Синхронный кадр

Синхронная система отсчета — это система отсчета, в которой временная координата определяет собственное время для всех сопутствующих наблюдателей. Он строится путем выбора некоторой гиперповерхности в качестве начала координат с постоянным временем, такой, что в каждой точке есть нормаль вдоль линии времени, и можно построить световой конус с вершиной в этой точке; все интервальные элементы на этой гиперповерхности пространственноподобны . Семейство геодезических, нормальных к этой гиперповерхности, чертится и определяется как временные координаты с началом на гиперповерхности. С точки зрения компонент метрического тензора $g_{ik}$, синхронный кадр определяется так, что

$g_{00}=1,\quad g_{0\alpha }=0$

где $\alpha =1,2,3.$ Такая конструкция и, следовательно, выбор синхронного кадра всегда возможны, хотя и не уникальны. Он допускает любое преобразование координат пространства, не зависящее от времени, а также преобразование, вызванное произвольным выбором гиперповерхности, используемой для этой геометрической конструкции.

Синхронизация в произвольной системе отсчета

Синхронизация часов, расположенных в разных точках пространства, означает, что события, происходящие в разных местах, можно считать одновременными, если эти часы показывают одинаковое время. В специальной теории относительности элемент пространственного расстояния dl определяется как интервалы между двумя очень близкими событиями, происходящими в один и тот же момент времени. В общей теории относительности этого сделать нельзя, то есть нельзя определить dl , просто подставив dt ≡ dx ⁰ = 0 в метрике . Причиной этого является различная зависимость между собственным временем $\tau$ и временная координата x ⁰ ≡ t в разных точках пространства, т. е. $cd\tau ={\sqrt {g_{00}}}dx^{0}.$

Рисунок 1. Синхронизация часов в искривленном пространстве посредством световых сигналов.

Для нахождения dl в этом случае время можно синхронизировать по двум бесконечно малым соседним точкам следующим образом (рис. 1): Боб посылает световой сигнал из некоторой точки пространства B с координатами $x^{\alpha }+dx^{\alpha }$ Алисе, которая находится очень близко к точке A с координатами x ^а а затем Алиса немедленно отражает сигнал обратно Бобу. Время, необходимое для этой операции (измеренное Бобом), умноженное на c , очевидно, равно удвоенному расстоянию между Алисой и Бобом.

Линейный элемент с разделенными пространственными и временными координатами:

$ds^{2}=g_{\alpha \beta }\,dx^{\alpha }\,dx^{\beta }+2g_{0\alpha }\,dx^{0}\,dx^{\alpha }+g_{00}\left(dx^{0}\right)^{2},$ ( уравнение 1 )

где повторяющийся греческий индекс внутри терма означает суммирование по значениям 1, 2, 3. Интервал между событиями прихода сигнала и его немедленным отражением обратно в точку А равен нулю (два события, приход и отражение происходят в одной и той же точке в пространство и время). Для световых сигналов пространственно-временной интервал равен нулю и, таким образом, установка $ds=0$ в приведенном выше уравнении мы можем найти dx ⁰ получение двух корней:

$dx^{0(1)}={\frac {1}{g_{00}}}\left(-g_{0\alpha }\,dx^{\alpha }-{\sqrt {\left(g_{0\alpha }g_{0\beta }-g_{\alpha \beta }g_{00}\right)\,dx^{\alpha }\,dx^{\beta }}}\right),$

$dx^{0(2)}={\frac {1}{g_{00}}}\left(-g_{0\alpha }\,dx^{\alpha }+{\sqrt {\left(g_{0\alpha }g_{0\beta }-g_{\alpha \beta }g_{00}\right)\,dx^{\alpha }\,dx^{\beta }}}\right),$ ( уравнение 2 )

которые соответствуют распространению сигнала в обоих направлениях между Алисой и Бобом. Если х ⁰ – момент прихода/отражения сигнала к/от Алисы в часах Боба, тогда моменты ухода сигнала от Боба и его прихода обратно к Бобу соответствуют соответственно x ⁰ + дх ^{0 (1)} и х ⁰ + дх ^{0 (2)} . Толстые линии на рис. 1 — мировые линии Алисы и Боба с координатами x ^а и х ^а + дх ^а , соответственно, а красные линии — мировые линии сигналов. Рис. 1 предполагает, что dx ^{0 (2)} положителен и dx ^{0 (1)} отрицательно, что, однако, не обязательно так: dx ^{0 (1)} и ДХ ^{0 (2)} может иметь тот же знак. Тот факт, что в последнем случае значение x ⁰ (Алисы) в момент прихода сигнала в позицию Алисы может быть меньше значения x ⁰ (Боб) в момент отправления сигнала от Боба не содержит противоречия, поскольку часы в разных точках пространства не должны быть синхронизированы. Понятно, что полный «временной» интервал между отправлением и приходом сигнала в месте Боба равен

$dx^{0(2)}-dx^{0(1)}={\frac {2}{g_{00}}}{\sqrt {\left(g_{0\alpha }g_{0\beta }-g_{\alpha \beta }g_{00}\right)\,dx^{\alpha }\,dx^{\beta }}}.$

Соответствующий собственный интервал времени получается из приведенного выше соотношения путем умножения на ${\sqrt {g_{00}}}/c$, а расстояние dl между двумя точками – дополнительным умножением на c /2. Как результат:

$dl^{2}=\left(-g_{\alpha \beta }+{\frac {g_{0\alpha }g_{0\beta }}{g_{00}}}\right)\,dx^{\alpha }\,dx^{\beta }.$ ( уравнение 3 )

Это необходимое соотношение, определяющее расстояние через элементы пространственных координат.

