Среднее движение

В орбитальной механике среднее движение (обозначенное n ) — это угловая скорость, необходимая телу для прохождения одной орбиты, при условии постоянной скорости на круговой орбите , которая завершается в то же время, что и эллиптическая орбита с переменной скоростью реального тела. ^[1] Эта концепция одинаково хорошо применима к маленькому телу, вращающемуся вокруг большого, массивного основного тела, или к двум телам относительно одинакового размера, вращающимся вокруг общего центра масс . Хотя номинально это среднее значение и теоретически таково в случае движения двух тел , на практике среднее движение обычно не является средним по времени для орбит реальных тел, которые лишь аппроксимируют предположение о двух телах. Скорее, это мгновенное значение, которое удовлетворяет вышеуказанным условиям и рассчитано на основе текущих гравитационных и геометрических тела обстоятельств постоянно меняющейся, возмущенной орбиты .

Среднее движение используется как приближение фактической орбитальной скорости при первоначальном расчете положения тела на его орбите, например, по набору элементов орбиты . Это среднее положение уточняется с помощью уравнения Кеплера для получения истинного положения.

Определение

Определите орбитальный период (период времени, в течение которого тело совершает один оборот) как P с размерностью времени. Среднее движение — это просто один оборот, разделенный на это время, или

n={\frac {2\pi }{P}},\qquad n={\frac {360^{\circ }}{P}},\quad {\mbox{or}}\quad n={\frac {1}{P}},

с размерностями радиан в единицу времени, градусов в единицу времени или оборотов в единицу времени. ^[2]^[3]

Значение среднего движения зависит от обстоятельств конкретной гравитирующей системы. В системах с большей массой тела вращаются быстрее, в соответствии с законом всемирного тяготения Ньютона . Аналогично, тела, расположенные ближе друг к другу, также будут вращаться быстрее.

Среднее движение и законы Кеплера

закон движения планет Кеплера гласит: квадрат времени периодического Третий пропорционален кубу среднего расстояния . ^[4] или

{a^{3}}\propto {P^{2}},

где a — большая полуось или среднее расстояние, а P — орбитальный период, как указано выше. Константа пропорциональности определяется выражением

{\frac {a^{3}}{P^{2}}}={\frac {\mu }{4\pi ^{2}}}

где μ — стандартный гравитационный параметр , константа для любой конкретной гравитационной системы.

Если среднее движение задано в радианах в единицу времени, мы можем объединить его с приведенным выше определением третьего закона Кеплера:

{\frac {\mu }{4\pi ^{2}}}={\frac {a^{3}}{\left({\frac {2\pi }{n}}\right)^{2}}},

и сокращение,

\mu =a^{3}n^{2},

это еще одно определение третьего закона Кеплера. ^[3]^[5] μ , константа пропорциональности, ^[6]^{[примечание 1]} — гравитационный параметр, определяемый массами рассматриваемых тел и постоянной Ньютона гравитационной G (см. ниже). Следовательно, n также определено ^[7]

n^{2}={\frac {\mu }{a^{3}}},\quad {\text{or}}\quad n={\sqrt {\frac {\mu }{a^{3}}}}.

Расширение среднего движения путем расширения μ ,

n={\sqrt {\frac {G(M+m)}{a^{3}}}},

где M обычно представляет собой массу основного тела системы, а m — массу меньшего тела.

Это полное гравитационное определение среднего движения в системе двух тел . Часто в небесной механике главное тело значительно больше любого из второстепенных тел системы, то есть M ≫ m . Именно при таких обстоятельствах m становится неважным и третий закон Кеплера примерно постоянен для всех меньших тел.

Второй закон движения планет Кеплера гласит: линия, соединяющая планету и Солнце, охватывает равные площади за одинаковое время . ^[6] или

{\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}={\text{constant}}

для орбиты двух тел, где ⁠ d A / d t ⁠ — скорость изменения омываемой площади во времени .

Полагая t = P , орбитальный период, охватываемая площадь равна всей площади эллипса , d A = $π$ ab , где a — большая полуось , а b — малая полуось эллипса. ^[8] Следовательно,

{\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}={\frac {\pi ab}{P}}.

Умножив это уравнение на 2,

2\left({\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}\right)=2\left({\frac {\pi ab}{P}}\right).

Из приведенного выше определения среднее движение n = ⁠ 2 $π$ / П ⁠ . Замена,

2{\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}=nab,

и среднее движение также

n={\frac {2}{ab}}{\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}},

который сам по себе является постоянным как a , b , и ⁠ d A / d t ⁠ все постоянны при движении двух тел.

