Координаты Бойера – Линдквиста

В математическом описании общей теории относительности координаты Бойера – Линдквиста являются обобщением координат, используемых для метрики , черной дыры Шварцшильда которое можно использовать для выражения метрики черной дыры Керра .

Гамильтониан движения частиц в пространстве-времени Керра разделим в координатах Бойера – Линдквиста. Используя теорию Гамильтона-Якоби, можно вывести четвертую константу движения, известную как константа Картера .

Статья 1967 года, в которой представлены координаты Бойера – Линдквиста. была посмертной публикацией Роберта Х. Бойера, который был убит во время стрельбы в башне Техасского университета в 1966 году .

Линейный элемент

Линейный элемент черной дыры с эквивалентом полной массы $M$, угловой момент $J$и зарядить $Q$ в координатах Бойера – Линдквиста и геометризированных единицах ( $G=c=1$) является

$ds^{2}=-{\frac {\Delta }{\rho ^{2}}}\left(dt-a\sin ^{2}\theta \,d\phi \right)^{2}+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}}}{\Big (}\left(r^{2}+a^{2}\right)\,d\phi -a\,dt{\Big )}^{2}+{\frac {\rho ^{2}}{\Delta }}dr^{2}+\rho ^{2}\,d\theta ^{2}$

где

$\Delta =r^{2}-2Mr+a^{2}+Q^{2},$ называется дискриминантом ,

$\rho ^{2}=r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta ,$

и

$a={\frac {J}{M}},$ называется параметром Керра .

Обратите внимание, что в геометрических единицах $M$, $a$, и $Q$ все имеют единицы длины. Этот линейный элемент описывает метрику Керра-Ньюмана . Здесь, $M$ следует интерпретировать как массу черной дыры, видимую наблюдателем на бесконечности, $J$ интерпретируется как угловой момент , а $Q$ электрический заряд . Все эти параметры должны быть постоянными и фиксированными. Название дискриминанта возникло потому, что он появляется как дискриминант квадратного уравнения, ограничивающего времяподобное движение частиц, вращающихся вокруг черной дыры, то есть определяющих эргосферу.

Преобразование координат из координат Бойера – Линдквиста. $r$, $\theta$, $\phi$ в декартовых координатах $x$, $y$, $z$ дается (за $m\to 0$) к: ${\begin{aligned}x&={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}\sin \theta \cos \phi \\y&={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}\sin \theta \sin \phi \\z&=r\cos \theta \end{aligned}}$

Четвероногий

Вирбейна : Одноформовые формы можно считывать непосредственно из линейного элемента

$\sigma ^{0}={\frac {\sqrt {\Delta }}{\rho }}\left(dt-a\sin ^{2}\theta \,d\phi \right)$

$\sigma ^{1}={\frac {\rho }{\sqrt {\Delta }}}dr$

$\sigma ^{2}=\rho \,d\theta$

$\sigma ^{3}={\frac {\sin \theta }{\rho }}{\Big (}\left(r^{2}+a^{2}\right)\,d\phi -a\,dt{\Big )}$

так что элемент строки задается выражением

$ds^{2}=\sigma ^{a}\otimes \sigma ^{b}\eta _{ab}$

где $\eta _{ab}$ плоского пространства — метрика Минковского .

Спиновое соединение

Спиновое без скручивания соединение $\omega ^{ab}$ определяется

$d\sigma ^{a}+\omega ^{ab}\wedge \sigma ^{c}\eta _{bc}=0$

Тензор конторсии дает разницу между соединением с кручением и соответствующим соединением без кручения. По соглашению римановы многообразия всегда имеют геометрию без кручения; кручение часто используется для определения эквивалентной плоской геометрии.

Спиновое соединение полезно, поскольку оно обеспечивает промежуточную точку для вычисления двухформ кривизны :

$R^{ab}=d\omega ^{ab}+\omega ^{ac}\wedge \omega ^{db}\eta _{cd}$

Это также наиболее подходящая форма для описания связи со спинорными полями и открывает дверь к твисторному формализму .

Все шесть компонент спиновой связи ненулевые. Это:

$\omega ^{01}={\frac {1}{\rho ^{3}}}\left[{\frac {-2Mr^{2}+2rQ^{2}+a^{2}[M+r+(M-r)\cos 2\theta ]}{2{\sqrt {\Delta }}}}\,\sigma ^{0}+ra\sin \theta \,\sigma ^{3}\right]$

$\omega ^{02}={\frac {a\cos \theta }{\rho ^{3}}}\left[a\sin \theta \,\sigma ^{0}+{\sqrt {\Delta }}\,\sigma ^{3}\right]$

$\omega ^{03}={\frac {a}{\rho ^{3}}}\left[r\sin \theta \,\sigma ^{1}-{\sqrt {\Delta }}\cos \theta \,\sigma ^{2}\right]$

$\omega ^{12}={\frac {1}{\rho ^{3}}}\left[a^{2}\sin \theta \cos \theta \,\sigma ^{1}+r{\sqrt {\Delta }}\,\sigma ^{2}\right]$

$\omega ^{13}={\frac {r}{\rho ^{3}}}\left[a\sin \theta \,\sigma ^{0}+{\sqrt {\Delta }}\,\sigma ^{3}\right]$

$\omega ^{23}={\frac {\cot \theta }{\rho ^{3}}}\left[a{\sqrt {\Delta }}\sin \theta \,\sigma ^{0}+(r^{2}+a^{2})\,\sigma ^{3}\right]$

Тензоры Римана и Риччи

Полностью записанный тензор Римана довольно многословен; его можно найти во Фре. Тензор Риччи принимает диагональный вид:

${\mbox{Ric}}={\frac {Q^{2}}{\rho ^{4}}}{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}$

Обратите внимание на место записи минус один: это полностью связано с электромагнитным вкладом. А именно, когда тензор электромагнитных напряжений $F_{ab}$ имеет только две неисчезающие компоненты: $F_{01}$ и $F_{23}$, то соответствующий тензор энергии-импульса примет вид

$T^{\mbox{Maxwell}}={\frac {F_{01}^{2}+F_{23}^{2}}{4}}{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}$

Приравнивание этого тензора энергии-импульса гравитационного поля приводит к электровакуумному решению Керра – Ньюмана .

Ссылки

• Шапиро, СЛ; Теукольский С.А. (1983). Черные дыры, белые карлики и нейтронные звезды: физика компактных объектов . Нью-Йорк: Уайли. п. 357. ИСБН  9780471873167 .