Jump to content

Метрический тензор (общая теория относительности)


Метрический тензор пространства-времени в общей теории относительности, записанный в виде матрицы

В общей теории относительности метрический тензор (в этом контексте часто сокращенно просто метрика ) является фундаментальным объектом исследования. Метрика отражает всю геометрическую и причинную структуру пространства -времени и используется для определения таких понятий, как время, расстояние, объем, кривизна, угол и разделение будущего и прошлого.

В общей теории относительности метрический тензор играет роль гравитационного потенциала в классической теории гравитации, хотя физическое содержание связанных с ним уравнений совершенно иное. [1] Гутфренд и Ренн говорят, «что в общей теории относительности гравитационный потенциал представлен метрическим тензором». [2]

Обозначения и соглашения

[ редактировать ]

В этой статье используется сигнатура метрики , которая в основном положительна ( − + + + ); см . соглашение о знаках . Гравитационная постоянная будет оставаться явным. В этой статье используется соглашение Эйнштейна о суммировании , при котором повторяющиеся индексы суммируются автоматически.

Определение

[ редактировать ]

Математически пространство-время представляется четырехмерным дифференцируемым многообразием. а метрический тензор задается как ковариантный второй степени симметричный тензор на , условно обозначаемый . При этом метрика должна быть невырожденной с сигнатурой (− + + +) . Многообразие снабженное такой метрикой, является разновидностью лоренцева многообразия .

Явно метрический тензор представляет собой симметричную билинейную форму в каждом касательном пространстве которая меняется плавным (или дифференцируемым) образом от точки к точке. Учитывая два касательных вектора и в какой-то момент в , метрика может быть оценена на и чтобы дать реальное число: Это обобщение скалярного произведения обычного евклидова пространства . В отличие от евклидова пространства, где скалярное произведение положительно определено , метрика неопределенна и придает каждому касательному пространству структуру пространства Минковского .

Локальные координаты и матричные представления

[ редактировать ]

Физики обычно работают в локальных координатах (т.е. в координатах, определенных на каком-то локальном участке Земли). ). В местных координатах (где это индекс, который принимает значения от 0 до 3) метрику можно записать в виде Факторы являются одной формы градиентами скалярных координатных полей . Таким образом, метрика представляет собой линейную комбинацию тензорных произведений однообразных градиентов координат. Коэффициенты представляют собой набор из 16 вещественных функций (поскольку тензор тензорное поле , определенное во всех точках пространственно-временного многообразия). Чтобы метрика была симметричной дающий 10 независимых коэффициентов.

Если локальные координаты указаны или поняты из контекста, метрика может быть записана как 4 × 4 симметричная матрица с элементами . Невырожденность означает, что эта матрица невырождена (т.е. имеет ненулевой определитель), а лоренцева сигнатура означает, что матрица имеет одно отрицательное и три положительных собственных значения . Физики часто ссылаются на эту матрицу или координаты себя как метрику (см., однако, обозначение абстрактного индекса ).

С количествами рассматриваемая как компоненты бесконечно малого четырехвектора смещения координат (не путать с одноформами того же обозначения выше), метрика определяет инвариантный квадрат бесконечно малого линейного элемента , часто называемого интервалом . Интервал часто обозначается

Интервал передает информацию о причинной структуре пространства-времени . Когда , интервал времениподобен и квадратный корень из абсолютного значения это приращение собственного времени . Массивный объект может физически пересечь только времяподобные интервалы. Когда , интервал подобен свету, и его могут пересечь только (безмассовые) объекты, движущиеся со скоростью света. Когда , интервал пространственноподобен и квадратный корень из действует как инкрементная собственная длина . Пространственноподобные интервалы невозможно пересечь, поскольку они связывают события, находящиеся вне световых конусов друг друга . События могут быть причинно связаны только в том случае, если они находятся внутри световых конусов друг друга.

Компоненты метрики зависят от выбора локальной системы координат. При смене координат , компоненты метрики преобразуются как

Характеристики

[ редактировать ]

Метрический тензор играет ключевую роль в манипулировании индексами . В индексной записи коэффициенты метрического тензора обеспечить связь между ковариантными и контравариантными компонентами других тензоров. Сжатие контравариантного индекса тензора с одним из ковариантных коэффициентов метрического тензора приводит к снижению индекса и аналогично контравариантный метрический коэффициент повышает индекс Применение этого свойства повышения и понижения индексов к самим компонентам метрического тензора приводит к свойству Для диагональной метрики (такой, для которой коэффициенты ; т. е. базисные векторы ортогональны друг другу), это означает, что данный ковариантный коэффициент метрического тензора является обратным соответствующему контравариантному коэффициенту , и т. д.

