постоянная Картера

Постоянная Картера — это сохраняющаяся величина для движения вокруг черных дыр в общей релятивистской формулировке гравитации. Его базовые единицы СИ — кг. ² ⋅m ⁴ ⋅s ⁻² . Константа Картера была получена для вращающейся заряженной черной дыры австралийским физиком-теоретиком Брэндоном Картером в 1968 году. Постоянная Картера вместе с энергией $p_{t}$, осевой угловой момент $p_{\phi }$, а масса покоя частицы ${\sqrt {|p_{\mu }p^{\mu }|}}$ обеспечить четыре сохраняющиеся величины, необходимые для однозначного определения всех орбит в пространстве-времени Керра – Ньюмана (даже орбит заряженных частиц).

Формулировка

Картер заметил, что гамильтониан движения в пространстве-времени Керра разделим в координатах Бойера-Линдквиста , что позволяет легко идентифицировать константы такого движения с помощью теории Гамильтона-Якоби . Константу Картера можно записать следующим образом:

$C=p_{\theta }^{2}+\cos ^{2}\theta {\Bigg (}a^{2}(m^{2}-E^{2})+\left({\frac {L_{z}}{\sin \theta }}\right)^{2}{\Bigg )}$,

где $p_{\theta }$ – широтная составляющая углового момента частицы, $E=p_{t}$ - сохраняющаяся энергия частицы, $L_{z}=p_{\phi }$ - сохраняющийся осевой угловой момент частицы, $m={\sqrt {|p_{\mu }p^{\mu }|}}$ - масса покоя частицы, а $a$ — параметр вращения черной дыры. Обратите внимание, что здесь $p_{\mu }$ обозначает ковариантные компоненты четырехимпульса в координатах Бойера-Линдквиста, которые можно вычислить по положению частицы. $X^{\mu }=(t,r,\theta ,\phi )$ частицы параметризуется собственным временем $\tau$ используя свою четырехскоростную $U^{\mu }=dX^{\mu }/d\tau$ как $p_{\mu }=g_{\mu \nu }p^{\nu }$ где $p^{\mu }=mU^{\mu }$ представляет собой четырехимпульс и $g_{\mu \nu }$ – метрика Керра . Таким образом, сохраняющуюся энергетическую постоянную и постоянную углового момента не следует путать с энергией $U_{\rm {obs}}^{\mu }p_{\mu }$ измеренный наблюдателем, и угловой момент $\mathbf {L} ={\boldsymbol {x}}\wedge {\boldsymbol {p}}=rp_{\theta }{\boldsymbol {dr}}\wedge {\boldsymbol {d\theta }}+rp_{\phi }{\boldsymbol {dr}}\wedge {\boldsymbol {d\phi }}=mr^{3}{\dot {\theta }}{\boldsymbol {dr}}\wedge {\boldsymbol {d\theta }}+mr^{3}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\phi }}\,{\boldsymbol {dr}}\wedge {\boldsymbol {d\phi }}$. Компонента углового момента вдоль $z$ является $L_{xy}$ что совпадает с $p_{\phi }$.

Поскольку функции сохраняющихся величин также сохраняются, любая функция $C$ а три другие константы движения можно использовать в качестве четвертой константы вместо $C$. Это приводит к некоторой путанице относительно формы постоянной Картера. Например, иногда удобнее использовать:

$K=C+(L_{z}-aE)^{2}$

вместо $C$. Количество $K$ полезно, потому что оно всегда неотрицательно. В общем, любую четвертую сохраняющуюся величину движения в пространстве-времени Керра можно назвать «постоянной Картера». В $a=0$ предел, $C=L^{2}-L_{z}^{2}$ и $K=L^{2}$, где $L$ - норма вектора углового момента, см. предел Шварцшильда ниже.

Созданный тензором Киллинга

Теорема Нётер утверждает, что каждая сохраняющаяся величина системы порождает непрерывную симметрию этой системы. Константа Картера связана с симметрией более высокого порядка метрики Керра, порожденной тензорным полем Киллинга второго порядка. $K$ (другой $K$ чем использовано выше). В компонентной форме:

$C=K^{\mu \nu }u_{\mu }u_{\nu }$,

где $u$ – четырехкратная скорость движущейся частицы. Компонентами тензора Киллинга в координатах Бойера – Линдквиста являются:

$K^{\mu \nu }=2\Sigma \ l^{(\mu }n^{\nu )}+r^{2}g^{\mu \nu }$,

где $g^{\mu \nu }$ являются компонентами метрического тензора и $l^{\mu }$ и $n^{\nu }$ являются компонентами главных нулевых векторов:

$l^{\mu }=\left({\frac {r^{2}+a^{2}}{\Delta }},1,0,{\frac {a}{\Delta }}\right)$

$n^{\nu }=\left({\frac {r^{2}+a^{2}}{2\Sigma }},-{\frac {\Delta }{2\Sigma }},0,{\frac {a}{2\Sigma }}\right)$

с

$\Sigma =r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta \ ,\ \ \Delta =r^{2}-r_{s}\ r+a^{2}$.

