Подробности о Леметре

Координаты Леметра — это особый набор координат для метрики Шварцшильда — сферически симметричного решения уравнений поля Эйнштейна в вакууме — введенной Жоржем Леметром в 1932 году. Переход от координат Шварцшильда к координатам Леметра удаляет сингулярность координат на радиусе Шварцшильда .

Метрика

Исходное координатное выражение метрики Шварцшильда в натуральных единицах ( c = G = 1 ) задается как

$ds^{2}=\left(1-{r_{s} \over r}\right)dt^{2}-{dr^{2} \over 1-{r_{s} \over r}}-r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}\right)\;,$

где

$ds^{2}$ – инвариантный интервал ;

$r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}$ – радиус Шварцшильда;

$M$ – масса центрального тела;

$t,r,\theta ,\phi$ – координаты Шварцшильда (асимптотически переходящие в плоские сферические координаты );

$c$ — скорость света ;

и $G$ является гравитационной постоянной .

Эта метрика имеет координатную особенность на радиусе Шварцшильда. $r=r_{s}$.

Жорж Леметр был первым, кто показал, что это не настоящая физическая сингулярность, а просто проявление того факта, что статические координаты Шварцшильда не могут быть реализованы с материальными телами внутри радиуса Шварцшильда. Действительно, внутри радиуса Шварцшильда все падает к центру и физическое тело не может сохранять постоянный радиус.

Преобразование системы координат Шварцшильда из $\{t,r\}$ к новым координатам $\{\tau ,\rho \},$

${\begin{aligned}d\tau =dt+{\sqrt {\frac {r_{s}}{r}}}\,\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)^{-1}dr~\\d\rho =dt+{\sqrt {\frac {r}{r_{s}}}}\,\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)^{-1}dr~\end{aligned}}$

(числитель и знаменатель меняются местами внутри квадратных корней), приводит к координатному выражению метрики Леметра:

$ds^{2}=d\tau ^{2}-{\frac {r_{s}}{r}}d\rho ^{2}-r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})$

где

$r=\left[{\frac {3}{2}}(\rho -\tau )\right]^{2/3}r_{s}^{1/3}\;.$

Метрика в координатах Леметра неособа на радиусе Шварцшильда. $r=r_{s}$. Это соответствует точке ${\frac {3}{2}}(\rho -\tau )=r_{s}$. остается настоящая гравитационная сингулярность , где В центре $\rho -\tau =0$, который невозможно удалить изменением координат.

Временная координата, используемая в координатах Леметра, идентична временной координате «дождевой капли», используемой в координатах Гулстранда – Пенлеве . Остальные три: радиальные и угловые координаты $r,\theta ,\phi$ Координаты Гулстранда–Пенлеве идентичны координатам карты Шварцшильда. То есть Гулстранд-Пенлеве применяет одно преобразование координат, чтобы перейти от времени Шварцшильда. $t$ к координате капли дождя $t_{r}=\tau$. Затем Лемэтр применяет второе преобразование координат к радиальному компоненту, чтобы избавиться от недиагональной записи в диаграмме Гулстранда – Пенлеве.

Обозначения $\tau$ Используемую в этой статье координату времени не следует путать с собственным временем . Это правда, что $\tau$ дает правильное время для радиально падающих наблюдателей; это не дает должного времени наблюдателям, путешествующим по другим геодезическим.

Геодезика

Траектории с константой ρ являются времениподобными геодезическими , где τ — собственное время вдоль этих геодезических. Они представляют собой движение свободно падающих частиц, которые начинаются с нулевой скорости на бесконечности. В любой точке их скорость равна скорости выхода из этой точки.

Система координат Леметра является синхронной , то есть глобальная временная координата метрики определяет собственное время сопутствующих наблюдателей. Радиально падающие тела достигают радиуса Шварцшильда и центра за конечное собственное время.

Радиальные нулевые геодезические соответствуют $ds^{2}=0$, которые имеют решения $d\tau =\pm \beta d\rho$. Здесь, $\beta$ это просто сокращение от

$\beta \equiv \beta (r)={\sqrt {r_{s} \over r}}$

Эти два знака соответствуют световым лучам, движущимся наружу и внутрь, соответственно. Повторно выражая это через координату $r$ дает

$dr=\left(\pm 1-{\sqrt {r_{s} \over r}}\right)d\tau$

Обратите внимание, что $dr<0$ когда $r<r_{s}$. Это интерпретируется как утверждение, что ни один сигнал не может выйти изнутри радиуса Шварцшильда, при этом световые лучи, испускаемые радиально либо внутрь, либо наружу, оба в конечном итоге оказываются в начале координат как собственное время. $\tau$ увеличивается.

Координатная карта Леметра не является геодезически полной . В этом можно убедиться, проследив движущиеся наружу радиальные нулевые геодезические назад во времени. Геодезические, движущиеся наружу, соответствуют знаку плюс в приведенном выше примере. Выбор отправной точки $r>r_{s}$ в $\tau =0$, приведенное выше уравнение интегрируется до $r\to +\infty$ как $\tau \to +\infty$. Возвращаясь назад в нужное время, мы имеем $r\to r_{s}$ как $\tau \to -\infty$. Начиная с $r<r_{s}$ и, интегрируя вперед, приходим к $r=0$ в конечное собственное время. Возвращаясь назад, мы снова видим, что $r\to r_{s}$ как $\tau \to -\infty$. Таким образом, можно сделать вывод, что, хотя метрика невырождена в точке $r=r_{s}$, все бегущие наружу геодезические распространяются на $r=r_{s}$ как $\tau \to -\infty$.

См. также

• Координаты Крускал-Секереш
• Координаты Эддингтона – Финкельштейна
• Метрика Леметра – Толмана
• Введение в математику общей теории относительности
• Тензор энергии-напряжения
• Метрический тензор (общая теория относительности)
• Релятивистский угловой момент