Очевидно, что такая синхронизация должна осуществляться путем обмена световыми сигналами между точками. Рассмотрим снова распространение сигналов между бесконечно близкими точками А и В на рис. 1. Показание часов в В , одновременное с моментом отражения в А, лежит посередине между моментами отправки и приема сигнала в В ; в этот момент, если часы Алисы показывают y ⁰ и часы Боба показывают х ⁰ затем через условие синхронизации Эйнштейна ,

$y^{0}={\frac {(x^{0}+dx^{0(1)})+(x^{0}+dx^{0(2)})}{2}}=x^{0}+{\tfrac {1}{2}}\left(dx^{0(2)}+dx^{0(1)}\right)=x^{0}+\Delta x^{0}.$

Подставьте сюда уравнение. 2 найти разницу во «времени» x ⁰ между двумя одновременными событиями, происходящими в бесконечно близких точках, как

$\Delta x^{0}=-{\frac {g_{0\alpha }\,dx^{\alpha }}{g_{00}}}\equiv g_{\alpha }\,dx^{\alpha }.$ ( уравнение 4 )

Эта связь позволяет синхронизировать часы в любом бесконечно малом пространстве. Продолжая такую ​​синхронизацию дальше от точки А , можно синхронизировать часы, то есть определить одновременность событий по любой разомкнутой линии. Условие синхронизации можно записать в другой форме, умножив уравнение. 4 по g ₀₀ и переносим слагаемые в левую часть

$\Delta x_{0}=g_{0i}dx^{i}=0$ ( уравнение 5 )

или «ковариантный дифференциал» dx ₀ между двумя бесконечно близкими точками должен быть равен нулю.

Однако синхронизировать часы по замкнутому контуру, вообще говоря, невозможно: стартовав по контуру и вернувшись в исходную точку, можно было бы получить Δ x ⁰ значение, отличное от нуля. Таким образом, однозначная синхронизация часов по всему пространству невозможна. Исключением являются системы отсчета, в которых все компоненты g _0α являются нулями.

Невозможность синхронизировать все часы — это свойство системы отсчета, а не самого пространства-времени. В любом гравитационном поле всегда можно бесконечно многими способами выбрать систему отсчета так, чтобы три g0α _{стали равными нулю и тем самым обеспечили полную синхронизацию} часов. К этому классу относятся случаи, когда g _0α можно обнулить простым изменением временной координаты, не требующим выбора системы объектов, определяющих пространственные координаты.

В специальной теории относительности также собственное время течет по-разному для часов, движущихся относительно друг друга. В общей теории относительности собственное время различно даже в одной и той же системе отсчета в разных точках пространства. Это означает, что интервал собственного времени между двумя событиями, происходящими в одной точке пространства, и интервал времени между событиями, одновременными с событиями в другой точке пространства, вообще говоря, различны.

Пример: Равномерно вращающаяся рама

Рассмотрим неподвижную (инерциальную) систему координат, выраженную в цилиндрических координатах. $r'\,\phi ',\,z'$ и время $t'$. Интервал в этом кадре определяется выражением $ds^{2}=c^{2}dt'^{2}-dr'^{2}-r'^{2}d\phi '^{2}-dz'^{2}.$ Преобразование в равномерно вращающуюся систему координат. $(r,\phi ,z)$ используя отношение $x^{0}/c=t=t',\,x^{1}=r=r',\,x^{2}=\phi =\phi '-\Omega t',\,x^{3}=z=z'$ изменяет интервал на

$ds^{2}=(c^{2}-\Omega ^{2}r^{2})dt^{2}-2\Omega r^{2}d\phi dt-dr^{2}-r^{2}d\phi ^{2}-dz^{2}.$

Конечно, вращающаяся рамка справедлива только для $r<c/\Omega$ поскольку за пределами этого радиального местоположения скорость кадра будет превышать скорость света. Ненулевые компоненты метрического тензора: $g_{00}=1-\Omega ^{2}r^{2}/c^{2},$ $g_{02}=-2\Omega r^{2}/c,$ $g_{11}=-1,$ $g_{22}=-r^{2}$ и $g_{33}=-1.$ Вдоль любой разомкнутой кривой соотношение

