телом проблема с

Эта статья о задаче классической механики. Чтобы узнать о проблеме квантовой механики, см. «Проблема многих тел» . Информацию о инженерных задачах и моделировании, включающих множество компонентов, см. в разделах «Многотельная система» и «Многотельное моделирование» .

В физике проблема n тел представляет собой задачу предсказания отдельных движений группы небесных объектов, взаимодействующих друг с другом гравитационно . Решение этой проблемы было мотивировано желанием понять движение Солнца , Луны , планет и видимых звезд . В 20 веке понимание динамики звездных систем шаровых скоплений стало важной проблемой n -тел. Проблему n тел в общей теории относительности решить значительно сложнее из-за дополнительных факторов, таких как искажения времени и пространства.

Классическую физическую задачу неформально можно сформулировать следующим образом:

Учитывая квазистационарные свойства орбиты (мгновенное положение, скорость и время) группы небесных тел, предсказать силы их взаимодействия; и, следовательно, предсказать их истинные орбитальные движения на все будущие времена.

Задача двух тел полностью решена и обсуждается ниже, как и знаменитая ограниченная задача трех тел .

История

Знание трех орбитальных положений орбиты планеты - положений, полученных сэром Исааком Ньютоном от астронома Джона Флемстида. – Ньютон смог вывести уравнение с помощью простой аналитической геометрии и предсказать движение планеты; т. е. указать его орбитальные свойства: положение, диаметр орбиты, период и орбитальную скорость. Сделав это, он и другие вскоре в течение нескольких лет обнаружили, что эти уравнения движения не предсказывают некоторые орбиты правильно или даже очень хорошо. Ньютон понял, что это произошло потому, что гравитационные силы взаимодействия между всеми планетами влияли на все их орбиты.

Вышеупомянутое открытие затрагивает непосредственно суть того, что физически представляет собой проблема n тел: как понимал Ньютон, недостаточно просто указать начальное местоположение и скорость или даже три орбитальные позиции, чтобы установить фактическую орбиту планеты; необходимо также знать о силах гравитационного взаимодействия. Так пришло осознание и возникновение «проблемы» n -тел в начале 17 века. Эти силы гравитационного притяжения действительно соответствуют законам движения Ньютона и его закону всемирного тяготения, но множество множественных ( n -тел) взаимодействий исторически делали любое точное решение неразрешимым. По иронии судьбы, это соответствие привело к неправильному подходу.

После Ньютона проблема n тел исторически не была сформулирована правильно, потому что она не включала ссылку на гравитационные взаимодействующие силы. Ньютон не говорит об этом прямо, но в своих «Началах» подразумевает, что проблема n тел неразрешима из-за гравитационных взаимодействующих сил. Ньютон сказал в его «Началах» , параграф 21:

И, следовательно, сила притяжения обнаруживается в обоих телах. Солнце притягивает Юпитер и другие планеты, Юпитер притягивает свои спутники, и подобным же образом спутники действуют друг на друга. И хотя действия каждой из пары планет на другую можно отличить друг от друга и рассматривать как два действия, посредством которых одно притягивает другое, тем не менее, поскольку они находятся между одними и теми же двумя телами, они не являются двумя, а простая операция между двумя концами. Два тела можно притянуть друг к другу за счет натяжения веревки между ними. Причина действия двоякая, а именно расположение каждого из двух тел; действие также двойственно, поскольку оно совершается на два тела; но поскольку оно находится между двумя телами, оно едино и едино...

Ньютон на основании своего третьего закона движения пришел к выводу , что «согласно этому закону все тела должны притягивать друг друга». Последнее утверждение, подразумевающее существование гравитационных взаимодействующих сил, является ключевым.

Как показано ниже, проблема также соответствует Жана Ле Рона Даламбера неньютоновским первому и второму принципам и алгоритму нелинейной задачи n тел, последний допускает решение в замкнутой форме для расчета этих взаимодействующих сил.

Проблема нахождения общего решения проблемы n тел считалась очень важной и сложной. Действительно, в конце XIX века король Швеции Оскар II по совету Гёсты Миттаг-Леффлера учредил премию для каждого, кто сможет найти решение проблемы. Объявление было вполне конкретным:

Учитывая систему произвольного числа массовых точек, каждая из которых притягивается согласно закону Ньютона, в предположении, что никакие две точки никогда не сталкиваются, попытайтесь найти представление координат каждой точки в виде ряда по переменной, которая является некоторой известной функцией времени. и для всех значений которого ряд сходится равномерно .

В случае, если проблема не может быть решена, любой другой важный вклад в классическую механику будет считаться достойным награды. Премия была присуждена Пуанкаре , хотя он и не решил исходную задачу. (Первая версия его статьи даже содержала серьезную ошибку. Версия, наконец напечатанная, содержала много важных идей, которые привели к развитию теории хаоса . Первоначально сформулированная проблема была окончательно решена Карлом Фритиофом Сундманом для n = 3 и обобщена на n > 3 Л. К. Бабадзанянцем. и Цюдун Ван .

Общая формулировка

Задача n тел рассматривает n точечных масс m _i , i = 1, 2, …, n в инерциальной системе отсчета в трехмерном пространстве ℝ ³ движутся под действием взаимного гравитационного притяжения. Каждая масса m _i имеет вектор положения q _i . Второй закон Ньютона гласит, что масса, умноженная на ускорение m _i д ² q _я / дт ² равна сумме сил, действующих на массу. Закон гравитации Ньютона гласит, что гравитационная сила, действующая на массу m _i со стороны одной массы m _j, определяется выражением $$\mathbf {F} _{ij}={\frac {Gm_{i}m_{j}}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|^{2}}}\cdot {\frac {\left(\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right)}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|}}={\frac {Gm_{i}m_{j}\left(\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right)}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|^{3}}},$$где G — гравитационная постоянная , а ‖ q _j − q _i ‖ — величина расстояния между q _i и q _j ( индуцированная нормой l ₂ метрика , ).

