Задача трех тел Эйлера

В физике и астрономии двух других точечных масс , задача трёх тел Эйлера заключается в определении движения частицы, на которую действует гравитационное поле неподвижных в пространстве. Эта задача точно разрешима и дает приближенное решение для частиц, движущихся в гравитационных полях вытянутых и сплюснутых сфероидов. Эта проблема названа в честь Леонарда Эйлера , который обсуждал ее в мемуарах, опубликованных в 1760 году. Важные расширения и анализ были сделаны впоследствии Лагранжем , Лиувиллем , Лапласом , Якоби , Дарбу , Стекольщик , Вельде Гамильтон , Пуанкаре , Биркгоф и Э.Т. Уиттакер , среди других.

Проблема Эйлера также охватывает случай, когда на частицу действуют другие центральные силы , обратные квадрату , такие как электростатическое взаимодействие , описываемое законом Кулона . Классические решения задачи Эйлера использовались для изучения химической связи с использованием полуклассического приближения энергетических уровней одного электрона, движущегося в поле двух атомных ядер, таких как двухатомный ион HeH. ²⁺ . Впервые это сделал Вольфганг Паули в своей докторской диссертации под руководством Арнольда Зоммерфельда , изучая первый ион молекулярного водорода, а именно молекулу водорода-ион H _{2 .} ⁺ . Эти уровни энергии можно рассчитать с разумной точностью, используя метод Эйнштейна-Бриллюэна-Келлера , который также является основой Бора . модели атомарного водорода Совсем недавно, как поясняется далее в квантово-механической версии, были получены аналитические решения собственных значений (энергий): они являются обобщением Ламберта W-функции .

Точное решение в полном трехмерном случае можно выразить через эллиптические функции Вейерштрасса. Для удобства задачу можно решить и численными методами, например Рунге–Кутты интегрированием уравнений движения . Полная энергия движущейся частицы сохраняется, но ее линейный и угловой момент — нет, поскольку два фиксированных центра могут прикладывать результирующую силу и крутящий момент. Тем не менее у частицы имеется вторая сохраняющаяся величина, которая соответствует угловому моменту или вектору Лапласа–Рунге–Ленца в качестве предельных случаев .

Проблема трех тел Эйлера известна под разными названиями, например , проблема двух неподвижных центров , проблема Эйлера-Якоби и проблема Кеплера с двумя центрами . Известны различные обобщения задачи Эйлера; эти обобщения добавляют линейные и обратные кубические силы и до пяти центров силы. К частным случаям этих обобщенных задач относится Дарбу. проблема и проблема Вельде .

Обзор и история

Задача трех тел Эйлера заключается в описании движения частицы под влиянием двух центров, которые притягивают частицу с центральными силами , которые уменьшаются с расстоянием по закону обратных квадратов , такому как ньютоновская гравитация или закон Кулона . Примеры задачи Эйлера включают электрон , движущийся в электрическом поле двух ядер , например молекулу-ион водорода. Н + 2 . Сила двух обратных квадратичных сил не обязательно должна быть одинаковой; например, два ядра могут иметь разные заряды, как в молекулярном ионе HeH. ²⁺ .

В задаче трех тел Эйлера мы предполагаем, что два центра притяжения стационарны. Это не совсем верно в таком случае, как H + 2 , но протоны испытывают гораздо меньшее ускорение, чем электрон. Однако задача трех тел Эйлера не применима к планете, движущейся в гравитационном поле двух звезд , поскольку в этом случае хотя бы одна из звезд испытывает ускорение, подобное тому, которое испытывает планета.

Эту задачу впервые рассмотрел Леонард Эйлер , который показал, что она имеет точное решение в 1760 году. Жозеф Луи Лагранж решил обобщенную задачу, в которой центры действуют как линейные, так и обратно-квадратичные силы. Карл Густав Якоб Якоби показал, что вращение частицы вокруг оси двух неподвижных центров можно разделить, сведя общую трехмерную задачу к плоской.

