Эффект Оберта

Не путать с гравитацией .

В космонавтике облет с двигателем , или маневр Оберта , — это маневр, при котором космический корабль падает в гравитационную яму , а затем использует свои двигатели для дальнейшего ускорения по мере падения, тем самым достигая дополнительной скорости. Полученный в результате маневр — более эффективный способ получить кинетическую энергию , чем применение того же импульса за пределами гравитационного колодца. Увеличение эффективности объясняется эффектом Оберта , при котором использование реактивного двигателя на более высоких скоростях генерирует большее изменение механической энергии, чем его использование на более низких скоростях. На практике это означает, что наиболее энергоэффективным методом сжигания топлива космического корабля является минимально возможный периапсис орбиты , когда его орбитальная скорость (и, следовательно, его кинетическая энергия) наибольшая. В некоторых случаях даже стоит потратить топливо на замедление космического корабля в гравитационную яму, чтобы воспользоваться эффективностью эффекта Оберта. Маневр и эффект названы в честь человека, впервые описавшего их в 1927 году, Германа Оберта , трансильванско-саксонского физика и основоположника современной ракетной техники .

Поскольку транспортное средство остается вблизи перицентра только в течение короткого времени, для того, чтобы маневр Оберта был наиболее эффективным, транспортное средство должно быть способно генерировать как можно больший импульс за кратчайшее время. В результате маневр Оберта гораздо более полезен для ракетных двигателей с большой тягой, таких как жидкостные ракеты , и менее полезен для реактивных двигателей с низкой тягой, таких как ионные двигатели , которым требуется много времени для набора скорости. Ракеты с малой тягой могут использовать эффект Оберта, разделяя длинный вылет на несколько коротких запусков вблизи перицентра. Эффект Оберта также можно использовать для понимания поведения многоступенчатых ракет : верхняя ступень может генерировать гораздо больше полезной кинетической энергии, чем общая химическая энергия топлива, которое она несет.

С точки зрения задействованных энергий эффект Оберта более эффективен на более высоких скоростях, поскольку на высоких скоростях топливо обладает значительной кинетической энергией в дополнение к своей химической потенциальной энергии. На более высокой скорости транспортное средство может использовать большее изменение (уменьшение) кинетической энергии топлива (поскольку оно выбрасывается назад и, следовательно, на пониженной скорости и, следовательно, с уменьшенной кинетической энергией) для создания большего увеличения кинетической энергии транспортного средства.

Объяснение с точки зрения работы и кинетической энергии.

Поскольку кинетическая энергия равна mv ² /2, это изменение скорости приводит к большему увеличению кинетической энергии при высокой скорости, чем при низкой скорости. Например, учитывая ракету массой 2 кг:

• при скорости 1 м/с ракета стартует с 1 ² = 1 Дж кинетической энергии. Добавление 1 м/с увеличивает кинетическую энергию до 2. ² = 4 Дж, для выигрыша в 3 Дж;
• при скорости 10 м/с ракета стартует с 10 ² = 100 Дж кинетической энергии. Добавление 1 м/с увеличивает кинетическую энергию до 11. ² = 121 Дж, для выигрыша в 21 Дж.

Это большее изменение кинетической энергии может затем поднять ракету в гравитационном колодце выше, чем если бы топливо сгорало на более низкой скорости.

Описание с точки зрения работы

Тяга, создаваемая ракетным двигателем, не зависит от скорости ракеты относительно окружающей атмосферы. Ракета, действующая на неподвижный объект, как при статической стрельбе, не совершает с ракетой никакой полезной работы; Химическая энергия ракеты постепенно преобразуется в кинетическую энергию выхлопных газов плюс тепло. Но когда ракета движется, ее тяга действует на расстояние, которое она преодолевает. Сила, умноженная на перемещение, является определением механической работы . Чем больше скорость ракеты и полезной нагрузки во время горения, тем больше водоизмещение и совершенная работа и тем больше прирост кинетической энергии ракеты и ее полезной нагрузки. По мере увеличения скорости ракеты все больше доступной кинетической энергии поступает в ракету и ее полезную нагрузку и меньше - в выхлопные газы.

Это показано следующим образом. Механическая работа, совершенная на ракете ( $W$) определяется как скалярное произведение силы тяги двигателя ( ${\vec {F}}$) и смещение, которое он проходит во время горения ( ${\vec {s}}$):

$W={\vec {F}}\cdot {\vec {s}}.$

Если ожог произведен в прямом направлении, ${\vec {F}}\cdot {\vec {s}}=\|F\|\cdot \|s\|=F\cdot s$. В результате работы изменяется кинетическая энергия

$\Delta E_{k}=F\cdot s.$

Дифференцируя по времени, получаем

${\frac {\mathrm {d} E_{k}}{\mathrm {d} t}}=F\cdot {\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}},$

или

${\frac {\mathrm {d} E_{k}}{\mathrm {d} t}}=F\cdot v,$

где $v$ это скорость. Деление на мгновенную массу $m$ выразить это через удельную энергию ( $e_{k}$), мы получаем

${\frac {\mathrm {d} e_{k}}{\mathrm {d} t}}={\frac {F}{m}}\cdot v=a\cdot v,$

где $a$ – вектор ускорения .

Таким образом, легко видеть, что скорость увеличения удельной энергии каждой части ракеты пропорциональна скорости, и, учитывая это, уравнение можно проинтегрировать ( численно или иным образом) для расчета общего увеличения удельной энергии ракеты. .