Плоское пространство-время

[ редактировать ]

Простейшим примером лоренцева многообразия является плоское пространство-время , которое можно записать как R 4 с координатами и метрика Эти координаты фактически охватывают всю территорию R. 4 . Метрика плоского пространства (или метрика Минковского ) часто обозначается символом η и является метрикой, используемой в специальной теории относительности . В приведенных выше координатах матричное представление η имеет вид (Альтернативное соглашение заменяет координату к и определяет как в пространстве Минковского § Стандартный базис .)

В сферических координатах метрика плоского пространства принимает вид где — стандартная метрика на 2-сфере .

Метрики черной дыры

[ редактировать ]

Метрика Шварцшильда описывает незаряженную, невращающуюся черную дыру. Существуют также метрики, описывающие вращающиеся и заряженные черные дыры.

Метрика Шварцшильда

[ редактировать ]

Помимо метрики плоского пространства, наиболее важной метрикой в ​​общей теории относительности является метрика Шварцшильда , которую можно задать в одном наборе локальных координат формулой где опять же — стандартная метрика на 2-сфере . Здесь, гравитационная постоянная и является константой с размерами массы . Его вывод можно найти здесь . Метрика Шварцшильда приближается к метрике Минковского как приближается к нулю (за исключением начала координат, где оно не определено). Аналогично, когда стремится к бесконечности, метрика Шварцшильда приближается к метрике Минковского.

С координатами метрику можно записать как

Для метрики Шварцшильда было разработано несколько других систем координат: координаты Эддингтона – Финкельштейна , координаты Гулстранда – Пенлеве , координаты Крускала – Секереса и координаты Леметра .

Вращающиеся и заряженные черные дыры

[ редактировать ]

Решение Шварцшильда предполагает объект, который не вращается в пространстве и не заряжен. Чтобы учитывать заряд, метрика должна удовлетворять уравнениям поля Эйнштейна, как и раньше, а также уравнениям Максвелла в искривленном пространстве-времени. Заряженная невращающаяся масса описывается метрикой Рейсснера – Нордстрема .

Вращающиеся черные дыры описываются метрикой Керра и метрикой Керра-Ньюмана . [ нужны дальнейшие объяснения ]

Другие показатели

[ редактировать ]

Другими примечательными показателями являются:

Некоторые из них лишены горизонта событий или могут быть лишены гравитационной сингулярности .

Метрика g порождает естественную форму объема (с точностью до знака), которую можно использовать для интегрирования по определенной области многообразия. Учитывая местные координаты для многообразия форму объема можно записать где определитель матрицы компонент метрического тензора для данной системы координат.

Кривизна

[ редактировать ]

Метрика полностью определяет кривизну пространства-времени. Согласно основной теореме римановой геометрии существует единственная связность , на любом полуримановом многообразии , совместная с метрикой и не имеющая кручения . Эта связь называется связью Леви-Чивита . Символы Кристоффеля этой связности даются через частные производные метрики в локальных координатах. по формуле (где запятые обозначают частные производные ).

Тогда кривизна пространства-времени задается тензором кривизны Римана , который определяется в терминах связи Леви-Чивита ∇. В местных координатах этот тензор имеет вид:

Тогда кривизна выражается чисто через метрику и его производные.

Уравнения Эйнштейна

[ редактировать ]

Одна из основных идей общей теории относительности заключается в том, что метрика (и связанная с ней геометрия пространства-времени) определяется материей и энергетическим содержанием пространства -времени . Уравнения поля Эйнштейна : где тензор кривизны Риччи и скалярная кривизна связать метрику (и связанные с ней тензоры кривизны) с тензором энергии-напряжения . Это тензорное уравнение представляет собой сложную систему нелинейных уравнений в частных производных для метрических компонент. Точные решения уравнений поля Эйнштейна найти очень сложно.

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Подробности см. в разделе 2.11, Метрический тензор и классический гравитационный потенциал , в Чоу, Тай Л. (2008). Гравитация, черные дыры и очень ранняя Вселенная: введение в общую теорию относительности и космологию . Спрингер. ISBN  9780387736310 .
  2. ^ Гутфренд, Ханох; Ренн, Юрген (2015). Дорога к теории относительности: история и значение книги Эйнштейна «Основы общей теории относительности», включая оригинальную рукопись шедевра Эйнштейна . Издательство Принстонского университета. п. 75. ИСБН  9780691175812 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 16662adbdcc176794a081f2d26f35883__1703880180
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/16/83/16662adbdcc176794a081f2d26f35883.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Metric tensor (general relativity) - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)