В 2008 году Биркхаузер опубликовал книгу «Интегрируемые системы в небесной механике». В этой книге ирландский математик Диармуид О Матуна предлагает решения в замкнутой форме как для плоской задачи двух фиксированных центров, так и для трехмерной задачи.

Константы движения

Проблема двух неподвижных центров сохраняет энергию ; другими словами, полная энергия $E$ является константой движения . Потенциальная энергия определяется выражением

$V(\mathbf {r} )=-{\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}-{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}$

где $\mathbf {r}$ представляет положение частицы, и $r_{1}$ и $r_{2}$ – расстояния между частицей и центрами сил; $\mu _{1}$ и $\mu _{2}$ являются константами, которые измеряют силу первой и второй сил соответственно. частицы. Полная энергия равна сумме этой потенциальной энергии с кинетической энергией

$E={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}+V(\mathbf {r} )$

где $m$ и $\mathbf {p}$ частицы — масса и линейный импульс соответственно.

частицы Линейный и угловой момент не сохраняются в задаче Эйлера, поскольку два центра силы действуют на частицу как внешние силы, что может привести к результирующей силе и крутящему моменту на частице. Тем не менее, задача Эйлера имеет вторую константу движения

$C=r_{1}^{2}\,r_{2}^{2}\,{\frac {d\theta _{1}}{dt}}{\frac {d\theta _{2}}{dt}}+2\,a\left(\mu _{1}\cos \theta _{1}-\mu _{2}\cos \theta _{2}\right),$

где $2\,a$ это разделение двух центров силы, $\theta _{1}$ и $\theta _{2}$ – углы линий, соединяющих частицу с центрами сил, по отношению к линии, соединяющей центры. Эту вторую константу движения определил Э. Т. Уиттакер в своей работе по аналитической механике: и обобщено на $n$ размеры Коулсона и Джозефа в 1967 году. В форме Коулсона–Джозефа константа движения записывается

$B=\mathbf {L} ^{2}+a^{2}p_{n}^{2}+2\,a\,x_{n}\left({\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}-{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}\right),$

где $p_{n}$ обозначает компоненту импульса вдоль $x_{n}$ ось, на которой расположены центры притяжения. Эта константа движения соответствует полного углового момента квадрату $\mathbf {L} ^{2}$ в пределе, когда два центра сил сходятся в одну точку ( $a\rightarrow 0$) и пропорциональна вектору Лапласа–Рунге–Ленца $\mathbf {A}$ в пределе, когда один из центров обращается в бесконечность ( $a\rightarrow \infty$ пока $|x_{n}-a|$ остается конечным).

Квантово-механическая версия

Частным случаем квантовомеханической задачи трёх тел является ион молекулы водорода H ⁺
₂ . Два из трёх тел являются ядрами, а третье — быстро движущимся электроном. Два ядра в 1800 раз тяжелее электрона и поэтому моделируются как неподвижные центры. Хорошо известно, что волновое уравнение Шредингера разделимо в вытянутых сфероидальных координатах и ​​может быть разделено на два обыкновенных дифференциальных уравнения, связанных собственным значением энергии и константой разделения. Однако решения требовали расширения серий базисных наборов. Тем не менее, с помощью экспериментальной математики было обнаружено, что собственное значение энергии было математическим обобщением функции Ламберта W ( см. в функции Ламберта W более подробную информацию и ссылках в ней). Молекулярный ион водорода в случае зажатых ядер может быть полностью определен в системе компьютерной алгебры . Тот факт, что ее решение является неявной функцией, показателен сам по себе. Одним из успехов теоретической физики является не просто то, что она поддается математической обработке, но и то, что участвующими в ней алгебраическими уравнениями можно символически манипулировать до тех пор, пока не будет выделено аналитическое решение, предпочтительно решение в замкнутой форме. Этот тип решения для частного случая задачи трех тел показывает нам возможности того, что возможно в качестве аналитического решения квантовой задачи трех тел и задачи многих тел.