Суммирование по всем массам дает n тел уравнения движения :

$m_{i}{\frac {d^{2}\mathbf {q} _{i}}{dt^{2}}}=\sum _{j=1 \atop j\neq i}^{n}{\frac {Gm_{i}m_{j}\left(\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right)}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|^{3}}}=-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {q} _{i}}}$

где U - собственная потенциальная энергия

$$U=-\sum _{1\leq i<j\leq n}{\frac {Gm_{i}m_{j}}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|}}.$$

Определение импульса как p _i = m _i d q _i / dt уравнения движения Гамильтона для задачи n тел принимают вид $${\frac {d\mathbf {q} _{i}}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} _{i}}}\qquad {\frac {d\mathbf {p} _{i}}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} _{i}}},$$где функция Гамильтона равна $$H=T+U$$ - T кинетическая энергия $$T=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\left\|\mathbf {p} _{i}\right\|^{2}}{2m_{i}}}.$$

Уравнения Гамильтона показывают, что задача n тел представляет собой систему 6 n первого порядка дифференциальных уравнений с 6 n начальными условиями в качестве 3 n координат начального положения и 3 n значений начального импульса.

Симметрии в задаче n тел дают глобальные интегралы движения , которые упрощают задачу. Трансляционная симметрия задачи приводит к центру масс. $$\mathbf {C} ={\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {q} _{i}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}}}$$движется с постоянной скоростью, так что C = L ₀ t + C ₀ , где L ₀ — линейная скорость, а C ₀ — начальное положение. Константы движения L ₀ и C ₀ представляют собой шесть интегралов движения. Вращательная симметрия приводит к тому, что полный угловой момент остается постоянным. $$\mathbf {A} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {q} _{i}\times \mathbf {p} _{i},$$где × – векторное произведение . Три составляющие полного момента количества движения А дают еще три константы движения. движения определяется сохранением энергии H. Последняя общая константа Следовательно, каждая задача n тел имеет десять интегралов движения.

Поскольку T и U — однородные функции степени 2 и −1 соответственно, уравнения движения обладают масштабной инвариантностью : если q _i ( t ) является решением, то и λ ^−2/3 q _я ( λt ) для любого λ > 0 .

Момент инерции системы n тел определяется выражением $$I=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {q} _{i}\cdot \mathbf {q} _{i}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left\|\mathbf {q} _{i}\right\|^{2}$$а вириал равен Q = 1 / 2 дИ / дт . Тогда формула Лагранжа – Якоби утверждает, что $${\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}=2T-U.$$

Для систем, находящихся в динамическом равновесии , долгосрочное среднее значение ⟨ д ² я / дт ² ⟩ равен нулю. Тогда в среднем полная кинетическая энергия равна половине полной потенциальной энергии, ⟨ T ⟩ = 1/2 является ⟨ , что U ⟩ примером теоремы вириала для гравитационных систем. Если M — общая масса, а R — характерный размер системы (например, радиус, содержащий половину массы системы), то критическое время, в течение которого система придет в динамическое равновесие, будет равно $$t_{\mathrm {cr} }={\sqrt {\frac {GM}{R^{3}}}}.$$

Особые случаи

Задача двух тел

Основная статья: Задача двух тел

Любое обсуждение планетарных взаимодействующих сил исторически всегда начиналось с проблемы двух тел . Цель этого раздела — показать реальную сложность расчета любых планетарных сил. Обратите также внимание на некоторые темы в этом разделе, такие как гравитация , барицентр , законы Кеплера и т. д.; и в следующем разделе ( Задача трех тел ) обсуждаются на других страницах Википедии. Однако здесь эти темы обсуждаются с точки зрения проблемы n тел.

Задача двух тел ( n = 2 ) была полностью решена Иоганном Бернулли (1667–1748) с помощью классической теории (а не Ньютона), предполагая, что основная точечная масса фиксирована; это описано здесь. Рассмотрим затем движение двух тел, скажем Солнца и Земли, при неподвижном Солнце, тогда: $${\begin{aligned}m_{1}\mathbf {a} _{1}&={\frac {Gm_{1}m_{2}}{r_{12}^{3}}}(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})&&\quad {\text{Sun–Earth}}\\m_{2}\mathbf {a} _{2}&={\frac {Gm_{1}m_{2}}{r_{21}^{3}}}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})&&\quad {\text{Earth–Sun}}\end{aligned}}$$

Уравнение, описывающее движение массы m ₂ относительно массы m _1, легко получается из разностей этих двух уравнений и после исключения общих членов дает: $$\mathbf {\alpha } +{\frac {\eta }{r^{3}}}\mathbf {r} =\mathbf {0}$$Где

• r = r ₂ − r ₁ — векторное положение m ₂ относительно m ₁ ;
• α — эйлерово ускорение д ² р / дт ² ;
• η знак равно грамм ( м ₁ + м ₂ ) .

Уравнение α + ч / р ³ r = 0 — это фундаментальное дифференциальное уравнение для задачи двух тел, которую Бернулли решил в 1734 году. Обратите внимание, что для этого подхода сначала необходимо определить силы, а затем решить уравнение движения. Это дифференциальное уравнение имеет эллиптические, параболические или гиперболические решения.

Неверно думать, что m ₁ (Солнце) неподвижно в пространстве при применении закона всемирного тяготения Ньютона, и это приводит к ошибочным результатам. Неподвижной точкой для двух изолированных гравитационно взаимодействующих тел является их общий барицентр , и эту задачу двух тел можно решить точно, например, используя координаты Якоби относительно барицентра.

