Гравитационная постоянная Гаусса

Карл Фридрих Гаусс представил миру свою константу в своей «Теории движения» 1809 года .

Пьяцци Открытие Цереры , описанное в его книге открытием новой планеты Церера-Фердинанда , продемонстрировало полезность постоянной гравитации Гаусса в предсказании положения объектов внутри Солнечной системы.

( Гравитационная постоянная Гаусса символ k ) — параметр, используемый в орбитальной механике Солнечной системы . орбиты Он связывает орбитальный период с большой полуосью и массой вращающегося тела в массах Солнца .

Значение k исторически выражает среднюю угловую скорость системы Земля+Луна и Солнце, рассматриваемую как задачу двух тел ,со значением около 0,986 градусов в сутки , или около 0,0172 радиан в сутки. Как следствие закона тяготения и третьего закона Кеплера , k прямо пропорционален квадратному корню из стандартного гравитационного параметра Солнца : , а его значение в радианах в день получается путем установки большой полуоси Земли ( астрономической единицы а.е.) в единицу, k (рад/д) = ( г М _☉ ) ^0.5 ·В ^−1.5 .

Значение k = 0,017 202 098 95 рад/день было определено Карлом Фридрихом Гауссом в его работе 1809 года Theoria Motus Corporum Coelestium insectionibus Conicis Solem Ambientum («Теория движения небесных тел, движущихся вокруг Солнца в конических сечениях»). . Значение Гаусса было введено МАС как фиксированное, определенное значение ( принято в 1938 году, официально определено в 1964 году), что отделило его от непосредственного представления (наблюдаемой) средней угловой скорости системы Солнце-Земля. Вместо этого астрономическая единица теперь стала измеримой величиной, немного отличающейся от единицы. Это было полезно в небесной механике 20-го века, чтобы предотвратить постоянную адаптацию орбитальных параметров к обновленным измеренным значениям, но это происходило за счет интуитивности, поскольку астрономическая единица, якобы единица длины, теперь зависела от измерения сила гравитационной силы .

МАС отказался от определенного значения k в 2012 году в пользу определенного значения астрономической единицы 1,495 978 707 00 × 10. ¹¹ ровно м , тогда как сила гравитационной силы теперь должна выражаться в отдельном стандартном гравитационном параметре G M _☉ , измеряемом в единицах СИ м ³ ⋅s ⁻² .

Обсуждение

Постоянная Гаусса получена в результате применения третьего закона Кеплера к система Земля+Луна и Солнце рассматривается как задача двух тел ,связывающий период обращения ( P ) с большой полуосью орбиты ( a ) и общей массой вращающихся тел ( M ).Его численное значение было получено путем приравнивания большой полуоси и массы Солнца к единице и измерения периода в средних солнечных днях:

к = 2 π √ а ³ / ( P √ M ) ≈ 0,0172021 [рад], где:

P ≈ 365,256 [дней], M = ( M _☉ + M _E + M _☾ ) ≈ 1,00000304 [ M _☉ ], и a = 1 по определению.

Значение представляет собой среднее угловое движение системы Земля-Солнце в радианах в день , что эквивалентно значению чуть ниже одного градуса (деление круга на 360 градусов в вавилонской астрономии, вероятно, предполагалось как приблизительное число дней в солнечный год ). Поправка за счет деления на квадратный корень из М отражает тот факт, что система Земля-Луна вращается не вокруг самого Солнца, а вокруг центра масс системы.

Сам Исаак Ньютон определил значение этой константы, которое с точностью до шести значащих цифр совпадало со значением Гаусса. Гаусс (1809) дал значение с девятью значащими цифрами, как 3548,18761 угловых секунд .

Поскольку все задействованные параметры, орбитальный период Земли к Солнцу , отношение масс , большая полуось и продолжительность среднего солнечного дня , подлежат все более точным измерениям, точное значение постоянной придется пересмотреть. через некоторое время. Но поскольку константа участвует в определении орбитальных параметров всех остальных тел Солнечной системы, оказалось удобнее установить для нее фиксированное значение по определению, подразумевающее, что значение a будет отклоняться от единицы.За фиксированное значение k = 0,01720209895 [рад] было взято значение, установленное Гауссом (пересчитанное из градусов в радианы ), так что а = 4 π ² :( к ² П ² М ) ≈ 1.

Таким образом, значение константы Гаусса 1809 года использовалось в качестве авторитетного эталонного значения для орбитальной механики Солнечной системы в течение двух столетий.С момента своего появления до 1938 года она считалась измеряемой величиной, а с 1938 по 2012 год она использовалась как определенная величина, при этом неопределенность измерения делегировалась значению астрономической единицы . определенного значения k отказался от МАС использование k было прекращено и заменено фиксированным значением астрономической единицы и (измеренной) величиной стандартного гравитационного параметра GM в 2012 году, и _☉ .