Импульсивный ожог

Интегрирование приведенного выше уравнения энергии часто не требуется, если продолжительность горения невелика. Кратковременные горения химических ракетных двигателей вблизи периапсиса или где-либо еще обычно математически моделируются как импульсивные горения, при которых сила двигателя доминирует над любыми другими силами, которые могут изменить энергию транспортного средства при горении.

Например, когда аппарат падает к перицентру на любой орбите (замкнутой или убегающей), скорость относительно центрального тела увеличивается. Кратковременное включение двигателя («импульсивное включение») в перицентре увеличивает скорость на такое же приращение, как и в любое другое время ( $\Delta v$). Однако, поскольку кинетическая энергия транспортного средства связана с квадратом его скорости, это увеличение скорости оказывает нелинейное влияние на кинетическую энергию транспортного средства, оставляя его с более высокой энергией, чем если бы горение было достигнуто в любое другое время.

Расчет Оберта для параболической орбиты

Если импульсное горение Δ v выполняется в перицентре по параболической орбите , то скорость в перицентре до сгорания равна скорости убегания ( V _esc ), а удельная кинетическая энергия после сгорания равна

${\begin{aligned}e_{k}&={\tfrac {1}{2}}V^{2}\\&={\tfrac {1}{2}}(V_{\text{esc}}+\Delta v)^{2}\\&={\tfrac {1}{2}}V_{\text{esc}}^{2}+\Delta vV_{\text{esc}}+{\tfrac {1}{2}}\Delta v^{2},\end{aligned}}$

где $V=V_{\text{esc}}+\Delta v$.

При выходе автомобиля из поля тяжести потеря удельной кинетической энергии равна

${\tfrac {1}{2}}V_{\text{esc}}^{2},$

поэтому он сохраняет энергию

$\Delta vV_{\text{esc}}+{\tfrac {1}{2}}\Delta v^{2},$

что больше энергии от сгорания вне гравитационного поля ( ${\tfrac {1}{2}}\Delta v^{2}$) к

$\Delta vV_{\text{esc}}.$

Когда автомобиль вышел из гравитационного колодца, он движется со скоростью

$V=\Delta v{\sqrt {1+{\frac {2V_{\text{esc}}}{\Delta v}}}}.$

В случае, когда добавленный импульс Δ v мал по сравнению со скоростью убегания, единицей можно пренебречь, и можно увидеть, что эффективный Δ v импульсного горения умножается просто на коэффициент

${\sqrt {\frac {2V_{\text{esc}}}{\Delta v}}}$

и человек получает

$V$ ≈ ${\sqrt {{2V_{\text{esc}}}{\Delta v}}}.$

Подобные эффекты происходят на замкнутых и гиперболических орбитах .

Параболический пример

Если транспортное средство движется со скоростью v в начале горения, которое изменяет скорость на Δ v , то изменение удельной орбитальной энергии (SOE) из-за новой орбиты равно

$v\,\Delta v+{\tfrac {1}{2}}(\Delta v)^{2}.$

Как только космический корабль снова окажется далеко от планеты, SOE станет полностью кинетическим, поскольку потенциальная гравитационная энергия приближается к нулю. Следовательно, чем больше v во время горения, тем больше конечная кинетическая энергия и тем выше конечная скорость.

Эффект становится более выраженным, чем ближе к центральному телу или, вообще, чем глубже потенциал гравитационного поля, в котором происходит горение, поскольку там скорость выше.

Таким образом, если космический корабль совершает параболический облет Юпитера с перицентрической скоростью 50 км/с и выполняет горение со скоростью 5 км/с, то получается, что окончательное изменение скорости на большом расстоянии составляет 22,9 км/с, что дает умножение ожог в 4,58 раза.

Парадокс

Может показаться, что ракета получает энергию бесплатно, что нарушает закон сохранения энергии . Однако любой выигрыш в кинетической энергии ракеты уравновешивается относительным уменьшением кинетической энергии, оставшейся в выхлопе (кинетическая энергия выхлопа все еще может увеличиваться, но не увеличивается так сильно). Сравните это с ситуацией статического стрельбы, когда скорость двигателя фиксируется на нуле. Это означает, что его кинетическая энергия вообще не увеличивается, а вся химическая энергия, выделяемая топливом, преобразуется в кинетическую энергию (и тепло) выхлопных газов.

На очень высоких скоростях механическая мощность, сообщаемая ракете, может превышать общую мощность, выделяющуюся при сгорании топлива; также может показаться, что это нарушает закон сохранения энергии. Но топлива в быстродвижущейся ракете несут энергию не только химически, но и в виде собственной кинетической энергии, которая на скоростях выше нескольких километров в секунду превышает химическую составляющую. Когда это топливо сгорает, часть этой кинетической энергии передается ракете вместе с химической энергией, выделяющейся при горении.

Таким образом, эффект Оберта может частично компенсировать чрезвычайно низкую эффективность на ранних этапах полета ракеты, когда она движется очень медленно. Большая часть работы, совершаемой ракетой в начале полета, «вкладывается» в кинетическую энергию еще не сгоревшего топлива, часть которой оно выделит позже, когда сгорит.

См. также

• Биэллиптическая передача
• Гравитационная помощь
• Пропульсивная эффективность

Внешние ссылки

• Эффект Оберта
• Объяснение эффекта Лэндиса Джеффри .

• Ракетное движение, классическая теория относительности и эффект Оберта

• Анимация (MP4) эффекта Оберта на орбите из цитированной выше статьи Бланко и Мунгана.