Доктор Кларенс Клеминшоу рассчитал приблизительное положение барицентра Солнечной системы. Этот результат был достигнут главным образом за счет объединения только масс Юпитера и Солнца. Научная программа заявила относительно его работы:

На Солнце приходится 98 процентов массы Солнечной системы, а большая часть остальной массы приходится на высшие планеты за пределами Марса. В среднем центр масс системы Солнце-Юпитер, если рассматривать по отдельности два наиболее массивных объекта, находится на расстоянии 462 000 миль от центра Солнца, или примерно на 30 000 миль над солнечной поверхностью! Однако другие крупные планеты также влияют на центр масс Солнечной системы. Например, в 1951 году центр масс системы находился недалеко от центра Солнца, поскольку Юпитер находился на противоположной стороне от Сатурна, Урана и Нептуна. В конце 1950-х годов, когда все четыре из этих планет находились на одной стороне Солнца, центр масс системы находился более чем в 330 000 милях от солнечной поверхности, подсчитал доктор К. Х. Клеминшоу из обсерватории Гриффита в Лос-Анджелесе.

Реальное движение против кажущегося движения Кеплера

Солнце колеблется, вращаясь вокруг Галактического центра , увлекая за собой Солнечную систему и Землю. Придя к своим трем знаменитым уравнениям, математик Кеплер строил кривые видимых движений планет, используя данные Тихо Браге , а не аппроксимировал кривыми их истинные круговые движения вокруг Солнца (см. рисунок). И Роберт Гук , и Ньютон прекрасно понимали, что закон всемирного тяготения Ньютона не справедлив для сил, связанных с эллиптическими орбитами. Фактически, универсальный закон Ньютона не учитывает орбиту Меркурия, гравитационное поведение пояса астероидов или кольца Сатурна . Ньютон заявил (в разделе 11 « Начал» ), что основная причина, однако, неспособности предсказать силы для эллиптических орбит заключалась в том, что его математическая модель предназначалась для тела, ограниченного ситуацией, которая почти не существовала в реальном мире, а именно: движения тел, притягиваемые к неподвижному центру. Некоторые современные учебники по физике и астрономии не подчеркивают отрицательное значение предположения Ньютона и в конечном итоге учат, что его математическая модель на самом деле является реальностью. Следует понимать, что приведенное выше классическое решение задачи двух тел является математической идеализацией. См. также первый закон движения планет Кеплера .

Задача трёх тел

Основная статья: Задача трех тел

В этом разделе описано исторически важное решение проблемы n тел после того, как были сделаны упрощающие предположения.

В прошлом о задаче n тел для n ≥ 3 было известно немного . Случай n = 3 был наиболее изучен. Многие более ранние попытки понять проблему трех тел были количественными и были направлены на поиск явных решений для особых ситуаций.

• В 1687 году Исаак Ньютон опубликовал в « Началах» первые шаги в изучении проблемы движения трёх тел под действием их взаимного гравитационного притяжения, но его усилия вылились в словесные описания и геометрические зарисовки; см. особенно Книгу 1, Предложение 66 и его следствия (Newton, 1687 и 1999 (перевод), см. также Tisserand, 1894).
• В 1767 году Эйлер обнаружил коллинеарное движение, при котором три тела любых масс движутся пропорционально по фиксированной прямой. — Задача трех тел Эйлера это частный случай, когда два тела неподвижны в пространстве (ее не следует путать с круговой ограниченной задачей трех тел , в которой два массивных тела описывают круговую орбиту и фиксируются только в пространстве). синодическая система отсчета).
• В 1772 году Лагранж открыл два класса периодических решений, каждый для трёх тел любых масс. В одном классе тела лежат на вращающейся прямой. В другом классе тела лежат в вершинах вращающегося равностороннего треугольника. В любом случае траектории тел будут иметь конические сечения. Эти решения привели к изучению центральных конфигураций , для которых q̈ = kq для некоторой константы k > 0 .
• Крупное исследование системы Земля-Луна-Солнце было предпринято Шарлем-Эженом Делоне , который опубликовал два тома по этой теме, каждый по 900 страниц, в 1860 и 1867 годах. Среди многих других достижений работа уже намекает на хаос. и наглядно демонстрирует проблему так называемых «малых знаменателей» в теории возмущений .
• В 1917 году Форест Рэй Моултон опубликовал свою ставшую классической работу «Введение в небесную механику» (см. Ссылки) с сюжетом ограниченного решения задачи трех тел (см. Рисунок ниже). Кроме того, см. книгу Мейровича, страницы 413–414, где описано его ограниченное решение задачи трех тел.

Движение трех частиц под действием силы тяжести, демонстрирующее хаотическое поведение

Решение Моултона может быть легче визуализировать (и определенно легче решить), если считать, что более массивное тело (например, Солнце ) неподвижно в космосе, а менее массивное тело (например, Юпитер ) вращается вокруг него по орбите с точки равновесия ( точки Лагранжа ), поддерживающие расстояние в 60° впереди и позади менее массивного тела почти на его орбите (хотя на самом деле ни одно из тел не является полностью стационарным, поскольку они оба вращаются вокруг центра масс всей системы - о барицентре). При достаточно малом соотношении масс первичных частиц эти треугольные точки равновесия стабильны, так что (почти) безмассовые частицы будут вращаться вокруг этих точек, когда они вращаются вокруг более крупной первичной звезды (Солнца). Пять точек равновесия круговой задачи известны как точки Лагранжа. См. рисунок ниже:

Ограниченная задача трех тел.