$\Delta x^{0}=-{\frac {g_{0\alpha }}{g_{00}}}dx^{\alpha }={\frac {\Omega r^{2}/c}{1-\Omega ^{2}r^{2}/c^{2}}}d\phi$

можно использовать для синхронизации часов. Однако на любой замкнутой кривой синхронизация невозможна, поскольку

$\oint \Delta x^{0}=\oint {\frac {d\phi \Omega r^{2}/c}{1-\Omega ^{2}r^{2}/c^{2}}}\neq 0.$

Например, когда $\Omega r/c\ll 1$, у нас есть

$\oint \Delta x^{0}={\frac {\Omega }{c}}\oint r^{2}d\phi =\pm {\frac {2\Omega }{c}}S$

где $S$ — площадь проекции замкнутой кривой на плоскость, перпендикулярную оси вращения (знак плюс или минус соответствует перемещению контура в направлении вращения или противоположно ему).

Собственный элемент времени во вращающейся системе отсчета определяется выражением

$d\tau ={\sqrt {1-\Omega ^{2}r^{2}/c^{2}}}dt={\sqrt {1-\Omega ^{2}r^{2}/c^{2}}}d\tau _{\mathrm {axis} }$

указывая на то, что время замедляется по мере удаления от оси. Аналогичным образом можно вычислить пространственный элемент, чтобы найти

$dl=\left[dr^{2}+{\frac {r^{2}d\phi ^{2}}{1-\Omega ^{2}r^{2}/c^{2}}}+dz^{2}\right]^{1/2}.$

При фиксированной стоимости $r$ и $z$, пространственный элемент $dl=(1-\Omega ^{2}r^{2}/c^{2})^{-1/2}rd\phi$ которое после интегрирования по полному кругу показывает, что отношение длины окружности к ее радиусу определяется выражением

${\frac {2\pi }{\sqrt {1-\Omega ^{2}r^{2}/c^{2}}}}$

что больше, чем на $2\pi$.

Пространственный метрический тензор

уравнение 3 можно переписать в виде

$dl^{2}=\gamma _{\alpha \beta }\,dx^{\alpha }\,dx^{\beta },$ ( уравнение 6 )

где

$\gamma _{\alpha \beta }=-g_{\alpha \beta }+{\frac {g_{0\alpha }g_{0\beta }}{g_{00}}}$ ( уравнение 7 )

— трехмерный метрический тензор, определяющий метрику, то есть геометрические свойства пространства. Уравнения ​7 дают связи между метрикой трехмерного пространства $\gamma _{\alpha \beta }$ и метрика четырехмерного пространства-времени $g_{ik}$.

В целом, однако, $g_{ik}$ зависит от х ⁰ так что $\gamma _{\alpha \beta }$ меняется со временем. не имеет смысла Поэтому интегрировать dl : этот интеграл зависит от выбора мировой линии между двумя точками, по которым он берется. Отсюда следует, что в общей теории относительности расстояние между двумя телами вообще невозможно определить; это расстояние определяется только для бесконечно близких точек. Расстояние можно определить для конечных областей пространства только в таких системах отсчета, в которых g _ik не зависит от времени и, следовательно, интеграл ${\textstyle \int dl}$ вдоль пространственной кривой приобретает определенный смысл.

Тензор $-\gamma _{\alpha \beta }$ является обратным контравариантному трехмерному тензору $g^{\alpha \beta }$. Действительно, записывая уравнение $g^{ik}g_{kl}=\delta _{l}^{i}$ в компонентах имеем:

$g^{\alpha \beta }g_{\beta \gamma }+g^{\alpha 0}g_{0\gamma }=\delta _{\gamma }^{\alpha },$

$g^{\alpha \beta }g_{\beta 0}+g^{\alpha 0}g_{00}=0,$ ( уравнения 8 )

$g^{0\beta }g_{\beta 0}+g^{00}g_{00}=1.$

Определение $g^{\alpha 0}$ из второго уравнения и подстановка его в первое доказывает, что

$-g^{\alpha \beta }\gamma _{\beta \gamma }=\delta _{\gamma }^{\alpha },$ ( уравнение 9 )

Этот результат можно представить иначе, сказав, что $g^{\alpha \beta }$ являются компонентами контравариантного трехмерного тензора, соответствующего метрике $\gamma ^{\alpha \beta }$:

$\gamma ^{\alpha \beta }=-g^{\alpha \beta }.$ ( уравнение 10 )

Определители g и $\gamma$ состоит из элементов $g_{ik}$ и $\gamma _{\alpha \beta }$соответственно, связаны друг с другом простым соотношением:

$-g=g_{00}\gamma .$ ( уравнение 11 )

Во многих приложениях удобно определить трехмерный вектор g с ковариантными компонентами

$g_{\alpha }=-{\frac {g_{0\alpha }}{g_{00}}}.$ ( уравнение 12 )

Рассматривая g как вектор в пространстве с метрикой $\gamma _{\alpha \beta }$, его контравариантные компоненты можно записать как $g^{\alpha }=\gamma ^{\alpha \beta }g_{\beta }$. Используя уравнение. 11 и второе из уравнений. 8 , это легко увидеть.