Обобщения

Исчерпывающий анализ разрешимых обобщений задачи трех тел Эйлера был проведен Адамом Хилтебейтелем в 1911 году. Простейшее обобщение задачи трех тел Эйлера состоит в добавлении третьего центра силы на полпути между двумя исходными центрами, который оказывает только линейная сила Гука . Следующее обобщение состоит в том, чтобы дополнить законы обратных квадратов силой, которая линейно возрастает с расстоянием. Последний набор обобщений заключается в добавлении двух фиксированных центров силы в положениях, которые являются мнимыми числами , с силами, которые являются как линейными, так и законами обратных квадратов , вместе с силой, параллельной оси мнимых центров и изменяющейся как обратный куб расстояние до этой оси.

Решение исходной задачи Эйлера представляет собой приближенное решение для движения частицы в гравитационном поле вытянутого тела, т. е. сферы, вытянутой в одном направлении, например, в форме сигары. Соответствующее приближенное решение для частицы, движущейся в поле сплюснутого сфероида (сферы, сжатой в одном направлении), получается путем преобразования положений двух центров силы в мнимые числа . Решение со сплюснутым сфероидом астрономически более важно, поскольку большинство планет, звезд и галактик представляют собой примерно сплюснутые сфероиды; вытянутые сфероиды встречаются очень редко.

Аналогом сжатого случая в общей теории относительности является черная дыра Керра . Известно, что геодезические вокруг этого объекта интегрируемы благодаря существованию четвертой константы движения (помимо энергии, углового момента и величины четырехимпульса), известной как постоянная Картера . Сплюснутая задача трех тел Эйлера и черная дыра Керра имеют одни и те же моменты массы, и это наиболее очевидно, если метрика для последней записана в координатах Керра – Шилда .

Аналогом сжатого случая, дополненного линейным членом Гука, является черная дыра Керра–де Ситтера . Как и в законе Гука , космологическая постоянная член линейно зависит от расстояния от начала координат, а пространство-время Керра-де Ситтера также допускает константу типа Картера, квадратичную по импульсам.

Математические решения

Исходная задача Эйлера

В исходной задаче Эйлера предполагается, что два центра сил, действующих на частицу, зафиксированы в пространстве; пусть эти центры расположены вдоль оси x в точке ± a . Аналогично предполагается, что частица заключена в фиксированную плоскость, содержащую два центра силы. Потенциальная энергия частицы в поле этих центров определяется выражением

$V(x,y)={\frac {-\mu _{1}}{\sqrt {\left(x-a\right)^{2}+y^{2}}}}-{\frac {\mu _{2}}{\sqrt {\left(x+a\right)^{2}+y^{2}}}}.$

где константы пропорциональности ₁ и ₂ могут быть положительными или отрицательными. Два центра притяжения можно рассматривать как фокусы множества эллипсов. Если бы какой-либо центр отсутствовал, частица двигалась бы по одному из этих эллипсов, что является решением проблемы Кеплера . Следовательно, согласно теореме Бонне , те же эллипсы являются решениями задачи Эйлера.

Вводя эллиптические координаты ,

$\,x=\,a\cosh \xi \cos \eta ,$

$\,y=\,a\sinh \xi \sin \eta ,$

потенциальную энергию можно записать как

${\begin{aligned}V(\xi ,\eta )&={\frac {-\mu _{1}}{a\left(\cosh \xi -\cos \eta \right)}}-{\frac {\mu _{2}}{a\left(\cosh \xi +\cos \eta \right)}}\\[8pt]&={\frac {-\mu _{1}\left(\cosh \xi +\cos \eta \right)-\mu _{2}\left(\cosh \xi -\cos \eta \right)}{a\left(\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta \right)}},\end{aligned}}$

и кинетическая энергия как

$T={\frac {ma^{2}}{2}}\left(\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta \right)\left({\dot {\xi }}^{2}+{\dot {\eta }}^{2}\right).$

Это динамическая система Лиувилля , если ξ и η взяты в качестве φ ₁ и φ ₂ соответственно; таким образом, функция Y равна

