\mathbf {r} )={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\psi ^{*}(\mathbf {r} )\mathbf {\nabla } \psi (\mathbf {r} )-\psi (\mathbf {r} )\mathbf {\nabla } \psi ^{*}(\mathbf {r} )\right)$$

где $\nabla$ — это del или градиента оператор . Тогда импульс будет описываться с помощью оператора кинетического импульса ,

$$\mathbf {p} =-i\hbar \nabla$$

Длина волны по-прежнему описывается как величина, обратная модулю волнового вектора, хотя измерение является более сложным. Существует множество случаев, когда этот подход используется для описания одночастичных волн материи:

• Волны Блоха , которые составляют основу большей части зонной структуры , описанной Эшкрофтом и Мермином , а также используются для описания дифракции электронов высоких энергий на твердых телах.
• Волны с угловым моментом, такие как вихревые пучки электронов .
• Затухающие волны , где составляющая волнового вектора в одном направлении является комплексной. Это обычное явление при отражении волн материи, особенно при дифракции скользящего падения .

волны

Смотрите также: Список квазичастиц

Другие классы волн материи включают более одной частицы, поэтому называются коллективными волнами и часто являются квазичастицами . Многие из них встречаются в твердых телах – см. Эшкрофт и Мермин . Примеры включают в себя:

• В твердых телах электронная квазичастица — это электрон , в котором учитываются взаимодействия с другими электронами в твердом теле. Электронная квазичастица имеет тот же заряд и спин, что и «нормальный» ( элементарная частица ) электрон, и, как и нормальный электрон, она является фермионом . Однако его эффективная масса может существенно отличаться от массы обычного электрона. Его электрическое поле также изменяется в результате экранирования электрического поля .
• Дырка — это квазичастица, которую можно рассматривать как вакансию электрона в состоянии; он чаще всего используется в контексте пустых состояний в зоне полупроводника валентной . Дырка имеет заряд, противоположный электрону.
• Полярон — это квазичастица, в которой электрон взаимодействует с поляризацией соседних атомов.
• Экситон – это пара электрона и дырки , связанных вместе.
• Куперова пара — это два электрона, связанных вместе, поэтому они ведут себя как единая волна материи.

Стоячие волны материи

См. Также: Стоячая волна

Некоторые траектории частицы в ящике по Ньютона законам классической механики (А) и волны материи (Б–F). В (B–F) горизонтальная ось — это положение, а вертикальная ось — действительная (синяя) и мнимая часть (красная) волновой функции . Состояния (B,C,D) являются собственными энергетическими состояниями , а (E,F) — нет.

Третий класс — это волны материи, которые имеют волновой вектор, длину волны и меняются со временем, но имеют нулевую групповую скорость или поток вероятности . Простейшим из них, аналогичным обозначениям выше, будет

$$\cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)$$

Они возникают как часть частицы в ящике , а также в других случаях, например, в кольце . Это можно и, возможно, следует распространить на многие другие случаи. Например, в ранних работах де Бройль использовал концепцию, согласно которой волна электронной материи должна быть непрерывной в кольце, чтобы соответствовать условию Бора-Зоммерфельда в ранних подходах к квантовой механике. В этом смысле атомные орбитали вокруг атомов, а также молекулярные орбитали являются электронными волнами материи.

Волны материи против электромагнитных волн

Шрёдингер применил оптико-механическую аналогию Гамильтона для разработки своей волновой механики для субатомных частиц. Следовательно, волновые решения уравнения Шредингера имеют много общих свойств с результатами оптики световых волн . В частности, формула дифракции Кирхгофа хорошо работает для электронной оптики. и для атомной оптики . Приближение работает хорошо, пока электрические поля изменяются медленнее, чем длина волны де Бройля. Макроскопическая аппаратура удовлетворяет этому условию; медленные электроны, движущиеся в твердых телах, этого не делают.

Помимо уравнений движения, другие аспекты волновой оптики материи отличаются от соответствующих случаев световой оптики.

Чувствительность волн материи к состоянию окружающей среды. Многие примеры дифракции электромагнитного (света) происходят в воздухе во многих условиях окружающей среды. Очевидно, видимый свет слабо взаимодействует с молекулами воздуха. Напротив, сильно взаимодействующие частицы, такие как медленные электроны и молекулы, требуют вакуума: волновые свойства материи быстро исчезают, когда они подвергаются воздействию даже низкого давления газа. С помощью специального оборудования можно использовать высокоскоростные электроны для изучения жидкостей и газов . Нейтроны, важное исключение, взаимодействуют главным образом посредством столкновений с ядрами и, таким образом, перемещаются в воздухе на несколько сотен футов.