$g^{\alpha }=\gamma ^{\alpha \beta }g_{\beta }=-g^{0\alpha }.$ ( уравнение 13 )

Из третьего из ур. 8 , следует

$g^{00}={\frac {1}{g_{00}}}-g_{\alpha }g^{\alpha }.$ ( уравнение 14 )

Синхронные координаты

Как следует из уравнения. 5 , условием, которое обеспечивает синхронизацию часов в различных точках пространства, является то, что компоненты g _0α метрического тензора равны нулю. Если при этом g ₀₀ = 1, то временная координата x ⁰ = t — собственное время в каждой точке пространства (при c = 1). Система отсчета, удовлетворяющая условиям

$g_{00}=1,\quad g_{0\alpha }=0,$ ( уравнение 15 )

называется синхронным кадром . Интервальный элемент в этой системе задается выражением

$ds^{2}=dt^{2}-g_{\alpha \beta }\,dx^{\alpha }\,dx^{\beta },$ ( уравнение 16 )

с компонентами пространственного метрического тензора, идентичными (с противоположным знаком) компонентам g _αβ :

$\gamma _{\alpha \beta }=-g_{\alpha \beta }.$ ( уравнение 17 )

Рис. 2. Синхронный кадр, построенный с выбором времениподобной гиперповерхности t = const (бирюзовый цвет). Только одна пространственная координата x ¹ = x отображается. Четыре наблюдателя имеют одинаковые собственные времена x ⁰ = t , которые нормальны к гиперповерхности в их локально плоском пространстве-времени (показаны световыми конусами ). Единичный вектор n ⁰ = ты ⁰ = 1 показано желтым цветом. Компоненты пространственной скорости отсутствуют ( u ^а = 0), поэтому общее собственное время представляет собой геодезическую линию с началом на гиперповерхности и положительным направлением (красные стрелки).

В синхронном кадре временные линии нормальны к гиперповерхностям t = const. Действительно, единичный четырехвектор, нормальный к такой гиперповерхности n _i = ∂ t /∂ x ^я имеет ковариантные компоненты n _α = 0, n ₀ = 1. Соответствующие контравариантные компоненты с условиями (урав. 1). 15 снова n ^а = 0, н ⁰ = 1.

Компоненты единичной нормали совпадают с компонентами четырехвектора u ^я = dx ^я /ds, касательная к мировой линии x ¹ , х ² , х ³ = константа. Ты ​ ^я с компонентами u ^а = 0, в ⁰ = 1 автоматически удовлетворяет уравнениям геодезических :

${\frac {du^{i}}{ds}}+\Gamma _{kl}^{i}u^{k}u^{l}=\Gamma _{00}^{i}=0,$

поскольку из условий уравн. 15 , символы Кристоффеля $\Gamma _{00}^{\alpha }$ и $\Gamma _{00}^{0}$ исчезают одинаково. Следовательно, в синхронной системе отсчета линии времени являются геодезическими в пространстве-времени.

Эти свойства можно использовать для построения синхронного кадра в любом пространстве-времени (рис. 2). Для этого выберем в качестве начала координат некоторую пространственноподобную гиперповерхность , такую, которая в каждой точке имеет нормаль к линии времени (лежит внутри светового конуса с вершиной в этой точке); все интервальные элементы на этой гиперповерхности пространственноподобны. Затем нарисуйте семейство геодезических, нормальных к этой гиперповерхности. Выберите эти линии в качестве линий временных координат и определите временную координату t как длину s геодезической, измеренную с началом на гиперповерхности; результатом является синхронный кадр.

Аналитическое преобразование к синхронной системе отсчета можно выполнить с использованием уравнения Гамильтона – Якоби . Принцип этого метода основан на том, что траектории частиц в гравитационных полях являются геодезическими. Уравнение Гамильтона–Якоби для частицы (масса которой принята равной единице) в гравитационном поле имеет вид

$g^{ik}{\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial S}{\partial x^{k}}}=1,$ ( уравнение 18а )

где S — действие. Его полный интеграл имеет вид:

$S=f\left(\xi ^{\alpha },x^{i}\right)+A\left(\xi ^{\alpha }\right),$ ( уравнение 18b )

Обратите внимание, что полный интеграл содержит столько произвольных констант, сколько независимых переменных, что в нашем случае равно $4$. В приведенном выше уравнении они соответствуют трем параметрам ξ ^а а четвертая константа A рассматривается как произвольная функция трех ξ ^а . При таком представлении для S уравнения траектории частицы можно получить, приравнивая производные ∂S / ∂ξ ^а до нуля, т.е.