$\,Y=\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta$

а функция W равна

$W=-\mu _{1}\left(\cosh \xi +\cos \eta \right)-\mu _{2}\left(\cosh \xi -\cos \eta \right).$

Используя общее решение для динамической системы Лиувилля , получается

${\frac {ma^{2}}{2}}\left(\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta \right)^{2}{\dot {\xi }}^{2}=E\cosh ^{2}\xi +\left({\frac {\mu _{1}+\mu _{2}}{a}}\right)\cosh \xi -\gamma$

${\frac {ma^{2}}{2}}\left(\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta \right)^{2}{\dot {\eta }}^{2}=-E\cos ^{2}\eta +\left({\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{a}}\right)\cos \eta +\gamma$

Вводя параметр u по формуле

$du={\frac {d\xi }{\sqrt {E\cosh ^{2}\xi +\left({\frac {\mu _{1}+\mu _{2}}{a}}\right)\cosh \xi -\gamma }}}={\frac {d\eta }{\sqrt {-E\cos ^{2}\eta +\left({\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{a}}\right)\cos \eta +\gamma }}},$

дает параметрическое решение

$u=\int {\frac {d\xi }{\sqrt {E\cosh ^{2}\xi +\left({\frac {\mu _{1}+\mu _{2}}{a}}\right)\cosh \xi -\gamma }}}=\int {\frac {d\eta }{\sqrt {-E\cos ^{2}\eta +\left({\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{a}}\right)\cos \eta +\gamma }}}.$

Поскольку это эллиптические интегралы , координаты ξ и η можно выразить как эллиптические функции от u .

См. также

• постоянная Картера
• Молекулярный ион водорода
• Интеграл Якоби
• точка Лагранжа
• Динамическая система Лиувилля
• Задача трех тел

Дальнейшее чтение

• Хильтебейтель А.М. (1911). «К проблеме двух неподвижных центров и некоторым ее обобщениям». Американский журнал математики . 33 (1/4): 337–362. дои : 10.2307/2369997 . JSTOR   2369997 .
• Эриксон Х.А., Хилл Э.Л. (1949). «Заметка об одноэлектронных состояниях двухатомных молекул». Физический обзор . 75 (1): 29–31. Бибкод : 1949PhRv...75...29E . дои : 10.1103/PhysRev.75.29 .
• Корбен Х.К., Штеле П. (1960). Классическая механика . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. стр. 206–213. ISBN  978-0-88275-162-7 .
• Ховард Дж. Э., Вилкерсон Т. Д. (1995). «Проблема двух неподвижных центров и конечного диполя: единое рассмотрение». Физический обзор А. 52 (6): 4471–4492. Бибкод : 1995PhRvA..52.4471H . дои : 10.1103/PhysRevA.52.4471 . ПМИД   9912786 .
• Кнудсон С.К., Палмер И.С. (1997). «Квазиклассические электронные собственные значения для зарядовых асимметричных одноэлектронных двухатомных молекул: общий метод и сигма-состояния». Химическая физика . 224 (1): 1–18. Бибкод : 1997CP....224....1K . дои : 10.1016/S0301-0104(97)00226-7 .
• Хосе Й.В., Салетан Э.Дж. (1998). Классическая динамика: современный подход . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр. 298–300, 378–379. ISBN  978-0-521-63176-1 .
• Нэш П.Л., Лопес-Мобилиа Р. (1999). «Квазиэллиптическое движение электрона в электрическом дипольном поле». Физический обзор E . 59 (4): 4614–4617. Бибкод : 1999PhRvE..59.4614N . дои : 10.1103/PhysRevE.59.4614 .
• Ваалкенс Х., Дуллин Х.Р., Рихтер П.Х. (2004). «Проблема двух неподвижных центров: бифуркации, действия, монодромия» (PDF) . Физика Д. 196 (3–4): 265–310. Бибкод : 2004PhyD..196..265W . дои : 10.1016/j.physd.2004.05.006 .

Внешние ссылки

• Архив Эйлера