Роль как определяющая константа динамики Солнечной системы.

Сам Гаусс определил константу в угловых секундах с девятью значащими цифрами как k = 3548″,187 61 .В конце 19 века это значение было принято и преобразовано в радианы Саймоном Ньюкомбом как k = 0,017 202 098 95 . и константа появляется в этой форме в его «Таблицах Солнца» , опубликованных в 1898 году.

Работа Ньюкомба была широко признана лучшей из доступных на тот момент. и его значения констант были включены в большое количество астрономических исследований. Из-за этого стало трудно отделить константы от исследования; новые значения констант, по крайней мере частично, сделают недействительными большую часть работы. Следовательно, после образования Международного астрономического союза в 1919 году некоторые константы постепенно стали считаться «фундаментальными»: определяющими константы, из которых были получены все остальные. В 1938 году VI Генеральная ассамблея МАС заявила :

Примем за константу Гаусса значение

к = 0,01720 20989 50000

единица времени — средние солнечные сутки 1900,0.

Однако до 1950 года никаких дальнейших попыток установить набор констант не предпринималось. Симпозиум МАС по системе констант был проведен в Париже в 1963 году, частично в ответ на недавние достижения в освоении космоса. Тогда участники наконец решили установить непротиворечивый набор констант. В Резолюции 1 говорилось, что

Новая система должна определяться неизбыточным набором фундаментальных констант и явными отношениями между ними и производными от них константами.

Рекомендуется резолюция 4

что рабочая группа будет рассматривать следующие величины как фундаментальные константы (в смысле Резолюции № 1).

В список фундаментальных констант было включено

Постоянная Гаусса гравитации, определенная VI Генеральной ассамблеей МАС в 1938 году, имеет значение 0,017202098950000.

Эти резолюции были поддержаны рабочей группой МАС, которая в своем отчете рекомендовала две определяющие константы, одна из которых была

Гравитационная постоянная Гаусса, определяющая au k = 0,01720209895.

Впервые была официально признана роль постоянной Гаусса в масштабах Солнечной системы. Рекомендации рабочей группы были приняты на XII Генеральной ассамблее МАС в Гамбурге, Германия, в 1964 году.

Определение астрономической единицы

Гаусс хотел, чтобы его константа определялась с использованием среднего расстояния. Земли от Солнца на 1 астрономическую единицу точно. Приняв резолюции 1964 года, МАС, по сути, сделал противоположное: определил константу как фундаментальную, а астрономическую единицу как производную, при этом другие переменные в определении уже были фиксированы: масса (Солнца) и время. (день 86 400 секунд). Это перенесло неопределенность с гравитационной постоянной на неопределенность в большой полуоси системы Земля-Солнце, которая больше не составляла точно одну а.е. (а.е. определялась как зависящая от значения гравитационной постоянной).Таким образом, астрономическая единица стала измеряемой величиной, а не определенной, фиксированной.

В 1976 году МАС подтвердил статус постоянной Гаусса на XVI Генеральной ассамблее в Гренобле. объявляя его определяющей константой, и что

Астрономической единицей длины является та длина ( A ), для которой гравитационная постоянная Гаусса ( k ) принимает значение 0,017 202 098 95 , когда единицами измерения являются астрономические единицы длины, массы и времени. Размеры к ² являются константой гравитации ( G ), т. е . T ⁻² л ³ М ⁻¹ . Термин «единичное расстояние» также используется для обозначения длины ( A ).

Согласно этому определению, среднее расстояние Земли от Солнца составляет 1 000 000 03 а.е., но с учетом возмущений со стороны других планет, которые не достигают нуля с течением времени, среднее расстояние составляет 1 000 000 20 а.е.

Отказ

В 2012 году МАС, как часть нового, самосогласованного набора единиц и числовых стандартов для использования в современной динамической астрономии, переопределил астрономическую единицу как

условная единица длины, равная ровно 149 597 870 700 м ,......учитывая, что точность современных измерений дальности делает ненужным использование коэффициентов расстояний

и поэтому отказался от постоянной Гаусса как косвенного определения масштаба Солнечной системы, рекомендуя

исключить гравитационную постоянную Гаусса k из системы астрономических констант.