${\frac {\partial f}{\partial \xi ^{\alpha }}}=-{\frac {\partial A}{\partial \xi ^{\alpha }}}.$ ( уравнение 18c )

Для каждого набора присвоенных значений параметров ξ ^а , правые части уравнений 18а-18в имеют определенные постоянные значения, а определяемая этими уравнениями мировая линия является одной из возможных траекторий частицы. Выбирая величины ξ ^а , постоянные вдоль траектории, как новые пространственные координаты, и величину S как новую временную координату, получается синхронный кадр; преобразование старых координат в новые задается уравнениями 18б-18в . Фактически гарантируется, что при таком преобразовании линии времени будут геодезическими и будут нормальны к гиперповерхностям S = const. Последний момент очевиден из механической аналогии: четырехвектор ∂S / ∂x ^я которая нормальна к гиперповерхности, совпадает в механике с четырехимпульсом частицы, а значит, совпадает по направлению с ее четырехскоростью u ^я т.е. с четырехвекторной касательной к траектории. Наконец, условие g ₀₀ = 1 очевидно выполнено, так как производная − dS / ds действия вдоль траектории есть масса частицы, которая была принята равной 1; поэтому | дС / дс | = 1.

Калибровочные условия, уравнение. 15 не фиксируют систему координат полностью и поэтому не являются фиксированной калибровкой , как и пространственноподобная гиперповерхность в $t=0$ можно выбирать произвольно. По-прежнему сохраняется свобода выполнения некоторых преобразований координат, содержащих четыре произвольные функции, зависящие от трех пространственных переменных x. ^а , которые легко вычисляются в бесконечно малой форме:

$x^{i}={\tilde {x}}^{i}+\xi ^{i}({\tilde {x}}).$ ( уравнение 18 )

Здесь наборы четырех старых координат ( t , x ^а ) и четыре новые координаты $({\tilde {t}},{\tilde {x}}^{\alpha })$ обозначаются символами x и ${\tilde {x}}$, соответственно. Функции $\xi ^{i}({\tilde {x}})$ вместе со своими первыми производными представляют собой бесконечно малые величины. После такого преобразования четырехмерный интервал принимает вид:

$ds^{2}=g_{ik}(x)dx^{i}dx^{k}=g_{ik}^{\text{(new)}}({\tilde {x}})d{\tilde {x}}^{i}d{\tilde {x}}^{k},$ ( уравнение 19 )

где

$g_{ik}^{\text{(new)}}({\tilde {x}})=g_{ik}({\tilde {x}})+g_{il}({\tilde {x}}){\frac {\partial \xi ^{l}({\tilde {x}})}{\partial {\tilde {x}}^{k}}}+g_{kl}({\tilde {x}}){\frac {\partial \xi ^{l}({\tilde {x}})}{\partial {\tilde {x}}^{i}}}+{\frac {\partial g_{ik}({\tilde {x}})}{\partial {\tilde {x}}^{l}}}\xi ^{l}({\tilde {x}}).$ ( уравнение 20 )

В последней формуле $g_{ik}({\tilde {x}})$ — это те же функции g _ik ( x ), в которых x следует просто заменить на ${\tilde {x}}$. Если кто-то хочет сохранить калибровочное уравнение. 15 также для нового метрического тензора $g_{ik}^{\text{(new)}}({\tilde {x}})$ в новых координатах ${\tilde {x}}$, необходимо наложить следующие ограничения на функции $\xi ^{i}({\acute {x}})$:

${\frac {\partial \xi ^{0}({\tilde {x}})}{\partial {\tilde {x}}}}=0,\quad g_{\alpha \beta }({\tilde {x}}){\frac {\partial \xi ^{\beta }({\tilde {x}})}{\partial {\tilde {t}}}}-{\frac {\partial \xi ^{0}({\tilde {x}})}{\partial {\tilde {x}}^{\alpha }}}=0.$ ( уравнение 21 )

Решениями этих уравнений являются:

$\xi ^{0}=f^{0}\left({\tilde {x}}^{1},{\tilde {x}}^{2},{\tilde {x}}^{3}\right),\quad \xi ^{\alpha }=\int {g^{\alpha \beta }({\tilde {x}}){\frac {\partial f^{0}\left({\tilde {x}}^{1},{\tilde {x}}^{2},{\tilde {x}}^{3}\right)}{\partial {\tilde {x}}^{\beta }}}d{\tilde {x}}^{0}}+f^{\alpha }\left({\tilde {x}}^{1},{\tilde {x}}^{2},{\tilde {x}}^{3}\right),$ ( уравнение 22 )

где f ⁰ и ж ^а — четыре произвольные функции, зависящие только от пространственных координат ${\tilde {x}}^{\alpha }$.

Для более элементарного геометрического объяснения рассмотрим рис. 2. Во-первых, синхронная временная линия ξ ⁰ = t может быть выбран произвольно (Боб, Кэрол, Дана или любой из бесконечного числа наблюдателей). Это создает одну произвольно выбранную функцию: $\xi ^{0}=f^{0}\left({\tilde {x}}^{1},{\tilde {x}}^{2},{\tilde {x}}^{3}\right)$. Во-вторых, исходную гиперповерхность можно выбрать бесконечным множеством способов. Каждый из этих вариантов меняет три функции: по одной функции для каждой из трех пространственных координат. $\xi ^{\alpha }=f^{\alpha }\left({\tilde {x}}^{1},{\tilde {x}}^{2},{\tilde {x}}^{3}\right)$. Всего четыре (= 1 + 3) функции произвольны.