На приведенном выше рисунке ограниченной математической модели задачи трех тел (по Моултону) точки Лагранжа L ₄ и L ₅ — это места, где троянские находились планетоиды (см. Точку Лагранжа ); м ₁ – Солнце и м ₂ – Юпитер. L ₂ — точка внутри пояса астероидов. Для этой модели необходимо осознать, что вся эта диаграмма Солнце-Юпитер вращается вокруг своего барицентра. Ограниченное решение задачи трех тел предсказало появление троянских планетоидов еще до того, как их впервые увидели. - круги H и замкнутые петли отражают электромагнитные потоки, исходящие от Солнца и Юпитера. Предполагается, что, вопреки гипотезе Ричарда Х. Батина (см. Ссылки), два h ₁ являются поглотителями гравитации в и где гравитационные силы равны нулю, и это причина, по которой троянские планетоиды оказались в ловушке там. Общая масса планетоидов неизвестна.

Ограниченная задача трех тел предполагает, что масса одного из тел пренебрежимо мала. Обсуждение случая, когда ничтожное тело является спутником тела меньшей массы, см. Сфера Хилла ; для бинарных систем см. долю Роша . Конкретные решения задачи трех тел приводят к хаотическому движению без явных признаков повторяющегося пути.

Ограниченная задача (как круговая, так и эллиптическая) активно разрабатывалась многими известными математиками и физиками, в первую очередь Пуанкаре в конце XIX века. Работа Пуанкаре по ограниченной задаче трёх тел легла в основу детерминистской теории хаоса . В ограниченной задаче существует пять точек равновесия . Три из них коллинеарны массам (во вращающейся системе отсчета) и неустойчивы. Остальные два расположены в третьей вершине обоих равносторонних треугольников, у которых два тела являются первой и второй вершинами.

Задача четырех тел

Вдохновленная круговой ограниченной задачей трех тел, задача четырех тел может быть значительно упрощена, если считать, что тело меньшего размера имеет небольшую массу по сравнению с тремя другими массивными телами, которые, в свою очередь, аппроксимируются для описания круговых орбит. Это известно как бициркулярная ограниченная задача четырех тел (также известная как бициркулярная модель), и ее можно проследить до 1960 года в отчете НАСА, написанном Су-Шу Хуаном. Эта формулировка оказалась весьма актуальной в астродинамике , главным образом для моделирования траекторий космических аппаратов в системе Земля-Луна с добавлением гравитационного притяжения Солнца. Прежняя формулировка бициркулярной ограниченной задачи четырех тел может быть проблематичной при моделировании других систем, кроме Земли-Луны-Солнца, поэтому формулировка была обобщена Негри и Прадо. расширить диапазон применения и повысить точность без потери простоты.

Планетарная проблема

Планетарная задача — это проблема n тел в случае, когда одна из масс намного больше всех остальных. Прототипическим примером планетарной проблемы является система Солнце- Юпитер - Сатурн , где масса Солнца примерно в 1000 раз превышает массы Юпитера или Сатурна. Приближенное решение проблемы состоит в том, чтобы разложить ее на n - 1 пар задач Кеплера звезда-планета , рассматривая взаимодействия между планетами как возмущения. Пертурбативное приближение работает хорошо до тех пор, пока в системе нет орбитальных резонансов , то есть ни одно из отношений невозмущенных кеплеровых частот не является рациональным числом. Резонансы появляются как малые знаменатели в разложении.

Существование резонансов и малых знаменателей привело к важному вопросу устойчивости планетарной проблемы: остаются ли планеты, обращающиеся по почти круговым орбитам вокруг звезды, на стабильных или ограниченных орбитах с течением времени? В 1963 году Владимир Арнольд доказал с помощью теории КАМ своего рода устойчивость планетарной задачи: существует набор положительных мер квазипериодических орбит в случае планетарной задачи, ограниченной плоскостью. В теории КАМ хаотические орбиты планет будут ограничены квазипериодическими КАМ-торами. Результат Арнольда был расширен до более общей теоремы Фейозом и Германом в 2004 году.

Центральные конфигурации

Основная статья: Центральная конфигурация

Центральная конфигурация q ₁ (0), …, q _N (0) — это начальная конфигурация, в которой, если бы все частицы были выпущены с нулевой скоростью, все они схлопнулись бы к центру масс C . Такое движение называется гомотетическим . Центральные конфигурации могут также вызывать гомографические движения , в которых все массы движутся по кеплеровским траекториям (эллиптическим, круговым, параболическим или гиперболическим), причем все траектории имеют одинаковый эксцентриситет e . Для эллиптических траекторий e = 1 соответствует гомотетическому движению, а e = 0 дает относительное равновесное движение , в котором конфигурация остается изометрией исходной конфигурации, как если бы конфигурация была твердым телом. Центральные конфигурации сыграли важную роль в понимании топологии инвариантных многообразий, созданных путем фиксации первых интегралов системы.

n- body хореография

Основная статья: хореография n-body

Решения, в которых все массы движутся по одной кривой без столкновений, называются хореографией. Хореография для n = 3 была открыта Лагранжем в 1772 году, в которой три тела расположены в вершинах равностороннего треугольника во вращающейся системе отсчета. Хореография восьмерки для n = 3 была численно найдена К. Муром в 1993 году. и обобщен и доказан А. Ченсинером и Р. Монтгомери в 2000 г. С тех пор было найдено множество других хореографий для n ≥ 3 .

Аналитические подходы

Для каждого решения задачи решение дает не только применение изометрии или временного сдвига, но и обращение времени (в отличие от случая трения).

В физической литературе о задаче n тел ( n ≥ 3 ) иногда упоминается «невозможность решения задачи n тел» (с использованием описанного выше подхода). Однако следует соблюдать осторожность при обсуждении «невозможности» решения, так как это относится только к методу первых интегралов (ср. теоремы Абеля и Галуа о невозможности решения алгебраических уравнений пятой степени и выше с помощью формул только с участием корней).

