Эксцентрическая аномалия

В орбитальной механике эксцентрическая аномалия — угловой параметр , определяющий положение тела, движущегося по эллиптической орбите Кеплера . Эксцентрическая аномалия — это один из трех угловых параметров («аномалий»), определяющих положение на орбите, два других — истинная аномалия и средняя аномалия .

Графическое представление

Эксцентрическая аномалия точки P это угол E. — Центр эллипса — точка О, а фокус — F. точка

Рассмотрим эллипс с уравнением:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,$

где a — большая полуось , b — малая полуось .

Для точки на эллипсе P = P ( x , y ), представляющей положение вращающегося тела на эллиптической орбите, эксцентрическая аномалия — это угол E на рисунке. Эксцентрическая аномалия Е — это один из углов прямоугольного треугольника с одной вершиной в центре эллипса, прилежащей к нему стороной, лежащей на большой оси, имеющей гипотенузу а (равную большой полуоси эллипса) и противолежащую сторона (перпендикулярная большой оси и касающаяся точки P' на вспомогательной окружности радиуса a точку P. ), проходящая через Эксцентрическая аномалия измеряется в том же направлении, что и истинная аномалия, показанная на рисунке как $\theta$. Эксцентрическая аномалия E в этих координатах определяется выражением:

$\cos E={\frac {x}{a}},$

и

$\sin E={\frac {y}{b}}$

Второе уравнение находится с помощью соотношения

$\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1-\cos ^{2}E=\sin ^{2}E$,

откуда следует, что sin E = ± ⁠ y / б ⁠ . Уравнение sin E = − ⁠ y / b ⁠ можно сразу исключить, поскольку он пересекает эллипс не в том направлении. Можно также отметить, что второе уравнение можно рассматривать как происходящее из подобного треугольника, противоположная сторона которого имеет ту же длину y, что и расстояние от P до большой оси, а его гипотенуза b равна малой полуоси треугольника. эллипс.

Формулы

Радиус и эксцентрическая аномалия

Эксцентриситет определяется e как:

$e={\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}}\ .$

Из теоремы Пифагора, примененной к треугольнику с r (расстоянием FP ) в качестве гипотенузы:

${\begin{aligned}r^{2}&=b^{2}\sin ^{2}E+(ae-a\cos E)^{2}\\&=a^{2}\left(1-e^{2}\right)\left(1-\cos ^{2}E\right)+a^{2}\left(e^{2}-2e\cos E+\cos ^{2}E\right)\\&=a^{2}-2a^{2}e\cos E+a^{2}e^{2}\cos ^{2}E\\&=a^{2}\left(1-e\cos E\right)^{2}\\\end{aligned}}$

Таким образом, радиус (расстояние от фокуса до точки Р ) связан с эксцентрической аномалией формулой

$r=a\left(1-e\cos {E}\right)\ .$

Благодаря этому результату эксцентрическая аномалия может быть определена на основе истинной аномалии, как показано ниже.

Из настоящей аномалии

Истинная аномалия – это угол, обозначенный $\theta$ на рисунке расположен в фокусе эллипса. Иногда его обозначают f или v . Истинная аномалия и эксцентрическая аномалия связаны следующим образом.

Используя приведенную выше формулу для r , синус и косинус E находятся через f :

${\begin{aligned}\cos E&={\frac {\,x\,}{a}}={\frac {\,ae+r\cos f\,}{a}}=e+(1-e\cos E)\cos f\\\Rightarrow \cos E&={\frac {\,e+\cos f\,}{1+e\cos f}}\\\sin E&={\sqrt {\,1-\cos ^{2}E\;}}={\frac {\,{\sqrt {\,1-e^{2}\;}}\,\sin f\,}{1+e\cos f}}~.\end{aligned}}$

Следовательно,

$\tan E={\frac {\,\sin E\,}{\cos E}}={\frac {\,{\sqrt {\,1-e^{2}\;}}\,\sin f\,}{e+\cos f}}~.$

где правильный квадрант для E определяется знаками числителя и знаменателя, так что E легче всего найти с помощью функции atan2 .

Следовательно, угол Е является прилежащим углом прямоугольного треугольника с гипотенузой. $\;1+e\cos f\;,$ прилегающая сторона $\;e+\cos f\;,$ и противоположная сторона $\;{\sqrt {\,1-e^{2}\;}}\,\sin f\;.$

Также,

$\tan {\frac {\,f\,}{2}}={\sqrt {{\frac {\,1+e\,}{1-e}}\,}}\,\tan {\frac {\,E\,}{2}}$

Подставив cos   E, как указано выше, в выражение для r , радиальное расстояние от фокальной точки до точки P также можно найти через истинную аномалию:

$r={\frac {a\left(\,1-e^{2}\,\right)}{\,1+e\cos f\,}}={\frac {p}{\,1+e\cos f\,}}\,$

где

$\,p\equiv a\left(\,1-e^{2}\,\right)$

называется «полурасширенной прямой кишкой» в классической геометрии .

Из средней аномалии

Эксцентрическая аномалия E связана со средней аномалией M уравнением Кеплера :

$M=E-e\sin E$

Это уравнение не имеет решения в замкнутой форме для E при условии M . Обычно ее решают численными методами , например методом Ньютона-Рафсона . Его можно выразить в ряду Фурье как

$E=M+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {J_{n}(ne)}{n}}\sin(nM)$

где $J_{n}(x)$ – функция Бесселя первого рода.

См. также

• Вектор эксцентриситета
• Эксцентриситет орбиты

Источники

• Мюррей, Карл Д.; и Дермотт, Стэнли Ф. (1999); Динамика Солнечной системы , Издательство Кембриджского университета, Кембридж, Великобритания
• Пламмер, Генри К.К. (1960); Вводный трактат по динамической астрономии , Dover Publications, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк (перепечатка издания Cambridge University Press 1918 года)