При обсуждении общих решений g _αβ уравнений поля в синхронных калибровках необходимо иметь в виду, что гравитационные потенциалы g _αβ содержат среди всех возможных произвольных функциональных параметров, присутствующих в них, четыре произвольные функции 3-пространства, как раз представляющие калибровку свобода и поэтому не имеет прямого физического значения.

Другая проблема с синхронной системой координат заключается в том, что могут возникать каустики , которые приводят к сбою выбора калибра. Эти проблемы вызвали некоторые трудности при разработке космологической теории возмущений в синхронной системе отсчета, но сейчас эти проблемы хорошо изучены. Синхронные координаты обычно считаются наиболее эффективной системой отсчета для проведения вычислений и используются во многих современных космологических программах, таких как CMBFAST . Они также полезны для решения теоретических задач, в которых необходимо зафиксировать пространственноподобную гиперповерхность, например, с пространственноподобными сингулярностями .

Уравнения Эйнштейна в синхронной системе отсчёта

Введение синхронной системы отсчета позволяет разделить операции пространственного и временного дифференцирования в уравнениях поля Эйнштейна . Чтобы сделать их более краткими, используются обозначения

$\varkappa _{\alpha \beta }={\frac {\partial \gamma _{\alpha \beta }}{\partial t}}$ ( уравнение 23 )

вводится для производных по времени трехмерного метрического тензора; эти величины также образуют трехмерный тензор. В синхронном кадре $\varkappa _{\alpha \beta }$ пропорционален второй фундаментальной форме (тензору формы). Все операции сдвига индексов и ковариантного дифференцирования тензора $\varkappa _{\alpha \beta }$ выполняются в трехмерном пространстве с метрикой γ _αβ . Это не относится к операциям сдвига индексов в пространственных компонентах четырехтензоров R _ik , T _ik . Таким образом, T _α ^б следует понимать как г ^Выход Т _га + г ^{б 0} T _{0 α} , что сводится к g ^Выход T _γα и отличается знаком от γ ^Выход Т _γα . Сумма $\varkappa _{\alpha }^{\alpha }$ — логарифмическая производная определителя γ ≡ | γ _αβ | = − г :

$\varkappa _{\alpha }^{\alpha }=\gamma ^{\alpha \beta }{\frac {\partial \gamma _{\alpha \beta }}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\ln {(\gamma )}.$ ( уравнение 24 )

Тогда для полного набора символов Кристоффеля $\Gamma _{kl}^{i}$ получается:

$\Gamma _{00}^{0}=\Gamma _{00}^{\alpha }=\Gamma _{0\alpha }^{0}=0,\quad \Gamma _{\alpha \beta }^{0}={\frac {1}{2}}\varkappa _{\alpha \beta },\quad \Gamma _{0\beta }^{\alpha }={\frac {1}{2}}\varkappa _{\beta }^{\alpha },\quad \Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }=\lambda _{\alpha \beta }^{\gamma }$ ( уравнение 25 )

где $\lambda _{\alpha \beta }^{\gamma }$ являются трехмерными символами Кристоффеля, построенными из γ _αβ :

$\lambda _{\alpha \beta }^{\gamma }={\frac {1}{2}}\gamma ^{\gamma \mu }\left(\gamma _{\mu \alpha ,\beta }+\gamma _{\mu \beta ,\beta }-\gamma _{\alpha \beta ,\mu }\right),$ ( уравнение 26 )

где запятая обозначает частную производную по соответствующей координате.

С символами Кристоффеля (ур. 25 , компоненты R ^я _k = g ^ilR _lk тензора Риччи можно записать в виде:

$R_{0}^{0}=-{\frac {1}{2}}{\dot {\varkappa }}-{\frac {1}{4}}\varkappa _{\alpha }^{\beta }\varkappa _{\beta }^{\alpha },$ ( уравнение 27 )

$R_{\alpha }^{0}={\frac {1}{2}}\left(\varkappa _{\alpha ;\beta }^{\beta }-\varkappa _{,\alpha }\right),$ ( уравнение 28 )

$R_{\alpha }^{\beta }=-{\frac {1}{2{\sqrt {\gamma }}}}{\dot {\left({\sqrt {\gamma }}\varkappa _{\alpha }^{\beta }\right)}}-P_{\alpha }^{\beta }.$ ( уравнение 29 )

Точки сверху обозначают дифференцирование по времени, точки с запятой (";") обозначают ковариантное дифференцирование, которое в данном случае проводится по трехмерной метрике γ _αβ с трехмерными символами Кристоффеля. $\lambda _{\alpha \beta }^{\gamma }$, $\varkappa \equiv \varkappa _{\alpha }^{\alpha }$, и P _α ^б представляет собой трехмерный тензор Риччи, построенный из $\lambda _{\alpha \beta }^{\gamma }$:

