Комптоновская длина волны

Комптоновская длина волны — это квантово-механическое свойство частицы , определяемое как длина волны фотона, энергия которого равна энергии покоя этой частицы (см. эквивалентность массы и энергии ). Он был введен Артуром Комптоном в 1923 году при объяснении рассеяния фотонов электронами комптоновское (процесс, известный как рассеяние ).

Стандартная комптоновская длина волны λ частицы массы $m$ дается

$$\lambda ={\frac {h}{mc}},$$

где h — постоянная Планка , а c — скорость света .Соответствующая частота f определяется выражением

$$f={\frac {mc^{2}}{h}},$$

а угловая частота ω определяется выражением

$$\omega ={\frac {mc^{2}}{\hbar }}.$$

Значение CODATA 73 2018 для комптоновской длины волны электрона составляет 2,426 310 238 67 ( ) × 10. ⁻¹² м . Другие частицы имеют другие комптоновские длины волн.

комптоновская

Приведенная комптоновская длина волны ƛ ( лямбда с перемычкой , обозначенная ниже ${\bar {\lambda }}$) определяется как комптоновская длина волны, деленная на 2 π :

${\bar {\lambda }}={\frac {\lambda }{2\pi }}={\frac {\hbar }{mc}},$

где ħ – приведенная постоянная Планка .

массивных

Обратная приведенная комптоновская длина волны является естественным представлением массы в квантовом масштабе и как таковая появляется во многих фундаментальных уравнениях квантовой механики. Приведенная комптоновская длина волны появляется в релятивистском уравнении Клейна – Гордона для свободной частицы:

$$\mathbf {\nabla } ^{2}\psi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi =\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\psi .$$

Оно появляется в уравнении Дирака (следующее является явно ковариантной формой, использующей соглашение Эйнштейна о суммировании ):

$$-i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi +\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)\psi =0.$$

Уменьшенная комптоновская длина волны также присутствует в уравнении Шрёдингера , хотя это неочевидно в традиционных представлениях уравнения. Ниже приводится традиционное представление уравнения Шредингера для электрона в водородоподобном атоме :

$$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi -{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Ze^{2}}{r}}\psi .$$

Разделив на $\hbar c$ и переписав через константу тонкой структуры , получим:

$${\frac {i}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {\bar {\lambda }}{2}}\nabla ^{2}\psi -{\frac {\alpha Z}{r}}\psi .$$

Различие между редуцированным и нередуцированным

Уменьшенная комптоновская длина волны является естественным представлением массы в квантовом масштабе и используется в уравнениях, относящихся к инерционной массе, таких как уравнения Клейна-Гордона и Шредингера.

Уравнения, относящиеся к длинам волн фотонов, взаимодействующих с массой, используют нередуцированную комптоновскую длину волны. Частица массы m имеет энергию покоя E = mc. ² . Комптоновская длина волны для этой частицы равна длине волны фотона той же энергии. Для фотонов частоты f энергия определяется выражением

$$E=hf={\frac {hc}{\lambda }}=mc^{2},$$

что дает формулу длины волны Комптона, если решить ее для λ .

Ограничение на измерение

Комптоновская длина волны выражает фундаментальное ограничение на измерение положения частицы с учетом квантовой механики и специальной теории относительности .

Это ограничение зависит от массы m частицы.Чтобы понять, как это сделать, обратите внимание: мы можем измерить положение частицы, отражая от нее свет, но для точного измерения положения требуется свет с короткой длиной волны. Свет с короткой длиной волны состоит из фотонов высокой энергии. Если энергия этих фотонов превышает mc ² , когда кто-то сталкивается с частицей, положение которой измеряется, столкновение может дать достаточно энергии для создания новой частицы того же типа. Это делает спорным вопрос о местонахождении исходной частицы.

Этот аргумент также показывает, что уменьшенная комптоновская длина волны — это граница, ниже которой квантовая теория поля , которая может описывать рождение и уничтожение частиц, становится важной. Приведенный выше аргумент можно уточнить следующим образом. мы хотим измерить положение частицы с точностью Δx Предположим , . Тогда соотношение неопределенности для положения и импульса говорит, что