Решение серии Power

Одним из способов решения классической задачи n тел является « задача n тел по рядам Тейлора ».

Начнем с определения системы дифференциальных уравнений : $${\frac {d^{2}\mathbf {x} _{i}(t)}{dt^{2}}}=G\sum _{k=1 \atop k\neq i}^{n}{\frac {m_{k}\left(\mathbf {x} _{k}(t)-\mathbf {x} _{i}(t)\right)}{\left|\mathbf {x} _{k}(t)-\mathbf {x} _{i}(t)\right|^{3}}},$$

Поскольку x _i ( t ₀ ) и d x _i ( t ₀ ) / dt заданы как начальные условия, каждые д ² х _я ( т ) / дт ² известно. Дифференциация д ² х _я ( т ) / дт ² приводит к д ³ х _я ( т ) / дт ³ который при t ₀ также известен, а ряд Тейлора строится итерационным способом.

Обобщенное

Чтобы обобщить результат Сундмана на случай n > 3 (или n = 3 и c = 0 ) приходится столкнуться с двумя препятствиями:

1. Как было показано Зигелем, столкновения, в которых участвует более двух тел, не могут быть регуляризованы аналитически, следовательно, регуляризация Сундмана не может быть обобщена.
2. Структура особенностей в этом случае сложнее: могут встречаться и другие типы особенностей (см. ниже ).

Наконец, результат Сундмана был обобщен на случай n > 3 тел Цюдуном Ваном в 1990-х годах. Поскольку структура особенностей более сложна, Вангу пришлось полностью оставить вопросы об особенностях. Центральным моментом его подхода является преобразование соответствующим образом уравнений в новую систему так, чтобы интервал существования решений этой новой системы был [0,∞) .

Особенности задачи n тел

тел могут быть два типа особенностей В задаче n :

• столкновения двух или более тел, но для которых q ( t ) (положения тел) остается конечным. (В этом математическом смысле «столкновение» означает, что два точечных тела занимают одинаковое положение в пространстве.)
• особенности, в которых столкновения не происходит, но q ( t ) не остается конечным. В этом сценарии тела расходятся в бесконечность за конечное время, стремясь при этом к нулевому разделению (мнимое столкновение происходит «на бесконечности»).

Последние называются гипотезой Пенлеве (особенности отсутствия столкновений). Их существование было высказано n > 3 при Пенлеве (см. гипотезу Пенлеве ). Примеры такого поведения для n = 5 были построены Ся и эвристическая модель для n = 4 . Гервера Дональд Г. Саари показал, что для четырех или менее тел набор исходных данных, вызывающих сингулярности, имеет нулевую меру .

Моделирование

Основная статья: моделирование n тел

Хотя существуют аналитические решения для классической (т.е. нерелятивистской) задачи двух тел и для выбранных конфигураций с n > 2 , в целом проблемы n -тел должны решаться или моделироваться с использованием численных методов.

Несколько тел

Для небольшого числа тел задача n тел может быть решена с использованием прямых методов , также называемых методами частица-частица . Эти методы численно интегрируют дифференциальные уравнения движения. Численное интегрирование для этой задачи может оказаться сложной задачей по нескольким причинам. Во-первых, гравитационный потенциал сингулярен; оно стремится к бесконечности, когда расстояние между двумя частицами стремится к нулю. Гравитационный потенциал можно «смягчить», чтобы убрать сингулярность на небольших расстояниях: $$U_{\varepsilon }=\sum _{1\leq i<j\leq n}{\frac {Gm_{i}m_{j}}{\sqrt {\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|^{2}+\varepsilon ^{2}}}}$$Во-вторых, вообще говоря, для n > 2 проблема n тел хаотична , а это означает, что даже небольшие ошибки интегрирования могут расти экспоненциально со временем. В-третьих, моделирование может охватывать большие периоды модельного времени (например, миллионы лет), и числовые ошибки накапливаются по мере увеличения времени интегрирования.

Существует ряд методов уменьшения ошибок при численном интегрировании. Локальные системы координат используются для решения самых разных масштабов в некоторых задачах, например, система координат Земля-Луна в контексте моделирования Солнечной системы. Вариационные методы и теория возмущений могут дать приближенные аналитические траектории, для которых численное интегрирование может быть поправкой. Использование симплектического интегратора гарантирует, что моделирование подчиняется уравнениям Гамильтона с высокой степенью точности и, в частности, сохранение энергии.

Множество тел

Прямые методы с использованием численного интегрирования требуют порядка 1/2 2н ² вычисления для оценки потенциальной энергии по всем парам частиц и, таким образом, имеют сложность O временную ( n ² ) . Для моделирования со многими частицами O ( n ² ) делает крупномасштабные расчеты особенно трудоемкими.

Разработан ряд приближенных методов, снижающих временную сложность относительно прямых методов:

• Методы древовидного кода , такие как моделирование Барнса-Хата , представляют собой пространственно-иерархические методы, используемые, когда вклад удаленных частиц не требуется вычислять с высокой точностью. Потенциал удаленной группы частиц вычисляется с использованием мультипольного разложения или другого приближения потенциала. Это позволяет снизить сложность до O ( n log n ) .
• Методы быстрых мультиполей используют тот факт, что силы, расширенные мультиполем от удаленных частиц, аналогичны для частиц, близких друг к другу, и используют локальные расширения сил в дальней зоне для уменьшения вычислительных усилий. Утверждается, что это дальнейшее приближение снижает сложность до O ( n ) .
• Методы сетки частиц делят пространство моделирования на трехмерную сетку, на которую интерполируется массовая плотность частиц. Тогда вычисление потенциала становится вопросом решения уравнения Пуассона на сетке, которое можно вычислить за O ( n log n ) время с использованием быстрого преобразования Фурье или O ( n ) за время с использованием многосеточных методов. Это может обеспечить быстрые решения за счет более высокой ошибки для сил ближнего действия. Адаптивное уточнение сетки можно использовать для повышения точности в областях с большим количеством частиц.
• П ³ Методы M и PM-дерева представляют собой гибридные методы, которые используют приближение сетки частиц для удаленных частиц, но используют более точные методы для близких частиц (в пределах нескольких интервалов сетки). П ³ M означает «частица-частица», «частица-сетка» и использует прямые методы со смягченными потенциалами на близком расстоянии. Вместо этого методы PM-дерева используют древовидные коды на близком расстоянии. Как и в случае с методами сетки частиц, адаптивные сетки могут повысить эффективность вычислений.
• среднего поля Методы аппроксимируют систему частиц с помощью зависящего от времени уравнения Больцмана, представляющего плотность массы, которое связано с самосогласованным уравнением Пуассона, представляющим потенциал. Это тип приближения гидродинамики сглаженных частиц, подходящий для больших систем.

Сильная гравитация

В астрофизических системах с сильными гравитационными полями, например, вблизи горизонта событий черной дыры , моделирование n -тел должно учитывать общую теорию относительности ; такое моделирование является областью численной теории относительности . Численное моделирование уравнений поля Эйнштейна чрезвычайно сложно. и, параметризованный постньютоновский формализм (PPN), такой как уравнения Эйнштейна-Инфельда-Хоффмана если возможно, используется . Проблема двух тел в общей теории относительности аналитически разрешима только для задачи Кеплера, в которой предполагается, что одна масса намного больше другой.

Другие с проблемы

Большая часть работ, проделанных по проблеме n тел, была связана с проблемой гравитации. Но существуют и другие системы, для которых математика n тел и методы моделирования оказались полезными.

В крупномасштабных задачах электростатики , таких как моделирование белков и клеточных агрегатов в структурной биологии , кулоновский потенциал имеет ту же форму, что и гравитационный потенциал, за исключением того, что заряды могут быть положительными или отрицательными, что приводит к возникновению как отталкивающих, так и притягивающих сил. Быстрые кулоновские решатели являются электростатическим аналогом симуляторов быстрых мультипольных методов. Они часто используются с периодическими граничными условиями в моделируемой области, а суммирования Эвальда . для ускорения вычислений используются методы

В статистике и машинном обучении некоторые модели имеют функции потерь формы, аналогичной гравитационному потенциалу: сумму ядерных функций по всем парам объектов, где ядерная функция зависит от расстояния между объектами в пространстве параметров. Примеры задач, которые вписываются в эту форму, включают в себя задачу «все ближайшие соседи» в обучении многообразия , оценку плотности ядра и машины с ядром . Альтернативные оптимизации для уменьшения O ( n ² ) временная сложность до O ( n ) , такие как алгоритмы двойного дерева применимы к задаче гравитационного n , которые также тел.

Метод вычислительной гидродинамики, называемый вихревыми методами, позволяет увидеть завихрение в области жидкости, дискретизированное на частицы, которые затем переносятся со скоростью в их центрах. Поскольку скорость жидкости и завихренность связаны уравнением Пуассона , скорость можно решить тем же способом, что и гравитацию и электростатику: как суммирование n тел по всем частицам, содержащим завихренность. При суммировании используется закон Био-Савара , в котором завихрение заменяет электрический ток. В контексте турбулентных многофазных потоков, насыщенных частицами, определение общего поля возмущений, создаваемого всеми частицами, представляет собой задачу n тел. Если частицы, перемещающиеся внутри потока, намного меньше колмогоровского масштаба потока, их линейные поля возмущений Стокса можно наложить друг на друга, получив систему из 3 n уравнений для 3 компонент скоростей возмущений в месте расположения n частиц.

См. также

• Небесная механика
• Гравитационная задача двух тел
• Интеграл Якоби
• Лунная теория
• Натуральные единицы
• Численная модель Солнечной системы
• Стабильность Солнечной системы
• Малочастичные системы
• Моделирование N тел — метод численного получения траекторий тел в системе N тел.