$P_{\alpha }^{\beta }=\gamma ^{\beta \gamma }P_{\gamma \alpha },\quad P_{\alpha \beta }=\lambda _{\alpha \beta ,\gamma }^{\gamma }-\lambda _{\gamma \alpha ,\beta }^{\gamma }+\lambda _{\alpha \beta }^{\gamma }\lambda _{\gamma \mu }^{\mu }-\lambda _{\alpha \mu }^{\gamma }\lambda _{\beta \gamma }^{\mu }.$ ( уравнение 30 )

Это следует из уравнения. 27–29, что уравнения Эйнштейна $R_{i}^{k}=8\pi k\left(T_{i}^{k}-{\frac {1}{2}}\delta _{i}^{k}T\right)$ (с компонентами тензора энергии-импульса T ₀ ⁰ = - Т ₀₀ , Т _а ⁰ знак равно - Т _0а , Т _а ^б = с ^Выход T _γα ) попадают в синхронный кадр:

$R_{0}^{0}=-{\frac {1}{2}}{\dot {\varkappa }}-{\frac {1}{4}}\varkappa _{\alpha }^{\beta }\varkappa _{\beta }^{\alpha }=8\pi k\left(T_{0}^{0}-{\frac {1}{2}}T\right),$ ( уравнение 31 )

$R_{\alpha }^{0}={\frac {1}{2}}\left(\varkappa _{\alpha ;\beta }^{\beta }-\varkappa _{,\alpha }\right)=8\pi kT_{\alpha }^{0},$ ( уравнение 32 )

$R_{\alpha }^{\beta }=-{\frac {1}{2{\sqrt {\gamma }}}}{\dot {\left({\sqrt {\gamma }}\varkappa _{\alpha }^{\beta }\right)}}-P_{\alpha }^{\beta }=8\pi k\left(T_{\alpha }^{\beta }-{\frac {1}{2}}\delta _{\alpha }^{\beta }T\right).$ ( уравнение 33 )

Характерной особенностью синхронной системы отсчета является то, что она нестационарна: гравитационное поле в такой системе не может быть постоянным. В постоянном поле $\varkappa _{\alpha \beta }$ стал бы нулевым. Но при наличии материи исчезновение всего $\varkappa _{\alpha \beta }$ противоречило бы уравнению. 31 (правая часть которого отлична от нуля). В пустом пространстве из уравнения. 33 следует, что все P _αβ , а вместе с ними и все компоненты трехмерного тензора кривизны P _αβγδ ( тензора Римана ) обращаются в нуль, т. е. поле исчезает полностью (в синхронной системе отсчета с евклидовой пространственной метрикой пространство-время плоское) .

В то же время материя, заполняющая пространство, вообще не может находиться в покое относительно синхронной системы отсчета. Это очевидно из того, что частицы материи, внутри которых существуют давления, обычно движутся по линиям, не являющимся геодезическими; мировая линия покоящейся частицы представляет собой линию времени и, следовательно, является геодезической в ​​синхронной системе отсчета. Исключением является случай пыли ( p = 0). Здесь частицы, взаимодействующие друг с другом, будут двигаться вдоль геодезических линий; следовательно, в этом случае условие синхронности кадра не противоречит условию его сопровождения материи. Даже в этом случае, чтобы можно было выбрать синхронно движущуюся систему отсчета , все равно необходимо, чтобы материя двигалась без вращения. В сопутствующей системе контравариантные компоненты скорости равны u ⁰ = 1, в ^а = 0. Если система отсчета также синхронна, ковариантные компоненты должны удовлетворять условиям u ₀ = 1, u _α = 0, так что ее четырехмерный ротор должен исчезнуть:

$u_{i;k}-u_{k;i}\equiv {\frac {\partial u_{i}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial u_{k}}{\partial x^{i}}}=0.$

Но тогда это тензорное уравнение должно быть справедливым и в любой другой системе отсчета. условие ротор v = 0 для трехмерной скорости v Таким образом, в синхронной, но не сопутствующей системе отсчета дополнительно необходимо . Для других уравнений состояния подобная ситуация может возникнуть лишь в особых случаях, когда градиент давления обращается в нуль во всех или в определенных направлениях.

Сингулярность в синхронной системе отсчета

Использование синхронной системы отсчета в космологических задачах требует тщательного изучения ее асимптотического поведения. В частности, необходимо знать, можно ли расширить синхронную систему отсчета до бесконечного времени и бесконечного пространства, всегда сохраняя однозначную маркировку каждой точки в терминах координат в этой системе отсчета.