$$\Delta x\,\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}},$$

поэтому неопределенность в импульсе частицы удовлетворяет

$$\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2\Delta x}}.$$

Используя релятивистское соотношение между импульсом и энергией E ² = ( ПК ) ² + ( МК ² ) ² , когда Δ p превышает mc , тогда неопределенность в энергии больше, чем mc ² которого достаточно , энергии для создания другой частицы того же типа. Но мы должны исключить эту большую энергетическую неопределенность. Физически это исключается созданием одной или нескольких дополнительных частиц, чтобы поддерживать неопределенность импульса каждой частицы на уровне mc или ниже . В частности, минимальная неопределенность имеет место, когда рассеянный фотон имеет предельную энергию, равную энергии наблюдения падающего фотона. Отсюда следует, что существует фундаментальный минимум для ∆ x :

$$\Delta x\geq {\frac {1}{2}}\left({\frac {\hbar }{mc}}\right).$$

Таким образом, неопределенность положения должна быть больше половины приведенной комптоновской длины волны ħ / mc .

Связь с другими константами

Типичные длины атомов, волновые числа и области в физике могут быть связаны с приведенной комптоновской длиной волны для электрона ( ${\textstyle {\bar {\lambda }}_{\text{e}}\equiv {\tfrac {\lambda _{\text{e}}}{2\pi }}\simeq 386~{\textrm {fm}}}$) и электромагнитная постоянная тонкой структуры ( ${\textstyle \alpha \simeq {\tfrac {1}{137}}}$).

Радиус Бора связан с комптоновской длиной волны соотношением:

$$a_{0}={\frac {1}{\alpha }}\left({\frac {\lambda _{\text{e}}}{2\pi }}\right)={\frac {{\bar {\lambda }}_{\text{e}}}{\alpha }}\simeq 137\times {\bar {\lambda }}_{\text{e}}\simeq 5.29\times 10^{4}~{\textrm {fm}}$$

Классический радиус электрона примерно в 3 раза больше радиуса протона и записывается:

$$r_{\text{e}}=\alpha \left({\frac {\lambda _{\text{e}}}{2\pi }}\right)=\alpha {\bar {\lambda }}_{\text{e}}\simeq {\frac {{\bar {\lambda }}_{\text{e}}}{137}}\simeq 2.82~{\textrm {fm}}$$

, Константа Ридберга имеющая размерность линейного волнового числа , записывается:

$${\frac {1}{R_{\infty }}}={\frac {2\lambda _{\text{e}}}{\alpha ^{2}}}\simeq 91.1~{\textrm {nm}}$$

$${\frac {1}{2\pi R_{\infty }}}={\frac {2}{\alpha ^{2}}}\left({\frac {\lambda _{\text{e}}}{2\pi }}\right)=2{\frac {{\bar {\lambda }}_{\text{e}}}{\alpha ^{2}}}\simeq 14.5~{\textrm {nm}}$$

Это дает последовательность:

$$r_{\text{e}}=\alpha {\bar {\lambda }}_{\text{e}}=\alpha ^{2}a_{0}=\alpha ^{3}{\frac {1}{4\pi R_{\infty }}}.$$

Для фермионов уменьшенная комптоновская длина волны задает сечение взаимодействий. Например, сечение томсоновского рассеяния фотона на электроне равно

$$\sigma _{\mathrm {T} }={\frac {8\pi }{3}}\alpha ^{2}{\bar {\lambda }}_{\text{e}}^{2}\simeq 66.5~{\textrm {fm}}^{2},$$

что примерно равно площади поперечного сечения ядра железа-56. Для калибровочных бозонов комптоновская длина волны устанавливает эффективный диапазон взаимодействия Юкавы : поскольку фотон не имеет массы, электромагнетизм имеет бесконечный диапазон.

Планковская масса — это порядок массы, для которого комптоновская длина волны и радиус Шварцшильда $r_{\rm {S}}=2GM/c^{2}$ одинаковы, когда их значение близко к планковской длине ( $l_{\rm {P}}$). Радиус Шварцшильда пропорционален массе, тогда как комптоновская длина волны пропорциональна обратной массе. Планковская масса и длина определяются как:

$$m_{\rm {P}}={\sqrt {\hbar c/G}}$$

$$l_{\rm {P}}={\sqrt {\hbar G/c^{3}}}.$$

интерпретация

Геометрическое происхождение комптоновской длины волны было продемонстрировано с помощью полуклассических уравнений, описывающих движение волнового пакета. В этом случае комптоновская длина волны равна квадратному корню из квантовой метрики, метрики, описывающей квантовое пространство: ${\sqrt {g_{kk}}}=\lambda _{\mathrm {C} }$

См. также

• длина волны де Бройля
• Отношение Планка – Эйнштейна

Внешние ссылки

• Шкалы длин в физике: длина волны Комптона