Метрический тензор (общая теория относительности)
В общей теории относительности метрический тензор (в этом контексте часто сокращенно просто метрика ) является фундаментальным объектом исследования. Метрика отражает всю геометрическую и причинную структуру пространства -времени и используется для определения таких понятий, как время, расстояние, объем, кривизна, угол и разделение будущего и прошлого.
В общей теории относительности метрический тензор играет роль гравитационного потенциала в классической теории гравитации, хотя физическое содержание связанных с ним уравнений совершенно иное. [1] Гутфренд и Ренн говорят, «что в общей теории относительности гравитационный потенциал представлен метрическим тензором». [2]
Обозначения и соглашения
[ редактировать ]В этой статье используется сигнатура метрики , которая в основном положительна ( − + + + ); см . соглашение о знаках . Гравитационная постоянная будет оставаться явным. В этой статье используется соглашение Эйнштейна о суммировании , при котором повторяющиеся индексы суммируются автоматически.
Определение
[ редактировать ]Математически пространство-время представляется четырехмерным дифференцируемым многообразием. а метрический тензор задается как ковариантный второй степени симметричный тензор на , условно обозначаемый . При этом метрика должна быть невырожденной с сигнатурой (− + + +) . Многообразие снабженное такой метрикой, является разновидностью лоренцева многообразия .
Явно метрический тензор представляет собой симметричную билинейную форму в каждом касательном пространстве которая меняется плавным (или дифференцируемым) образом от точки к точке. Учитывая два касательных вектора и в какой-то момент в , метрика может быть оценена на и чтобы дать реальное число: Это обобщение скалярного произведения обычного евклидова пространства . В отличие от евклидова пространства, где скалярное произведение положительно определено , метрика неопределенна и придает каждому касательному пространству структуру пространства Минковского .
Локальные координаты и матричные представления
[ редактировать ]Физики обычно работают в локальных координатах (т.е. в координатах, определенных на каком-то локальном участке Земли). ). В местных координатах (где это индекс, который принимает значения от 0 до 3) метрику можно записать в виде Факторы являются одной формы градиентами скалярных координатных полей . Таким образом, метрика представляет собой линейную комбинацию тензорных произведений однообразных градиентов координат. Коэффициенты представляют собой набор из 16 вещественных функций (поскольку тензор — тензорное поле , определенное во всех точках пространственно-временного многообразия). Чтобы метрика была симметричной дающий 10 независимых коэффициентов.
Если локальные координаты указаны или поняты из контекста, метрика может быть записана как 4 × 4 симметричная матрица с элементами . Невырожденность означает, что эта матрица невырождена (т.е. имеет ненулевой определитель), а лоренцева сигнатура означает, что матрица имеет одно отрицательное и три положительных собственных значения . Физики часто ссылаются на эту матрицу или координаты себя как метрику (см., однако, обозначение абстрактного индекса ).
С количествами рассматриваемая как компоненты бесконечно малого четырехвектора смещения координат (не путать с одноформами того же обозначения выше), метрика определяет инвариантный квадрат бесконечно малого линейного элемента , часто называемого интервалом . Интервал часто обозначается
Интервал передает информацию о причинной структуре пространства-времени . Когда , интервал времениподобен и квадратный корень из абсолютного значения это приращение собственного времени . Массивный объект может физически пересечь только времяподобные интервалы. Когда , интервал подобен свету, и его могут пересечь только (безмассовые) объекты, движущиеся со скоростью света. Когда , интервал пространственноподобен и квадратный корень из действует как инкрементная собственная длина . Пространственноподобные интервалы невозможно пересечь, поскольку они связывают события, находящиеся вне световых конусов друг друга . События могут быть причинно связаны только в том случае, если они находятся внутри световых конусов друг друга.
Компоненты метрики зависят от выбора локальной системы координат. При смене координат , компоненты метрики преобразуются как
Характеристики
[ редактировать ]Метрический тензор играет ключевую роль в манипулировании индексами . В индексной записи коэффициенты метрического тензора обеспечить связь между ковариантными и контравариантными компонентами других тензоров. Сжатие контравариантного индекса тензора с одним из ковариантных коэффициентов метрического тензора приводит к снижению индекса и аналогично контравариантный метрический коэффициент повышает индекс Применение этого свойства повышения и понижения индексов к самим компонентам метрического тензора приводит к свойству Для диагональной метрики (такой, для которой коэффициенты ; т. е. базисные векторы ортогональны друг другу), это означает, что данный ковариантный коэффициент метрического тензора является обратным соответствующему контравариантному коэффициенту , и т. д.