Ссылки

• Осет, Сверре Дж. (2003). Гравитационное n моделирование, инструменты и алгоритмы -тел . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-43272-6 .
• Аллигуд, К.Т.; Зауэр, Т.Д.; Йорк, Дж. А. (1996). Хаос: введение в динамические системы . Нью-Йорк: Спрингер. стр. 46–48. ISBN  978-0-387-94677-1 .
• Бейт, Роджер Р.; Мюллер, Дональд Д.; Уайт, Джерри (1971). Основы астродинамики . Нью-Йорк: Dover Publications . ISBN  978-0-486-60061-1 .
• Бланше, Люк (2001). «О задаче двух тел в общей теории относительности». Доклады Академии наук, серия IV . 2 (9): 1343–1352. arXiv : gr-qc/0108086 . Бибкод : 2001CRASP...2.1343B . дои : 10.1016/s1296-2147(01)01267-7 . S2CID   119101016 .
• Совет, Джон А. младший; Хамфрис, Кристофер В.; Ламберт, Кристоф Г.; Рэнкин, Уильям Т.; Тукмаджи, Абдулнур Ю. (1999). «Эвальда и мультипольные методы решения периодических задач n -тел». В Дефларде, Питер; Германс, Ян; Леймкулер, Бенедикт; Марк, Алан Э.; Райх, Себастьян; Скил, Роберт Д. (ред.). Вычислительная молекулярная динамика: проблемы, методы, идеи . Конспекты лекций по вычислительной технике и технике. Том. 4. Берлин и Гейдельберг: Шпрингер. стр. 459–471. CiteSeerX   10.1.1.15.9501 . дои : 10.1007/978-3-642-58360-5_27 . ISBN  978-3-540-63242-9 .
• Броновский, Джейкоб; Мазлиш, Брюс (1986) [1960]. Западная интеллектуальная традиция от Леонардо до Гегеля . Нью-Йорк: Дорсет Пресс. ISBN  978-0-88029-069-2 .
• Челлетти, Алессандра (2008). «Вычислительная небесная механика» . Схоларпедия . 3 (9): 4079. Бибкод : 2008SchpJ...3.4079C . doi : 10.4249/scholarpedia.4079 .
• Ченсинер, Ален (2007). «Задача трёх тел» . Схоларпедия . 2 (10): 2111. Бибкод : 2007SchpJ...2.2111C . doi : 10.4249/scholarpedia.2111 .
• Кьеркья, Луиджи; Мазер, Джон Н. (2010). «Теория Колмогорова–Арнольда–Мозера» . Схоларпедия . 5 (9): 2123. Бибкод : 2010SchpJ...5.2123C . doi : 10.4249/scholarpedia.2123 .
• Коэн, И. Бернард (март 1980 г.). «Открытие Ньютоном гравитации». Научный американец . 244 (3): 167–179. Бибкод : 1981SciAm.244c.166C . doi : 10.1038/scientificamerican0381-166 .
• Коэн, И. Бернард (1985). Рождение новой физики, переработанное и обновленное . Нью-Йорк: WW Norton & Co. ISBN  978-0-393-30045-1 .
• Диаку, Ф. (1996). «Решение задачи n тел» (PDF) . Математический интеллект . 18 (3): 66–70. дои : 10.1007/bf03024313 . S2CID   119728316 .
• Фейос, Дж. (2004). «Доказательство «теоремы Арнольда» об устойчивости планетной системы (по Герману)». Эргодическая теория Динам. Системы . 24 (5): 1521–1582. дои : 10.1017/S0143385704000410 . S2CID   123461135 .
• Хегги, Дуглас; Хат, Пит (2003). Гравитационная проблема миллиона тел: междисциплинарный подход к динамике звездных скоплений . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-77303-4 .
• Хегги, Дуглас К. (1991). «Хаос в проблеме n тел звездной динамики». В Рое, AE (ред.). Предсказуемость, устойчивость и хаос в n динамических системах тел . Нью-Йорк: Пленум Пресс. ISBN  978-0-306-44034-2 .
• Хуфбауэр, Карл (1991). Исследование Солнца: Солнечная наука со времен Галилея . Балтимор: Издательство Университета Джонса Хопкинса , спонсируемое Управлением истории НАСА. ISBN  978-0-8018-4098-2 .
• Крумшайд, Себастьян (2010). Тест быстрых кулоновских решателей для открытых и периодических граничных условий (Отчет). Технический отчет FZJ-JSC-IB-2010-01. Юлихский суперкомпьютерный центр. CiteSeerX   10.1.1.163.3549 .
• Курт, Рудольф (1959). Введение в механику Солнечной системы . Лондон: Пергамон Пресс . ISBN  978-0-08-009141-9 .
• Лейманис, Э.; Минорский, Н. (1958). «Часть I: «Некоторые последние достижения в динамике твердых тел и небесной механики» (Лейманис); Часть II: «Теория колебаний» (Минорский)». Динамика и нелинейная механика . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья . ASIN   B0006AVKQW . ОСЛК   1219303 .
• Линдси, Роберт Брюс (1961). Физическая механика (3-е изд.). Принстон: Д. Ван Ностранд Ко. ASIN   B0000CLA7B . OCLC   802752879 .
• Мейрович, Леонард (1970). Методы аналитической динамики . Нью-Йорк: ISBN McGraw-Hill Book Co.  978-0-07-041455-6 .
• Мейер, Кеннет Рэй; Холл, Глен Р. (2009). Введение в гамильтоновы динамические системы и проблему n тел . Нью-Йорк: Springer Science & Business Media . ISBN  978-0-387-09724-4 .
• Миттаг-Леффлер, Г. (1885–1886). « Задача n тел (Объявление о премии)» . Акта Математика . 7 : I–VI. дои : 10.1007/BF02402191 .
• Моултон, Форест Рэй (1970). Введение в небесную механику . Нью-Йорк: Dover Publications . ISBN  978-0-486-62563-8 .
• Ньютон, Исаак (1687). Математические начала натуральной философии (на латыни). Лондини [Лондон]: Напечатано по заказу Королевского общества и напечатано Джозефом Стритером. Простата со многими Библиями. OCLC   915353069 . Также английский перевод 3-го (1726 г.) издания И. Бернарда Коэна и Энн Уитмен (Беркли, Калифорния, 1999). ISBN   978-0-520-08817-7 .
• Рам, Парикшит; Ли, Донрёль; Марч, Уильям Б.; Грей, Александр Г. (2009). «Алгоритмы линейного времени для парных статистических задач» (PDF) . НИПС : 1527–1535. Архивировано из оригинала (PDF) 21 апреля 2017 г. Проверено 28 марта 2014 г.
• Розенберг, Рейнхардт М. (1977). «Глава 19: О небесных проблемах». Аналитическая динамика дискретных систем . Нью-Йорк: Пленум Пресс. стр. 364–371. ISBN  978-0-306-31014-0 .
• Галлант, Рой А. (1968). Природа Вселенной . В партнерстве с Science Service . Гарден-Сити, Нью-Йорк: Даблдей . OCLC   689289 .
• Сундман, К.Ф. (1912). «Диссертация по задаче трёх тел» . Акта Математика . 36 : 105–179. дои : 10.1007/bf02422379 .
• Ткач, Франсуа Феликс (1894). «Трактат по небесной механике» (PDF) . Лиллиада – Университет Лилля – Науки и технологии . III . Париж: Готье-Вилларс и филс: 27. hdl : 1908/4228 . OCLC   951409281 .
• Тренти, Мишель; Хат, Пит (2008). « n Моделирование тел» . Схоларпедия . 3 (5): 3930. Бибкод : 2008SchpJ...3.3930T . doi : 10.4249/scholarpedia.3930 .
• Трусделл, Клиффорд (1968). Очерки истории механики . Берлин; Гейдельберг: Springer-Verlag . ISBN  978-3-642-86649-4 .
• Ван Винтер, Клазин (1970). « Задача n тел в гильбертовом пространстве аналитических функций». В Гилберте, Роберт П .; Ньютон, Роджер Г. (ред.). Аналитические методы в математической физике . Нью-Йорк: Гордон и Брич. стр. 569–578. OCLC   848738761 .
• Ван, Цюдун (1991). «Глобальное решение проблемы n тел». Небесная механика и динамическая астрономия . 50 (1): 73–88. Бибкод : 1991CeMDA..50...73W . дои : 10.1007/BF00048987 . ISSN   0923-2958 . МР   1117788 . S2CID   118132097 .
• Ся, Чжихун (1992). «Существование особенностей отсутствия столкновений в ньютоновских системах». Анналы математики . 135 (3): 411–468. дои : 10.2307/2946572 . JSTOR   2946572 .

