Уменьшенная масса

В физике приведенная масса — это мера эффективной инерционной массы системы с двумя или более частицами, когда частицы взаимодействуют друг с другом. Уменьшенная масса позволяет решить задачу двух тел так, как если бы это была задача одного тела . Однако обратите внимание, что масса, определяющая гравитационную силу, уменьшается не . При расчете одну массу можно заменить приведенной массой, если это компенсируется заменой другой массы суммой обеих масс. Уменьшенную массу часто обозначают $\mu$ ( мю ), хотя стандартный гравитационный параметр также обозначается $\mu$(как и ряд других физических величин ). Он имеет размеры массы и единицу измерения СИ кг.

Уменьшенная масса особенно полезна в классической механике .

Уравнение

Для двух тел, одного с массой m ₁ и другого с массой m ₂ , эквивалентная задача одного тела, в которой положение одного тела относительно другого является неизвестным, представляет собой задачу одного тела с массой.

$\mu ={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{m_{1}}}+{\cfrac {1}{m_{2}}}}}={\cfrac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}},$

где сила, действующая на эту массу, определяется силой между двумя телами.

Свойства

Приведенная масса всегда меньше или равна массе каждого тела:

$\mu \leq m_{1},\quad \mu \leq m_{2}$

и обладает взаимным аддитивным свойством:

${\frac {1}{\mu }}={\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}$

что при перестановке эквивалентно половине среднего гармонического значения .

В частном случае, когда $m_{1}=m_{2}$:

${\mu }={\frac {m_{1}}{2}}={\frac {m_{2}}{2}}$

Если $m_{1}\gg m_{2}$, затем $\mu \approx m_{2}$.

Вывод

Уравнение можно вывести следующим образом.

Механика Ньютона

Основная статья: ньютоновская механика

Согласно второму закону Ньютона , сила, действующая телом (частицей 2) на другое тело (частицу 1), равна:

$\mathbf {F} _{12}=m_{1}\mathbf {a} _{1}$

Сила, с которой частица 1 действует на частицу 2, равна:

$\mathbf {F} _{21}=m_{2}\mathbf {a} _{2}$

Согласно третьему закону Ньютона , сила, с которой частица 2 действует на частицу 1, равна и противоположна силе, с которой частица 1 действует на частицу 2:

$\mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}$

Поэтому:

$m_{1}\mathbf {a} _{1}=-m_{2}\mathbf {a} _{2}\;\;\Rightarrow \;\;\mathbf {a} _{2}=-{m_{1} \over m_{2}}\mathbf {a} _{1}$

Относительное ускорение a _rel между двумя телами определяется выражением:

$\mathbf {a} _{\rm {rel}}:=\mathbf {a} _{1}-\mathbf {a} _{2}=\left(1+{\frac {m_{1}}{m_{2}}}\right)\mathbf {a} _{1}={\frac {m_{2}+m_{1}}{m_{1}m_{2}}}m_{1}\mathbf {a} _{1}={\frac {\mathbf {F} _{12}}{\mu }}$

Обратите внимание, что (поскольку производная является линейным оператором) относительное ускорение $\mathbf {a} _{\rm {rel}}$ равно ускорению отрыва $\mathbf {x} _{\rm {rel}}$ между двумя частицами.

$\mathbf {a} _{\rm {rel}}=\mathbf {a} _{1}-\mathbf {a} _{2}={\frac {d^{2}\mathbf {x} _{1}}{dt^{2}}}-{\frac {d^{2}\mathbf {x} _{2}}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}(\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2})={\frac {d^{2}\mathbf {x} _{\rm {rel}}}{dt^{2}}}$

Это упрощает описание системы до одной силы (поскольку $\mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}$), одна координата $\mathbf {x} _{\rm {rel}}$, и одна масса $\mu$. Таким образом, мы свели нашу задачу к одной степени свободы и можем заключить, что частица 1 движется относительно положения частицы 2 как отдельная частица с массой, равной приведенной массе: $\mu$.

Лагранжева механика

Основная статья: Лагранжева механика

Альтернативно, лагранжианское описание задачи двух тел лагранжиан дает

${\mathcal {L}}={1 \over 2}m_{1}\mathbf {\dot {r}} _{1}^{2}+{1 \over 2}m_{2}\mathbf {\dot {r}} _{2}^{2}-V(|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|)$

где ${\mathbf {r} }_{i}$ - вектор положения массы $m_{i}$ (частицы $i$). Потенциальная энергия V является функцией, поскольку она зависит только от абсолютного расстояния между частицами. Если мы определим

$\mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}$

и пусть центр масс совпадает с нашим началом координат в этой системе отсчета, т.е.