Скобки в $l^{(\mu }n^{\nu )}$ являются обозначениями симметризации:

$l^{(\mu }n^{\nu )}={\frac {1}{2}}(l^{\mu }n^{\nu }+l^{\nu }n^{\mu })$

Предел Шварцшильда

Сферическая симметрия метрики Шварцшильда для невращающихся черных дыр позволяет свести задачу поиска траекторий частиц к трем измерениям. В этом случае нужно только $E$, $L_{z}$, и $m$ определить движение; однако симметрия, приводящая к константе Картера, все еще существует. Константа Картера для пространства Шварцшильда равна:

$C=p_{\theta }^{2}+L_{z}^{2}\cot ^{2}\theta$.

Чтобы увидеть, как это связано с углового момента двухформой $L_{ij}=x_{i}\wedge p_{j}$ в сферических координатах, где ${\boldsymbol {x}}=r{\boldsymbol {dr}}$ и ${\boldsymbol {p}}=p_{r}{\boldsymbol {dr}}+p_{\theta }{\boldsymbol {d\theta }}+p_{\phi }{\boldsymbol {d\phi }}$, где $p_{\theta }=g_{\theta \theta }p^{\theta }=r^{2}m{\dot {\theta }}$ и $p_{\phi }=g_{\phi \phi }p^{\phi }=r^{2}\sin ^{2}\theta \,m{\dot {\phi }}$ и где ${\dot {\phi }}=d\phi /d\tau$ и аналогично для ${\dot {\theta }}$, у нас есть

$\mathbf {L} ={\boldsymbol {x}}\wedge {\boldsymbol {p}}=rp_{\theta }{\boldsymbol {dr}}\wedge {\boldsymbol {d\theta }}+rp_{\phi }{\boldsymbol {dr}}\wedge {\boldsymbol {d\phi }}=mr^{3}{\dot {\theta }}{\boldsymbol {dr}}\wedge {\boldsymbol {d\theta }}+mr^{3}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\phi }}\,{\boldsymbol {dr}}\wedge {\boldsymbol {d\phi }}$.

С ${\boldsymbol {\hat {\theta }}}=r{\boldsymbol {d\theta }}$ и ${\boldsymbol {\hat {\phi }}}=r\sin \theta \,{\boldsymbol {d\phi }}$ представляют собой ортонормированный базис, Ходжу двойственный к $\mathbf {L}$ в ортонормированном базисе

${\boldsymbol {L^{*}}}=mr^{2}{\dot {\theta }}{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+mr^{2}\sin \theta \,{\dot {\phi }}\,{\boldsymbol {\hat {\phi }}}$

в соответствии с ${\vec {\boldsymbol {r}}}\times m{\vec {\boldsymbol {v}}}$ хотя здесь ${\dot {\theta }}$ и ${\dot {\phi }}$ относятся к собственному времени. Его норма

$L^{2}=g^{\theta \theta }r^{2}p_{\theta }^{2}+g^{\phi \phi }r^{2}p_{\phi }^{2}=g_{\theta \theta }r^{2}(p^{\theta })^{2}+g_{\phi \phi }r^{2}(p^{\phi })^{2}=m^{2}r^{4}{\dot {\theta }}^{2}+m^{2}r^{4}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\phi }}^{2}$.

Далее, поскольку $p_{\theta }=g_{\theta \theta }p^{\theta }=mr^{2}{\dot {\theta }}$ и $L_{z}=p_{\phi }=g_{\phi \phi }p^{\phi }=mr^{2}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\phi }}$, после замены получим

$C=m^{2}r^{4}{\dot {\theta }}^{2}+m^{2}r^{4}\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta \,{\dot {\phi }}^{2}=m^{2}r^{4}{\dot {\theta }}^{2}+m^{2}r^{4}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\phi }}^{2}-m^{2}r^{4}\sin ^{4}\theta \,{\dot {\phi }}^{2}=L^{2}-L_{z}^{2}$.

В случае Шварцшильда все компоненты вектора момента импульса сохраняются, поэтому оба $L^{2}$ и $L_{z}^{2}$ сохраняются, следовательно $C$ явно сохраняется. Для Керра, $L_{z}=p_{\phi }$ сохраняется, но $p_{\theta }$ и $L^{2}$ нет, тем не менее $C$ сохраняется.

Другая форма постоянной Картера:

$K=C+(L_{z}-aE)^{2}=(L^{2}-L_{z}^{2})+(L_{z}-aE)^{2}=L^{2}$

так как здесь $a=0$. Это также явно сохраняется. В случае Шварцшильда оба $C\geq 0$ и $K\geq 0$, где $K=0$ являются радиальными орбитами и $C=0$ с $K>0$ соответствует орбитам, приуроченным к экваториальной плоскости системы координат, т.е. $\theta =\pi /2$ на все времена.

См. также

• Метрика Керра
• Метрика Керра – Ньюмана
• Координаты Бойера – Линдквиста
• Уравнение Гамильтона – Якоби
• Задача трех тел Эйлера