Значение k, основанное на определенном значении для астрономической единицы, теперь будет зависеть от неопределенности измерения стандартного гравитационного параметра , $k={\sqrt {GM_{\odot }}}\cdot {\text{au}}^{-1.5}\cdot {\text{d}}={1.32712440018(9)}^{0.5}\cdot 1.495978707^{-1.5}\cdot 8.64\cdot 10^{-2.5}=0.0172020989484(6).$

Единицы измерения и размеры

k задается как безразмерная доля порядка 1,7%, но ее можно считать эквивалентной квадратному корню из гравитационной постоянной , в этом случае он имеет единицы измерения а.е. ^{3 ⁄ 2} ⋅d ⁻¹ ⋅ M _☉ ^{− 1 ⁄ 2} , где

au — это расстояние , на котором k принимает свое значение, определенное Гауссом, — расстояние по невозмущенной круговой орбите гипотетического безмассового тела, период обращения которого равен ⁠ 2π / k ⁠ дней,

d — средний солнечный день (86 400 секунд),

M _☉ — масса Солнца ​ .

Следовательно размерности k , равны

длина ^{3 ⁄ 2} время ⁻¹ масса ^{− 1 ⁄ 2} или Л ^{3 ⁄ 2} Т ⁻¹ М ^{− 1 ⁄ 2} .

Несмотря на это, k известно с гораздо большей точностью, чем G (или квадратный корень из G ).Абсолютное значение G известно с точностью около 10 ⁻⁴ , но произведение G M _☉ (гравитационный параметр Солнца) известно с точностью лучше 10 ⁻¹⁰ .

Вывод

оригинал Гаусса

Гаусс начинает свою «Теорию движения» с представления без доказательства нескольких законов движения тел вокруг Солнца. Далее в тексте он упоминает, что Пьер-Симон Лаплас подробно рассматривает их в своей «Небесной механике» . Последние два закона Гаусса таковы:

• Площадь , охватываемая линией, соединяющей тело и Солнце, деленная на время, в течение которого она проходит, дает постоянное частное . Это Кеплера второй закон движения планет .
• Квадрат сумме этого частного пропорционален параметру (то есть кишке и ) орбиты масс широкой Солнца прямой и тела. Это модифицированная форма третьего закона Кеплера .

Далее он определяет:

• 2 p как параметр (т. е. широкая прямая кишка ) орбиты тела,
• μ как масса тела, где масса Солнца = 1,
• ⁠ 1/2 как площадь , , ⁠ g очерченная линией, соединяющей Солнце и тело
• t — время, в течение которого эта область очищается,

и заявляет, что

${\frac {g}{t{\sqrt {p}}{\sqrt {1+\mu }}}}$

является «постоянным для всех небесных тел». Он продолжает: «не имеет значения, какое тело мы используем для определения этого числа», и поэтому использует Землю, определяя

• единица расстояния = среднее расстояние Земли (то есть ее большой полуоси ) от Солнца,
• единица времени = один солнечный день .

Он утверждает, что площадь, охватываемая Землей на ее орбите, «очевидно, будет равна» π √ p , и использует это, чтобы упростить свою константу до

${\frac {2\pi }{t{\sqrt {1+\mu }}}}.$

Здесь он называет константу k и подставляет некоторые измеренные значения: t = 365,256 3835 дней, μ = ⁠ 1/354 = масс , 710 ⁠ достигает результата k солнечных 0,017 202 098 95 .

В современных условиях

Гаусс известен тем, что упускает детали, и этот вывод не является исключением. Здесь оно повторено в современном понимании, дополняя некоторые детали.

Определить без доказательства

$h=2{\frac {dA}{dt}},$

где

• ⁠ dA / dt ⁠ — скорость охвата площади телом на своей орбите во времени , константа согласно Кеплера второму закону , и
• h — удельный угловой момент , одна из констант движения двух тел .

Далее определите

$h^{2}=\mu p,$

где

• µ = G ( M + m ) — гравитационный параметр , где
  • G — Ньютона гравитационная постоянная ,
  • М — масса первичного тела (т. е. Солнца ),
  • m — масса вторичного тела (т. е. планеты ), а
• p — полупараметр (полуширокая прямая кишка ) орбиты тела.

Обратите внимание, что каждая переменная в приведенных выше уравнениях является константой для движения двух тел. Объединив эти два определения,

$\left(2{\frac {dA}{dt}}\right)^{2}=G(M+m)p,$

именно это Гаусс и описал последним из своих законов. Взяв квадратный корень ,

$2{\frac {dA}{dt}}={\sqrt {G}}{\sqrt {M+m}}{\sqrt {p}},$

и решая для √ G ,

${\sqrt {G}}={\frac {2dA}{dt{\sqrt {M+m}}{\sqrt {p}}}}.$

На этом этапе определим k ≡ √ G . Пусть dA — вся площадь, охватываемая телом при его вращении, следовательно, dA = π ab , площадь эллипса , где a — большая полуось , а b — малая полуось . Пусть dt = P — время, за которое тело совершает один оборот. Таким образом,