Примеры
[ редактировать ]Плоское пространство-время
[ редактировать ]Простейшим примером лоренцева многообразия является плоское пространство-время , которое можно записать как R 4 с координатами и метрика Эти координаты фактически охватывают всю территорию R. 4 . Метрика плоского пространства (или метрика Минковского ) часто обозначается символом η и является метрикой, используемой в специальной теории относительности . В приведенных выше координатах матричное представление η имеет вид (Альтернативное соглашение заменяет координату к и определяет как в пространстве Минковского § Стандартный базис .)
В сферических координатах метрика плоского пространства принимает вид где — стандартная метрика на 2-сфере .
Метрики черной дыры
[ редактировать ]Метрика Шварцшильда описывает незаряженную, невращающуюся черную дыру. Существуют также метрики, описывающие вращающиеся и заряженные черные дыры.
Метрика Шварцшильда
[ редактировать ]Помимо метрики плоского пространства, наиболее важной метрикой в общей теории относительности является метрика Шварцшильда , которую можно задать в одном наборе локальных координат формулой где опять же — стандартная метрика на 2-сфере . Здесь, гравитационная постоянная и является константой с размерами массы . Его вывод можно найти здесь . Метрика Шварцшильда приближается к метрике Минковского как приближается к нулю (за исключением начала координат, где оно не определено). Аналогично, когда стремится к бесконечности, метрика Шварцшильда приближается к метрике Минковского.
С координатами метрику можно записать как
Для метрики Шварцшильда было разработано несколько других систем координат: координаты Эддингтона – Финкельштейна , координаты Гулстранда – Пенлеве , координаты Крускала – Секереса и координаты Леметра .
Вращающиеся и заряженные черные дыры
[ редактировать ]Решение Шварцшильда предполагает объект, который не вращается в пространстве и не заряжен. Чтобы учитывать заряд, метрика должна удовлетворять уравнениям поля Эйнштейна, как и раньше, а также уравнениям Максвелла в искривленном пространстве-времени. Заряженная невращающаяся масса описывается метрикой Рейсснера – Нордстрема .
Вращающиеся черные дыры описываются метрикой Керра и метрикой Керра-Ньюмана . [ нужны дальнейшие объяснения ]
Другие показатели
[ редактировать ]Другими примечательными показателями являются:
- Метрика Алькубьерре ,
- метрики де Ситтера / анти-де Ситтера ,
- метрика Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера ,
- изотропные координаты ,
- метрика Леметра–Толмана ,
- метрика Переса ,
- Координаты Риндлера ,
- Координаты Вейля–Льюиса–Папапетру ,
- Метрика Гёделя .
Некоторые из них лишены горизонта событий или могут быть лишены гравитационной сингулярности .
Объем
[ редактировать ]Метрика g порождает естественную форму объема (с точностью до знака), которую можно использовать для интегрирования по определенной области многообразия. Учитывая местные координаты для многообразия форму объема можно записать где – определитель матрицы компонент метрического тензора для данной системы координат.
Кривизна
[ редактировать ]Метрика полностью определяет кривизну пространства-времени. Согласно основной теореме римановой геометрии существует единственная связность ∇ , на любом полуримановом многообразии , совместная с метрикой и не имеющая кручения . Эта связь называется связью Леви-Чивита . Символы Кристоффеля этой связности даются через частные производные метрики в локальных координатах. по формуле (где запятые обозначают частные производные ).
Тогда кривизна пространства-времени задается тензором кривизны Римана , который определяется в терминах связи Леви-Чивита ∇. В местных координатах этот тензор имеет вид:
Тогда кривизна выражается чисто через метрику и его производные.
Уравнения Эйнштейна
[ редактировать ]Одна из основных идей общей теории относительности заключается в том, что метрика (и связанная с ней геометрия пространства-времени) определяется материей и энергетическим содержанием пространства -времени . Уравнения поля Эйнштейна : где тензор кривизны Риччи и скалярная кривизна связать метрику (и связанные с ней тензоры кривизны) с тензором энергии-напряжения . Это тензорное уравнение представляет собой сложную систему нелинейных уравнений в частных производных для метрических компонент. Точные решения уравнений поля Эйнштейна найти очень сложно.
См. также
[ редактировать ]- Альтернативы общей теории относительности
- Введение в математику общей теории относительности
- Математика общей теории относительности
- Фигурное исчисление
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Подробности см. в разделе 2.11, Метрический тензор и классический гравитационный потенциал , в Чоу, Тай Л. (2008). Гравитация, черные дыры и очень ранняя Вселенная: введение в общую теорию относительности и космологию . Спрингер. ISBN 9780387736310 .
- ^ Гутфренд, Ханох; Ренн, Юрген (2015). Дорога к теории относительности: история и значение книги Эйнштейна «Основы общей теории относительности», включая оригинальную рукопись шедевра Эйнштейна . Издательство Принстонского университета. п. 75. ИСБН 9780691175812 .
- см . в ресурсах по общей теории относительности . Список ссылок