Параболическая траектория

Эта статья о классе орбит Кеплера. Чтобы узнать о траектории свободного тела при постоянной гравитации, см. « Движение снаряда» .

Зеленый путь на этом изображении является примером параболической траектории.

Параболическая траектория изображена в нижнем левом квадранте этой диаграммы, где гравитационная потенциальная яма центральной массы показывает потенциальную энергию, а кинетическая энергия параболической траектории показана красным. Высота кинетической энергии асимптотически уменьшается к нулю при уменьшении скорости и увеличении расстояния в соответствии с законами Кеплера.

В астродинамике или небесной механике параболическая траектория — это кеплеровская орбита с эксцентриситетом, равным 1, и представляет собой несвязанную орбиту, находящуюся точно на границе между эллиптической и гиперболической. При удалении от источника ее называют орбитой ухода , иначе орбитой захвата . Ее также иногда называют орбитой C ₃ = 0 (см. Характеристическую энергию ).

При стандартных предположениях тело, движущееся по убегающей орбите, будет двигаться по параболической траектории к бесконечности со скоростью относительно центрального тела, стремящейся к нулю, и поэтому никогда не вернется. Параболические траектории — это траектории ухода с минимальной энергией, отделяющие с положительной энергией гиперболические траектории с отрицательной энергией от эллиптических орбит .

Скорость

Орбитальная скорость ( $v$) тела, движущегося по параболической траектории, можно вычислить как:

$v={\sqrt {2\mu \over r}}$

где:

• $r$ — радиальное расстояние вращающегося тела от центрального тела ,
• $\mu$ — стандартный гравитационный параметр .

В любом положении вращающееся тело имеет скорость убегания для этого положения.

Если тело имеет скорость убегания относительно Земли, этого недостаточно, чтобы покинуть пределы Солнечной системы, поэтому вблизи Земли орбита напоминает параболу, а дальше она выгибается по эллиптической орбите вокруг Солнца.

Эта скорость ( $v$) тесно связана с орбитальной скоростью тела на круговой орбите радиуса, равного радиальному положению вращающегося тела на параболической траектории:

$v={\sqrt {2}}\,v_{o}$

где:

• $v_{o}$ — орбитальная скорость тела на круговой орбите .

Уравнение движения

Для тела, движущегося по такой траектории, уравнение орбиты имеет вид:

$r={h^{2} \over \mu }{1 \over {1+\cos \nu }}$

где:

• $r\,$ — радиальное расстояние вращающегося тела от центрального тела ,
• $h\,$ – удельный момент импульса тела вращающегося ,
• $\nu \,$ – истинная аномалия вращающегося тела,
• $\mu \,$ — стандартный гравитационный параметр .

Энергия

При стандартных предположениях удельная орбитальная энергия ( $\epsilon$) параболической траектории равно нулю, поэтому уравнение сохранения орбитальной энергии для этой траектории принимает вид:

$\epsilon ={v^{2} \over 2}-{\mu \over r}=0$

где:

• $v\,$ - орбитальная скорость вращающегося тела,
• $r\,$ — радиальное расстояние вращающегося тела от центрального тела ,
• $\mu \,$ — стандартный гравитационный параметр .

Это полностью эквивалентно тому, что характеристическая энергия (квадрат скорости на бесконечности) равна 0:

$C_{3}=0$

Уравнение Баркера

Уравнение Баркера связывает время полета $t$ к настоящей аномалии $\nu$ параболической траектории:

$t-T={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {p^{3}}{\mu }}}\left(D+{\frac {1}{3}}D^{3}\right)$

где:

• $D=\tan {\frac {\nu }{2}}$ является вспомогательной переменной
• $T$ время прохождения периапсиса
• $\mu$ стандартный гравитационный параметр
• $p$ – полурасширенная прямая кишка траектории ( $p=h^{2}/\mu$ )

В более общем смысле время между любыми двумя точками на орбите равно

$t_{f}-t_{0}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {p^{3}}{\mu }}}\left(D_{f}+{\frac {1}{3}}D_{f}^{3}-D_{0}-{\frac {1}{3}}D_{0}^{3}\right)$

Альтернативно, уравнение можно выразить через перицентрическое расстояние по параболической орбите. $r_{p}=p/2$:

$t-T={\sqrt {\frac {2r_{p}^{3}}{\mu }}}\left(D+{\frac {1}{3}}D^{3}\right)$

В отличие от уравнения Кеплера , которое используется для определения истинных аномалий на эллиптических и гиперболических траекториях, истинная аномалия в уравнении Баркера может быть решена непосредственно для $t$. Если сделаны следующие замены

${\begin{aligned}A&={\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {\mu }{2r_{p}^{3}}}}(t-T)\\[3pt]B&={\sqrt[{3}]{A+{\sqrt {A^{2}+1}}}}\end{aligned}}$

затем

$\nu =2\arctan \left(B-{\frac {1}{B}}\right)$

С помощью гиперболических функций решение также можно выразить как:

$\nu =2\arctan \left(2\sinh {\frac {\mathrm {arcsinh} {\frac {3M}{2}}}{3}}\right)$

где

$M={\sqrt {\frac {\mu }{2r_{p}^{3}}}}(t-T)$

Радиальная параболическая траектория

Радиальная параболическая траектория — это непериодическая траектория по прямой, где относительная скорость двух объектов всегда равна скорости убегания . Возможны два случая: тела удаляются друг от друга или навстречу друг другу.

Существует довольно простое выражение для положения как функции времени:

$r={\sqrt[{3}]{{\frac {9}{2}}\mu t^{2}}}$

где

• μ — стандартный гравитационный параметр
• $t=0\!\,$ соответствует экстраполированному времени фиктивного начала или окончания в центре центрального тела.

В любой момент времени средняя скорость от $t=0\!\,$ в 1,5 раза превышает текущую скорость, т.е. в 1,5 раза превышает местную скорость убегания.

Иметь $t=0\!\,$ на поверхности применить временной сдвиг; для Земли (и любого другого сферически-симметричного тела с такой же средней плотностью) как центрального тела этот временной сдвиг составляет 6 минут 20 секунд; спустя семь таких периодов высота над поверхностью будет в три раза больше радиуса и т. д.

См. также

• Кеплер орбита
• Парабола