Дальнейшее чтение

• Баттин, Ричард Х. (1987). Введение в математику и методы астродинамики . АААА. Использует энергетические методы, а не ньютоновский подход.
• Боккалетти, Д.; Пукакко, Г. (1998). Теория орбит . Спрингер-Верлаг.
• Брауэр, Дирк; Клеманс, Джеральд М. (1961). Методы небесной механики . Академическая пресса.
• Крэндалл, Ричард Э. (1996). «Глава 5: «Нелинейные и сложные системы»; параграф 5.1: « Проблемы n -тел и хаос» . Темы передовых научных вычислений . Спрингер-Верлаг. стр. 215–221.
• Крэндалл, Ричард Э. (1996). «Глава 2: «Исследовательские вычисления»; Проект 2.4.1: «Классическая физика» ». Проекты в области научных вычислений (исправленное 3-е изд.). Спрингер-Верлаг. стр. 93–97.
• Эйзель, Джон А.; Мейсон, Роберт М. (1970). «Прикладной матричный и тензорный анализ». Физика сегодня . 25 (12): 55. Бибкод : 1972ФТ....25л..55Э . дои : 10.1063/1.3071146 .
• Гельман, Гарри (1968). «Вторые условия ортогональности в теории собственных и несобственных вращений: вывод условий и их основных следствий». Дж. Рез. NBS 72B (Математические науки) . 1968 (3).
  Гельман, Гарри (1968). «Внутренний вектор». Дж. Рез. NBS 72B (Математические науки) . 1968 (3).
  Гельман, Гарри (1969). «Теорема сопряженности». Дж. Рез. NBS 72B (Математические науки) . 1969 (2).
  Гельман, Гарри (октябрь 1971 г.). «Примечание о зависимости эффективной оси и угла поворота от времени». Дж. Рез. NBS 72B (Математические науки) . 1971 (3–4).
• Хагихара, Ю. (1970). Небесная механика . Том. I, II ч. 1, II ч. 2. MIT Press.
• Коренев, Г. В. (1967). Механика направляемых тел . ЦРК Пресс.
• Мериам, Дж. Л. (1978). Инженерная механика . Том. 1–2. Джон Уайли и сыновья.
• Мюррей, Карл Д.; Дермотт, Стэнли Ф. (2000). Динамика Солнечной системы . Издательство Кембриджского университета.
• Квадлинг, Хенли (июнь 1994 г.). Моделирование гравитационного тела : 16-битная версия для DOS . nbody*.zip доступен по адресу https://web.archive.org/web/19990221123102/http://ftp.cica.indiana.edu/ : см. внешние ссылки.
• Саари, Д. (1990). «Визит к ньютоновской проблеме n тел через элементарные комплексные переменные». Американский математический ежемесячник . 89 (2): 105–119. дои : 10.2307/2323910 . JSTOR   2323910 .
• Саари, Д.Г.; Халкоуэр, Северная Дакота (1981). «О многообразиях орбит полного коллапса и полностью параболических орбит для задачи n тел» . Журнал дифференциальных уравнений . 41 (1): 27–43. Бибкод : 1981JDE....41...27S . дои : 10.1016/0022-0396(81)90051-6 .
• Себехей, Виктор (1967). Теория орбит . Академическая пресса.

Внешние ссылки

• Задача трех тел в Scholarpedia
• Более подробная информация о задаче трёх тел.
• Регулярные кеплеровы движения в классических системах многих тел.
• Апплет, демонстрирующий хаос в ограниченной задаче трех тел. Архивировано 17 октября 2009 г. на Wayback Machine.
• Апплеты, демонстрирующие множество различных движений трех тел
• Об интегрировании n уравнений тел. Архивировано 30 октября 2016 г. на Wayback Machine.
• Java-апплет, имитирующий Солнечную систему
• Java-апплет, моделирующий устойчивое решение задачи трех тел равной массы
• Java-апплет для моделирования трехмерного движения набора частиц под гравитационным взаимодействием.
• Javascript-симуляция нашей Солнечной системы
• Точки Лагранжа - со ссылками на оригинальные статьи Эйлера и Лагранжа, а также на переводы с обсуждением.
• [1]
• Программа параллельного моделирования N-тел на графическом процессоре с быстрым обходом дерева частиц без стека