Радиус Бора

Радиус Бора

Символ	a 0 или r Бор
Назван в честь	Нильс Бор
Приблизительные значения (до трех значащих цифр)
единицы СИ	5.29 × 10 −11  м ( 17.9 ​ )

Радиус Бора ( ⁠ $a_{0}$⁠ ) — физическая константа , примерно равная наиболее вероятному расстоянию между ядром и электроном в атоме водорода в его основном состоянии . Он назван в честь Нильса Бора из-за его роли в Бора модели атома . Его значение составляет 5,291 772 105 44 (82) × 10 . ⁻¹¹ м . ‍

Определение и значение

Радиус Бора определяется как $$a_{0}={\frac {4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}{e^{2}m_{\text{e}}}}={\frac {\hbar }{m_{\text{e}}c\alpha }},$$где

• $\varepsilon _{0}$ - диэлектрическая проницаемость свободного пространства ,
• $\hbar$ – приведенная постоянная Планка ,
• $m_{\text{e}}$ это масса электрона ,
• $e$ это элементарный заряд ,
• $c$ - скорость света в вакууме, а
• $\alpha$ – константа тонкой структуры .

Значение CODATA радиуса Бора (в единицах СИ ) составляет 5,291 772 105 44 (82) × 10. ⁻¹¹ м . ‍

История

Изображение атома водорода с использованием модели Бора

В структуры Бора модели атомной под , выдвинутой Нильсом Бором в 1913 году, электроны вращаются вокруг центрального ядра действием электростатического притяжения. Первоначальный вывод постулировал, что электроны имеют орбитальный угловой момент, кратный приведенной постоянной Планка, что успешно соответствовало наблюдению дискретных уровней энергии в спектрах излучения, а также предсказывало фиксированный радиус для каждого из этих уровней. В простейшем атоме водорода один электрон вращается вокруг ядра, а его наименьшая возможная орбита с наименьшей энергией имеет орбитальный радиус, почти равный радиусу Бора. (Это не совсем радиус Бора из-за эффекта уменьшенной массы . Они различаются примерно на 0,05%).

Модель атома Бора была заменена электронным вероятностным облаком, подчиняющимся уравнению Шредингера , опубликованному в 1926 году. Это еще больше усложняется эффектами спина и квантового вакуума, приводящими к созданию тонкой структуры и сверхтонкой структуры . Тем не менее, формула радиуса Бора остается центральной в расчетах атомной физики из-за ее простой связи с фундаментальными константами (именно поэтому она определяется с использованием истинной массы электрона, а не приведенной массы, как упоминалось выше). Таким образом, она стала единицей длины в атомных единицах .

В квантово-механической теории атома водорода Шрёдингера радиус Бора — это значение радиальной координаты, при котором радиальная плотность вероятности положения электрона наибольшая. Ожидаемое значение радиального расстояния электрона, напротив, составляет ⁠ ${\tfrac {3}{2}}a_{0}$⁠ .

Связанные константы

Радиус Бора — одна из трех связанных единиц длины, две другие представляют собой приведенную комптоновскую длину волны электрона ( $\lambda _{\mathrm {e} }/2\pi$) и классический радиус электрона ( $r_{\mathrm {e} }$). Любую из этих констант можно записать через любую другую, используя константу тонкой структуры. $\alpha$:

$r_{\mathrm {e} }=\alpha {\frac {\lambda _{\mathrm {e} }}{2\pi }}=\alpha ^{2}a_{0}.$

Атом водорода и подобные системы

Радиус Бора, включая эффект уменьшенной массы в атоме водорода, определяется выражением

$\ a_{0}^{*}\ ={\frac {m_{\text{e}}}{\mu }}a_{0},$

где ${\textstyle \mu =m_{\text{e}}m_{\text{p}}/(m_{\text{e}}+m_{\text{p}})}$ – приведенная масса электрон-протонной системы (при $m_{\text{p}}$ масса протона). Использование приведенной массы является обобщением задачи двух тел из классической физики за пределами случая, в котором используется приближение, согласно которому масса вращающегося тела пренебрежимо мала по сравнению с массой вращающегося тела. Поскольку приведенная масса системы электрон-протон немного меньше массы электрона, «приведенный» радиус Бора немного больше радиуса Бора ( $a_{0}^{*}\approx 1.00054\,a_{0}\approx 5.2946541\times 10^{-11}$ метров).

Этот результат можно обобщить на другие системы, такие как позитроний (электрон, вращающийся вокруг позитрона ) и мюоний (электрон, вращающийся вокруг антимюона ), используя уменьшенную массу системы и учитывая возможное изменение заряда. Как правило, соотношения модели Бора (радиус, энергия и т. д.) можно легко изменить для этих экзотических систем (вплоть до самого низкого порядка), просто заменив массу электрона приведенной массой системы (а также корректируя заряд, когда это необходимо). . Например, радиус позитрония примерно равен $2\,a_{0}$, поскольку приведенная масса системы позитрония составляет половину массы электрона ( $\mu _{{\text{e}}^{-},{\text{e}}^{+}}=m_{\text{e}}/2$).

Водородоподобный атом будет иметь радиус Бора, который в основном масштабируется как $r_{Z}=a_{0}/Z$, с $Z$ количество протонов в ядре. При этом уменьшенная масса ( $\mu$) становится лучше аппроксимируется только $m_{\text{e}}$ в пределе увеличения ядерной массы. Эти результаты суммированы в уравнении

$r_{Z,\mu }\ ={\frac {m_{\text{e}}}{\mu }}{\frac {a_{0}}{Z}}.$

Ниже представлена ​​таблица примерных соотношений.

Система	Радиус
Водород	$1.00054\,a_{0}$
Позитроний	$2a_{0}$
Муоний	$1.0048\,a_{0}$
Он +	$a_{0}/2$
Что 2+	$a_{0}/3$

См. также

• Магнит Бора
• Ридберг Энерджи

Внешние ссылки

• Шкалы длин в физике: радиус Бора