Дисперсия. Световые волны всех частот движутся с одинаковой скоростью света, в то время как скорость материальных волн сильно зависит от частоты. Связь между частотой (пропорциональной энергии) и волновым числом или скоростью (пропорциональной импульсу) называется дисперсионным соотношением . Световые волны в вакууме имеют линейную дисперсионную зависимость между частотой: $\omega =ck$. Для волн материи соотношение нелинейное:

$$\omega (k)\approx {\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}+{\frac {\hbar k^{2}}{2m_{0}}}\,.$$

Это нерелятивистское уравнение дисперсии волн материи гласит, что частота в вакууме зависит от волнового числа ( $k=1/\lambda$) на две части: постоянную часть, обусловленную частотой де Бройля массы покоя ( $\hbar \omega _{0}=m_{0}c^{2}$) и квадратичная часть, обусловленная кинетической энергией. Квадратичный член вызывает быстрое распространение волновых пакетов волн материи .

Когерентность. Видимость дифракционных особенностей при использовании подхода оптической теории зависит от когерентности луча . что на квантовом уровне эквивалентно подходу матрицы плотности . Как и в случае со светом, поперечная когерентность (поперек направления распространения) может быть увеличена за счет коллимации . Электронно-оптические системы используют стабилизированное высокое напряжение для обеспечения узкого разброса энергии в сочетании с коллимирующими (параллельными) линзами и остроконечными источниками накаливания для достижения хорошей когерентности. Поскольку свет на всех частотах движется с одинаковой скоростью, продольная и временная когерентность связаны между собой; в волнах материи они независимы. Например, для атомов выбор скорости (энергии) контролирует продольную когерентность, а пульсация или прерывание контролирует временную когерентность.

Волны материи оптической формы Оптическое манипулирование материей играет решающую роль в волновой оптике материи: «Световые волны могут действовать как преломляющие, отражающие и поглощающие структуры для волн материи, точно так же, как стекло взаимодействует со световыми волнами». Передача импульса лазерного света может охлаждать частицы материи и изменять внутреннее состояние возбуждения атомов.

Многочастичные эксперименты В то время как одночастичные оптические уравнения в свободном пространстве и волновые уравнения материи идентичны, многочастичные системы, такие как эксперименты по совпадению, — нет.

Применение

В следующих подразделах представлены ссылки на страницы, описывающие применение волн материи в качестве зондов материалов или фундаментальных квантовых свойств . В большинстве случаев они включают в себя тот или иной метод создания бегущих волн материи, которые изначально имеют простую форму. $\exp(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -i\omega t)$, а затем использовать их для исследования материалов.

Как показано в таблице ниже, масса волны материи варьируется более 6 порядков , а энергия - более 9 порядков, но все длины волн находятся в пикометровом диапазоне, что сравнимо с расстоянием между атомами. ( Диаметр атомов варьируется от 62 до 520 пм, а типичная длина одинарной связи углерод-углерод составляет 154 пм.) Для достижения более длинных волн требуются специальные методы, такие как лазерное охлаждение, для достижения более низких энергий; Более короткие длины волн затрудняют различение дифракционных эффектов. Поэтому многие приложения ориентированы на материальные структуры параллельно с применением электромагнитных волн, особенно рентгеновских лучей . В отличие от света, волновые частицы материи могут иметь массу , электрический заряд , магнитные моменты и внутреннюю структуру, что создает новые проблемы и возможности.

Различные длины волн материи

иметь значение	масса	кинетическая энергия	длина волны	ссылка
Электрон	1/1823 Да	54 эВ	167 вечера	Эксперимент Дэвиссона – Роста
Электрон	1/1823 Да	5 × 10 4  эВ	17:00 ​	Тономура и др.
Атом He, молекула H2	4 Да		17:00 ​	Эстерманн и Штерн
Нейтрон	1 Да	0,025 эВ	181 вечера	Воллан и Шулл
Атом натрия	23 Да		20 вечера	Московиц и др.
Гелий	4 Да	0,065 эВ	17:00 ​	Грисенти и др.
NaNa2	23 Да	0,000 17   эВ	16:59 ​	Чепмен и др.
С 60 фуллерен	720 Да	0,2 эВ	17:00 ​	Арндт и др.
С 70 фуллерен	841 Да	0,2 эВ	14:00 ​	Брезгер и др.
полипептид, грамицидин А	1860 Да		360  фм	Шайеги и др.
функционализированные олигопорфирины	25 000  Да	17 эВ	53  фм	Фейн и др.