Среднее движение и константы движения

Из-за природы движения двух тел в консервативном гравитационном поле два аспекта движения не изменяются: угловой момент и механическая энергия .

Первую константу, называемую удельным угловым моментом , можно определить как ^[8]^[9]

h=2{\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}},

и подставив в приведенное выше уравнение среднее движение, также

n={\frac {h}{ab}}.

Вторую константу, называемую удельной механической энергией , можно определить как ^[10]^[11]

\xi =-{\frac {\mu }{2a}}.

Перестановка и умножение на ⁠ 1 / а ²⁠ ,

{\frac {-2\xi }{a^{2}}}={\frac {\mu }{a^{3}}}.

Сверху квадрат среднего движения n ² = ⁠ мкм / а ³⁠ . Заменяя и переставляя, среднее движение также можно выразить:

n={\frac {1}{a}}{\sqrt {-2\xi }},

где -2 показывает, что ξ следует определять как отрицательное число, как это принято в небесной механике и астродинамике .

Среднее движение и гравитационные константы

обычно используются две гравитационные константы В небесной механике Солнечной системы : G , гравитационная постоянная Ньютона , и k , гравитационная постоянная Гаусса . Согласно приведенным выше определениям, среднее движение — это

n={\sqrt {\frac {G(M+m)}{a^{3}}}}\,\!.

Нормализовав части этого уравнения и сделав некоторые предположения, его можно упростить, выявив связь между средним движением и константами.

Приняв массу Солнца за единицу, M = 1. Массы всех планет намного меньше m ≪ M. , Следовательно, для любой конкретной планеты

n\approx {\sqrt {\frac {G}{a^{3}}}},

а также принимая большую полуось за одну астрономическую единицу ,

n_{1\;{\text{AU}}}\approx {\sqrt {G}}.

Гравитационная постоянная Гаусса k = √ G , ^[12]^[13]^{[примечание 2]} следовательно, при тех же условиях, что и выше, для любой конкретной планеты

n\approx {\frac {k}{\sqrt {a^{3}}}},

и снова принимая большую полуось за одну астрономическую единицу,

n_{1{\text{ AU}}}\approx k.

Среднее движение и средняя аномалия

Среднее движение также представляет собой скорость изменения средней аномалии и, следовательно, также может быть рассчитано: ^[14]

{\begin{aligned}n&={\frac {M_{1}-M_{0}}{t_{1}-t_{0}}}={\frac {M_{1}-M_{0}}{\Delta t}},\\M_{1}&=M_{0}+n\times (t_{1}-t_{0})=M_{0}+n\times \Delta t\end{aligned}}

где M ₁ и M ₀ — средние аномалии в определенные моменты времени, а Δ t (≡ t ₁ - t ₀ ) — время, прошедшее между ними. M0 _время называется средней аномалией в эпоху t0 _, а Δt — это , прошедшее с эпохи .

Формулы

Для параметров орбиты спутника Земли среднее движение обычно измеряется в оборотах в день . В этом случае

n={\frac {d}{2\pi }}{\sqrt {\frac {G(M+m)}{a^{3}}}}=d{\sqrt {\frac {G(M+m)}{4\pi ^{2}a^{3}}}}\,\!

где

d — количество времени в сутках ,
G — гравитационная постоянная ,
M и m - массы вращающихся тел,
а — длина большой полуоси .

Чтобы преобразовать радианы в единицу времени в обороты в день, учтите следующее:

{\rm {{\frac {radians}{time\ unit}}\times {\frac {1\ revolution}{2\pi \ radians}}\times }}{\frac {d\ {\rm {time\ units}}}{1{\rm {\ day}}}}={\frac {d}{2\pi }}{\rm {\ revolutions\ per\ day}}

С учетом вышеизложенного среднее движение в радианах в единицу времени равно:

n={\frac {2\pi }{P}},

поэтому среднее количество оборотов в день равно

n={\frac {d}{2\pi }}{\frac {2\pi }{P}}={\frac {d}{P}},

где P — орбитальный период , как указано выше.

См. также

Примечания

^ Не путайте μ , гравитационный параметр , с μ , приведенной массой .
^ Гравитационная постоянная Гаусса k обычно измеряется в радианах в день, а гравитационная постоянная Ньютона G обычно выражается в единицах СИ . Будьте осторожны при конвертации.