$k={\frac {2\pi ab}{P{\sqrt {M+m}}{\sqrt {p}}}}.$

Здесь Гаусс решает использовать Землю для нахождения k . геометрии эллипса = p Из ⁠ b ² / a ⁠ . Установив большую полуось Земли a = 1 , p уменьшается до b. ² и √ п знак равно б . Подставив, площадь эллипса «очевидно» равна π √ p , а не π ab . Подставляя это в числитель уравнения для k и сокращая,

$k={\frac {2\pi }{P{\sqrt {M+m}}}}.$

Обратите внимание, что Гаусс, нормировав размер орбиты, полностью исключил ее из уравнения. Проведя дальнейшую нормализацию, установите массу Солнца равной 1,

$k={\frac {2\pi }{P{\sqrt {1+m}}}},$

где теперь m находится в солнечных массах . Остались две величины: P , период обращения Земли или сидерический год , величина, известная точно путем измерений на протяжении веков, и m , масса системы Земля-Луна. Снова подставляя измеренные значения в том виде, в котором они были известны во времена Гаусса, P = 365,256 3835 дней, m = ⁠ 1/354 ⁠ солнечных 710 масс , что дает результат k = 0,017 202 098 95 .

Постоянная Гаусса и третий закон Кеплера.

Постоянная Гаусса тесно связана с третьим законом движения планет Кеплера , и один легко выводится из другого. Начнем с полного определения постоянной Гаусса:

$k={\frac {2\pi ab}{P{\sqrt {M+m}}{\sqrt {p}}}},$

где

• а — большая полуось эллиптической орбиты ,
• b — малая полуось эллиптической орбиты,
• P — орбитальный период ,
• М – масса первичного тела,
• m — масса вторичного тела, а
• p — полурасширенная прямая кишка эллиптической орбиты.

Из геометрии эллипса , полураскрытой прямой кишки, p можно выразить через a и b следующим образом: p = ⁠ b ² / a ⁠ . Поэтому,

${\sqrt {p}}={\frac {b}{\sqrt {a}}}.$

Подставляя и сокращая, постоянная Гаусса становится

$k={\frac {2\pi }{P}}{\sqrt {\frac {a^{3}}{M+m}}}.$

Из орбитальной механики , ⁠ 2π / P ⁠ — это просто n , среднее движение тела по орбите. Следовательно,

${\begin{aligned}k&=n{\sqrt {\frac {a^{3}}{M+m}}},\\[8pt]k^{2}&={\frac {n^{2}a^{3}}{M+m}},\\[8pt]k^{2}(M+m)&=n^{2}a^{3},\end{aligned}}$

что является определением третьего закона Кеплера. В этой форме его часто можно увидеть с G , гравитационной постоянной Ньютона вместо k. ² .

Установка a = 1 , M = 1 , m ≪ M и n в радианах в день приводит к k ≈ n , также в единицах радиан в день, о чем см. соответствующий раздел статьи о среднем движении .

Другие определения

Дополнительная информация: Гравитационная постоянная.

Значение константы Гаусса, в том виде, в каком он его получил, использовалось со времен Гаусса, поскольку, как описано выше, оно считалось фундаментальной константой. Солнечная масса , средний солнечный день и звездный год, с помощью которых Гаусс определил свою константу, медленно меняются в значении. Если современный значения были вставлены в определяющее уравнение, в результате получилось значение 0,017 202 097 89 .

Также можно установить гравитационную постоянную, массу Солнца и астрономическую единицу равными 1. Это определяет единицу времени, с которой период результирующей орбиты равен 2π . Их часто называют каноническими единицами .

См. также

• Гравитационная постоянная
• Стандартный гравитационный параметр
• Законы движения планет Кеплера
• Среднее движение

Дальнейшее чтение

• Брамфил, Джефф (14 сентября 2012 г.). «Астрономическая единица фиксируется: расстояние между Землей и Солнцем превращается из скользкого уравнения в одно число» . Природа . дои : 10.1038/nature.2012.11416 . S2CID   123424704 . Проверено 14 сентября 2012 г.
• Сирс, Фредерик Х. (февраль 1899 г.). «Константа притяжения» . Публикации Тихоокеанского астрономического общества . 11 (66): 22. Бибкод : 1899PASP...11...22S . дои : 10.1086/121298 .

Внешние ссылки

• Запись в глоссарии Гравитационная постоянная Гаусса . Архивировано 19 августа 2017 г. в Wayback Machine в Военно-морской обсерватории США. Архивировано онлайн-альманахе 20 апреля 2015 г. в Wayback Machine.
• Гравитационная постоянная Гаусса, Wolfram ScienceWorld