Электроны

Картины электронной дифракции возникают, когда энергичные электроны отражаются или проникают в упорядоченные твердые тела; анализ закономерностей приводит к моделям расположения атомов в твердых телах.

Они используются для получения изображений от микронного до атомного масштаба с помощью электронных микроскопов , при просвечивании , с помощью сканирования и для поверхностей при низких энергиях .

Измерения энергии, которую они теряют в спектроскопии потерь энергии электронов, дают информацию о химии и электронной структуре материалов. Пучки электронов также приводят к образованию характерных рентгеновских лучей в энергодисперсионной спектроскопии , которые могут давать информацию о химическом составе на наноуровне.

Квантовое туннелирование объясняет, как электроны покидают металлы в электростатическом поле при энергиях, меньших, чем позволяют классические предсказания: волна материи проникает через барьер работы выхода в металле.

Сканирующий туннельный микроскоп использует квантовое туннелирование для получения изображений верхнего атомного слоя твердых поверхностей.

Электронная голография , волновой аналог оптической голографии , исследует электрические и магнитные поля в тонких пленках.

Нейтроны

Дифракция нейтронов дополняет дифракцию рентгеновских лучей за счет различных сечений рассеяния и чувствительности к магнетизму.

Малоугловое рассеяние нейтронов позволяет получить структуру неупорядоченных систем, чувствительную к легким элементам, изотопам и магнитным моментам.

Нейтронная рефлектометрия — это нейтронографический метод измерения структуры тонких пленок.

Нейтральные атомы

Атомные интерферометры , подобно оптическим интерферометрам , измеряют разницу фаз между волнами атомной материи на разных путях.

Атомная оптика имитирует многие светооптические устройства, в том числе зеркала , зональные пластины фокусировки атомов.

Сканирующая гелиевая микроскопия использует волны атомов гелия для неразрушающего изображения твердых структур.

Квантовое отражение использует поведение волн материи для объяснения атомного отражения под углом скольжения, лежащего в основе некоторых атомных зеркал .

Измерения квантовой декогеренции основаны на интерференции волн атомов Rb.

Молекулы

Квантовая суперпозиция, обнаруженная путем интерференции волн материи от больших молекул, исследует пределы корпускулярно-волнового дуализма и квантовой макроскопичности.

Интерферометры материальных волн генерируют наноструктуры на молекулярных пучках, которые можно считывать с нанометровой точностью и, следовательно, использовать для высокочувствительных измерений сил, из которых можно вывести множество свойств индивидуальных сложных молекул.

См. также

• Корпускулярно-волновой дуализм
• Модель Бора
• Комптоновская длина волны
• Волна Фарадея
• Эффект Капицы-Дирака
• Волновые часы материи
• Уравнение Шрёдингера
• Теоретическое и экспериментальное обоснование уравнения Шредингера
• Термическая длина волны де Бройля
• Теория де Бройля – Бома

Дальнейшее чтение

• Л. де Бройль, «Исследования по квантовой теории» , диссертация (Париж), 1924; Л. де Бройль, Анн. Физ. (Париж) 3 , 22 (1925). Английский перевод А.Ф. Краклауэра.
• Бройль, Луи де, Нобелевская лекция о волновой природе электрона , 12, 1929 г.
• Типлер, Пол А. и Ральф А. Ллевеллин (2003). Современная физика . 4-е изд. Нью-Йорк; WH Фриман и Ко. ISBN   0-7167-4345-0 . стр. 203–4, 222–3, 236.
• Зумдал, Стивен С. (2005). Химические принципы (5-е изд.). Бостон: Хоутон Миффлин. ISBN  978-0-618-37206-5 .
• В июле 2009 года появилась обширная обзорная статья «Оптика и интерферометрия атомов и молекул»: https://web.archive.org/web/20110719220930/http://www.atomwave.org/rmparticle/RMPLAO.pdf .
• «Научные статьи, представленные Максу Борну после его выхода на пенсию с кафедры естественной философии Тейта в Эдинбургском университете» , 1953 (Оливер и Бойд)

Внешние ссылки

• Боули, Роджер. «Волны де Бройля» . Шестьдесят символов . Брэди Харан из Ноттингемского университета .