$m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}=0$,

затем

$\mathbf {r} _{1}={\frac {m_{2}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2}}},\;\mathbf {r} _{2}=-{\frac {m_{1}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2}}}.$

Тогда замена выше дает новый лагранжиан

${\mathcal {L}}={1 \over 2}\mu \mathbf {\dot {r}} ^{2}-V(r),$

где

$\mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$

это приведенная масса. Таким образом, мы свели задачу двух тел к задаче одного тела.

Приложения

Приведенную массу можно использовать во множестве задач двух тел, где применима классическая механика.

Момент инерции двух точечных масс, лежащих на прямой

Две точечные массы, вращающиеся вокруг центра масс.

В системе с двумя точечными массами $m_{1}$ и $m_{2}$ так, что они лежат на одной прямой, два расстояния $r_{1}$ и $r_{2}$ к оси вращения можно найти с помощью

$r_{1}=R{\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$

$r_{2}=R{\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}$

где $R$ представляет собой сумму обоих расстояний $R=r_{1}+r_{2}$.

Это справедливо для вращения вокруг центра масс. Тогда момент инерции вокруг этой оси можно упростить до

$$I=m_{1}r_{1}^{2}+m_{2}r_{2}^{2}=R^{2}{\frac {m_{1}m_{2}^{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}}+R^{2}{\frac {m_{1}^{2}m_{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}}=\mu R^{2}.$$

Столкновения частиц

При столкновении с коэффициентом восстановления e изменение кинетической энергии можно записать как

$\Delta K={\frac {1}{2}}\mu v_{\rm {rel}}^{2}(e^{2}-1)$,

где v _rel — относительная скорость тел перед столкновением .

Для типичных приложений в ядерной физике, где масса одной частицы намного больше другой, приведенную массу можно аппроксимировать как меньшую массу системы. Пределом формулы приведенной массы, когда одна масса стремится к бесконечности, является меньшая масса, поэтому это приближение используется для облегчения вычислений, особенно когда точная масса большей частицы неизвестна.

Движение двух массивных тел под действием гравитационного притяжения

В случае гравитационной потенциальной энергии

$V(|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|)=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|}}\,,$

мы находим, что положение первого тела относительно второго определяется тем же дифференциальным уравнением, что и положение тела с приведенной массой, вращающегося вокруг тела с массой, равной сумме двух масс, потому что

$m_{1}m_{2}=(m_{1}+m_{2})\mu$

Нерелятивистская

Рассмотрим электрон (масса m _e ) и протон (масса m _p ) в атоме водорода . Они вращаются вокруг друг друга вокруг общего центра масс — задача двух тел. Для анализа движения электрона, задачи одного тела, приведенная масса заменяет массу электрона.

$m_{\text{e}}\rightarrow {\frac {m_{\text{e}}m_{\text{p}}}{m_{\text{e}}+m_{\text{p}}}}$

и масса протона становится суммой двух масс

$m_{\text{p}}\rightarrow m_{\text{e}}+m_{\text{p}}$

Эта идея используется для составления уравнения Шрёдингера для атома водорода.

Другое использование

«Приведенная масса» может также относиться в более общем смысле к алгебраическому термину формы

$x^{*}={1 \over {1 \over x_{1}}+{1 \over x_{2}}}={x_{1}x_{2} \over x_{1}+x_{2}}$

что упрощает уравнение вида

$\ {1 \over x^{*}}=\sum _{i=1}^{n}{1 \over x_{i}}={1 \over x_{1}}+{1 \over x_{2}}+\cdots +{1 \over x_{n}}.$

Уменьшенная масса обычно используется как соотношение между двумя параллельно включенными элементами системы, такими как резисторы ; будь то электрическая, тепловая, гидравлическая или механическая области. Аналогичное выражение появляется и в поперечных колебаниях балок для упругих модулей. Эта связь определяется физическими свойствами элементов, а также связывающим их уравнением неразрывности .

См. также

• Рамка центра импульса
• Сохранение импульса
• Гармонический осциллятор
• Чирповая масса — релятивистский эквивалент, используемый в постньютоновском расширении.

Внешние ссылки

• Уменьшена масса в гиперфизике.