Стандартный гравитационный параметр

Тело	м [м 3 с −2 ]
Солнце	1.327 124 400 18 (9)	× 10 20
Меркурий	2.2032(9)	× 10 13
Венера	3.248 59 (9)	× 10 14
Земля	3.986 004 418 (8)	× 10 14
Луна	4.904 8695 (9)	× 10 12
Марс	4.282 837 (2)	× 10 13
Церера	6.263 25	× 10 10
Юпитер	1.266 865 34 (9)	× 10 17
Сатурн	3.793 1187 (9)	× 10 16
Уран	5.793 939 (9)	× 10 15
Нептун	6.836 529 (9)	× 10 15
Плутон	8.71(9)	× 10 11
Эрис	1.108(9)	× 10 12

В небесной механике стандартный гравитационный параметр ц небесного тела представляет собой произведение гравитационной постоянной G и общей массы М тел. Для двух тел параметр может быть выражен как G ( m ₁ + m ₂ ) или как GM , если одно тело намного больше другого:

$$\mu =G(M+m)\approx GM.$$

Для некоторых объектов Солнечной системы значение μ известно с большей точностью, G или M. чем Единицей в системе СИ стандартного гравитационного параметра является м. ³ ⋅ s ⁻² . Однако единица км ³ ⋅ s ⁻² часто используется в научной литературе и в навигации космических аппаратов.

Определение

центрального

Логарифмический график зависимости периода T от большой полуоси a (среднее значение афелия и перигелия) некоторых орбит Солнечной системы (крестики, обозначающие значения Кеплера), показывающий, что a ³/ T ² является постоянным (зеленая линия)

Центральное тело в орбитальной системе можно определить как тело, масса которого ( M ) намного больше массы вращающегося тела ( m ), или M ≫ m . Это приближение является стандартным для планет, вращающихся вокруг Солнца или большинства лун, и значительно упрощает уравнения. Согласно закону всемирного тяготения Ньютона , если расстояние между телами равно r , сила, действующая на меньшее тело, равна:

$$F={\frac {GMm}{r^{2}}}={\frac {\mu m}{r^{2}}}$$

только произведение G и M. Таким образом , для предсказания движения меньшего тела необходимо И наоборот, измерения орбиты меньшего тела предоставляют информацию только о произведении μ , а не о G и M по отдельности. Гравитационную постоянную G трудно измерить с высокой точностью. в то время как орбиты, по крайней мере в Солнечной системе, можно измерить с большой точностью и использовать для определения μ с такой же точностью.

Для круговой орбиты вокруг центрального тела, где центростремительная сила, создаваемая гравитацией, равна F = mv. ² р ⁻¹ :

$$\mu =rv^{2}=r^{3}\omega ^{2}={\frac {4\pi ^{2}r^{3}}{T^{2}}},$$

где r орбиты — радиус , v — орбитальная скорость , ω — угловая скорость , а T — период обращения .

Это можно обобщить для эллиптических орбит :

$$\mu ={\frac {4\pi ^{2}a^{3}}{T^{2}}},$$

где а — большая полуось , что является третьим законом Кеплера .

Для параболических траекторий rv ² постоянна и равна 2 мкм . Для эллиптических и гиперболических орбит величина μ = в 2 раза больше величины a , умноженной на величину ε , где a — большая полуось, а ε — удельная орбитальная энергия .

Общий случай

В более общем случае, когда тела не обязательно должны быть большими и маленькими, например, двойная звездная система, мы определяем:

• вектор r - это положение одного тела относительно другого
• r , v , а в случае эллиптической орбиты a большая полуось определяются соответственно (следовательно, r - расстояние)
• µ = Gm ₁ + Gm ₂ = µ ₁ + µ ₂ , где m ₁ и m ₂ — массы двух тел.

Затем:

• для круговых rv орбит ² = р ³ ой ² = 4п ² р ³ / Т ² = м
• для эллиптических 4π орбит ² а ³ / Т ² = μ (где a выражено в а.е.; T в годах и M — полная масса относительно массы Солнца, мы получаем a ³ / Т ² = М )
• для параболических rv траекторий ² постоянна и равна 2 µ
• для эллиптических и гиперболических орбит µ — это удвоенная большая полуось, умноженная на отрицательную величину удельной орбитальной энергии , где последняя определяется как полная энергия системы, деленная на приведенную массу .

В маятнике

Стандартный гравитационный параметр можно определить с помощью маятника , колеблющегося над поверхностью тела, как:

$$\mu \approx {\frac {4\pi ^{2}r^{2}L}{T^{2}}}$$

где r — радиус гравитирующего тела, L — длина маятника, а Т — период маятника (по поводу приближения см. Маятник в механике ).

Солнечная система

Дополнительная информация: гравитационная постоянная Гаусса.

Геоцентрическая

Дополнительная информация: Масса Земли.

GME , _{гравитационный} параметр Земли как центрального тела, называется геоцентрической гравитационной постоянной . Оно равно (3,986 004 418 ± 0,000 000 008 ) × 10. ¹⁴ м ³ ⋅s ⁻² .

Значение этой константы стало важным с началом космических полетов в 1950-х годах, и в 1960-е годы были приложены большие усилия, чтобы определить ее как можно точнее. Сагитов (1969) приводит диапазон значений, полученных в результате высокоточных измерений 1960-х годов, с относительной неопределенностью порядка 10. ⁻⁶ .

В период с 1970-х по 1980-е годы растущее количество искусственных спутников на околоземной орбите еще больше облегчило высокоточные измерения. а относительная неопределенность уменьшилась еще на три порядка, примерно до 2 × 10 ⁻⁹ (1 на 500 миллионов) по состоянию на 1992 год. Измерения включают в себя наблюдения за расстояниями от спутника до наземных станций в разное время, которые можно получить с высокой точностью с помощью радара или лазерной локации.

гравитационная

Дополнительная информация: Солнечная масса.

G M _☉ , гравитационный параметр Солнца как центрального тела, называется гелиоцентрической гравитационной постоянной или геопотенциалом Солнца и равна (1,327 124 400 42 ± 0,000 000 0001 ) × 10 ²⁰ м ³ ⋅s ⁻² .

Относительная неопределенность в G M _☉ , указанная ниже 10 ⁻¹⁰ по состоянию на 2015 год меньше, чем неопределенность в G M _E потому что G M _☉ получен на основе измерения дальности межпланетных зондов, и абсолютная ошибка измерения расстояния до них примерно такая же, как и измерения дальности спутников Земли, тогда как абсолютные расстояния намного больше.

См. также

• Астрономическая система единиц
• Планетарная масса