Ссылки

^ Зайдельманн, П. Кеннет; Урбан, Шон Э., ред. (2013). Объяснительное приложение к Астрономическому альманаху (3-е изд.). Университетские научные книги, Милл-Вэлли, Калифорния. п. 648. ИСБН 978-1-891389-85-6 .
^ Рой, А.Е. (1988). Орбитальное движение (третье изд.). Институт физического издательства . п. 83. ИСБН 0-85274-229-0 .
^ Jump up to: ^а ^б Брауэр, Дирк; Клеманс, Джеральд М. (1961). Методы небесной механики . Академическая пресса . стр. 20–21 .
^ Валладо, Дэвид А. (2001). Основы астродинамики и приложений (второе изд.). Эль-Сегундо, Калифорния: Microcosm Press. п. 29. ISBN 1-881883-12-4 .
^ Баттин, Ричард Х. (1999). Введение в математику и методы астродинамики, исправленное издание . Американский институт аэронавтики и астронавтики, Inc. с. 119. ИСБН 1-56347-342-9 .
^ Jump up to: ^а ^б Валладо, Дэвид А. (2001). п. 31.
^ Валладо, Дэвид А. (2001). п. 53.
^ Jump up to: ^а ^б Валладо, Дэвид А. (2001). п. 30.
^ Бейт, Роджер Р.; Мюллер, Дональд Д.; Уайт, Джерри Э. (1971). Основы астродинамики . Dover Publications, Inc., Нью-Йорк. п. 32 . ISBN 0-486-60061-0 .
^ Валладо, Дэвид А. (2001). п. 27.
^ Бейт, Роджер Р.; Мюллер, Дональд Д.; Уайт, Джерри Э. (1971). п. 28.
^ Военно-морская обсерватория США, Управление морского альманаха; Управление морского альманаха Ее Величества (1961). Пояснительное приложение к Астрономическим эфемеридам и Американским эфемеридам и Морскому альманаху . Офис канцелярских товаров HM, Лондон. п. 493.
^ Смарт, WM (1953). Небесная механика . Лонгманс, Грин и Ко, Лондон. п. 4.
^ Валладо, Дэвид А. (2001). п. 54.

Внешние ссылки

Запись в глоссарии означает движение. Архивировано 23 декабря 2017 г. в Wayback Machine Военно-морской обсерватории США. в онлайн-альманахе Архивировано 20 апреля 2015 г. в Wayback Machine.

[7] Не путайте μ , гравитационный параметр , с μ , приведенной массой .

[15] Гравитационная постоянная Гаусса k обычно измеряется в радианах в день, а гравитационная постоянная Ньютона G обычно выражается в единицах СИ . Будьте осторожны при конвертации.

[1] Зайдельманн, П. Кеннет; Урбан, Шон Э., ред. (2013). Объяснительное приложение к Астрономическому альманаху (3-е изд.). Университетские научные книги, Милл-Вэлли, Калифорния. п. 648. ИСБН 978-1-891389-85-6 .

[2] Рой, А.Е. (1988). Орбитальное движение (третье изд.). Институт физического издательства . п. 83. ИСБН 0-85274-229-0 .

[BrowerClemence-3] Jump up to: ^а ^б Брауэр, Дирк; Клеманс, Джеральд М. (1961). Методы небесной механики . Академическая пресса . стр. 20–21 .

[4] Валладо, Дэвид А. (2001). Основы астродинамики и приложений (второе изд.). Эль-Сегундо, Калифорния: Microcosm Press. п. 29. ISBN 1-881883-12-4 .

[5] Баттин, Ричард Х. (1999). Введение в математику и методы астродинамики, исправленное издание . Американский институт аэронавтики и астронавтики, Inc. с. 119. ИСБН 1-56347-342-9 .

[Vallado31-6] Jump up to: ^а ^б Валладо, Дэвид А. (2001). п. 31.

[Vallado53-8] Валладо, Дэвид А. (2001). п. 53.

[Vallado30-9] Jump up to: ^а ^б Валладо, Дэвид А. (2001). п. 30.

[10] Бейт, Роджер Р.; Мюллер, Дональд Д.; Уайт, Джерри Э. (1971). Основы астродинамики . Dover Publications, Inc., Нью-Йорк. п. 32 . ISBN 0-486-60061-0 .

[Vallado27-11] Валладо, Дэвид А. (2001). п. 27.

[BMW28-12] Бейт, Роджер Р.; Мюллер, Дональд Д.; Уайт, Джерри Э. (1971). п. 28.

[13] Военно-морская обсерватория США, Управление морского альманаха; Управление морского альманаха Ее Величества (1961). Пояснительное приложение к Астрономическим эфемеридам и Американским эфемеридам и Морскому альманаху . Офис канцелярских товаров HM, Лондон. п. 493.

[14] Смарт, WM (1953). Небесная механика . Лонгманс, Грин и Ко, Лондон. п. 4.

[16] Валладо, Дэвид А. (2001). п. 54.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[примечание 1]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[примечание 2]

[14]