Показано , что однозначная синхронизация часов по всему пространству невозможна из-за невозможности синхронизации часов по замкнутому контуру. Что касается синхронизации в бесконечном времени, то сначала напомним, что временные линии всех наблюдателей нормальны к выбранной гиперповерхности и в этом смысле «параллельны». Традиционно понятие параллелизма определяется в евклидовой геометрии как означающее прямые линии, которые всюду равноудалены друг от друга, но в произвольных геометриях это понятие может быть расширено до обозначения линий, которые являются геодезическими . Показано , что временные линии являются геодезическими в синхронной системе отсчета. Другое, более удобное для настоящей цели определение параллельных прямых — это линии, у которых все точки или ни одна из них не являются общими. Исключив случай, когда все точки являются общими (очевидно, это одна и та же прямая), мы приходим к определению параллелизма, при котором никакие две временные линии не имеют общей точки.

Поскольку временные линии в синхронной системе отсчета являются геодезическими, эти линии прямые (путь света) для всех наблюдателей на порождающей гиперповерхности. Пространственная метрика

$dl^{2}=\gamma _{\alpha \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta }$.

Определитель $\gamma$ метрического тензора является абсолютным значением тройного произведения векторов-строок в матрице $\gamma _{\alpha \beta }$ который также является объемом параллелепипеда , натянутого на векторы ${\vec {\gamma }}_{1}$, ${\vec {\gamma }}_{2}$, и ${\vec {\gamma }}_{3}$ (т. е. параллелепипед, смежными сторонами которого являются векторы ${\vec {\gamma }}_{1}$, ${\vec {\gamma }}_{2}$, и ${\vec {\gamma }}_{3}$).

$\gamma =|{\vec {\gamma }}_{1}\cdot ({\vec {\gamma }}_{2}\times {\vec {\gamma }}_{3})|={\begin{vmatrix}\gamma _{11}&\gamma _{12}&\gamma _{13}\\\gamma _{21}&\gamma _{22}&\gamma _{23}\\\gamma _{31}&\gamma _{32}&\gamma _{33}\end{vmatrix}}=V_{\text{parallelepiped}}$

Если $\gamma$ обращается в ноль, то объем этого параллелепипеда равен нулю. Это может произойти, когда один из векторов лежит в плоскости двух других векторов, так что объем параллелепипеда преобразуется в площадь основания (высота становится нулевой), или, более формально, когда два вектора линейно зависимы. Но тогда несколько точек (точек пересечения) можно пометить одинаково, то есть метрика имеет особенность.

Группа Ландау обнаружили, что синхронная система отсчета обязательно образует сингулярность времени, то есть временные линии пересекаются (и, соответственно, определитель метрического тензора обращается в ноль) за конечное время.

Это доказывается следующим образом. Правая часть уравнения. 31 , содержащий тензоры энергии-импульса вещества и электромагнитного поля,

$T_{i}^{k}=\left(p+\varepsilon \right)\times u_{i}u^{k}+p\delta _{i}^{k}$

является положительным числом из-за условия сильной энергии . Это легко увидеть при написании компонентов.

по делу

$T_{0}^{0}-{\frac {1}{2}}T={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon +3p\right)+{\frac {\left(p+\varepsilon \right)v^{2}}{1-v^{2}}}>0$

для электромагнитного поля

$T=0,\quad T_{0}^{0}={1 \over 2}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)>0$

Учитывая вышеизложенное, уравнение. 31 затем переписывается как неравенство

$-R_{0}^{0}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial t}}\varkappa _{\alpha }^{\alpha }+{\frac {1}{4}}\varkappa _{\alpha }^{\beta }\varkappa _{\beta }^{\alpha }\leq 0$ ( уравнение 34 )

с равенством, относящимся к пустому пространству.

Используя алгебраическое неравенство

$\varkappa _{\beta }^{\alpha }\varkappa _{\alpha }^{\beta }\geq {\frac {1}{3}}\left(\varkappa _{\alpha }^{\alpha }\right)^{2}$

экв. 34 становится

${\frac {\partial }{\partial t}}\varkappa _{\alpha }^{\alpha }+{\frac {1}{6}}\left(\varkappa _{\alpha }^{\alpha }\right)^{2}\leq 0$.

Разделив обе стороны на $\left(\varkappa _{\alpha }^{\alpha }\right)^{2}$ и используя равенство

${\frac {1}{\left(\varkappa _{\alpha }^{\alpha }\right)^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\varkappa _{\alpha }^{\alpha }=-{\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {1}{\varkappa _{\alpha }^{\alpha }}}$

приходим к неравенству

${\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {1}{\varkappa _{\alpha }^{\alpha }}}\geq {1 \over 6}$. ( уравнение 35 )

Пусть, например, $\varkappa _{\alpha }^{\alpha }>0$ в какой-то момент времени. Поскольку производная положительна, то соотношение ${\textstyle {\frac {1}{\varkappa _{\alpha }^{\alpha }}}}$ убывает с уменьшением времени, всегда имея конечную ненулевую производную и, следовательно, она должна стать нулевой, приходя с положительной стороны, за конечное время. Другими словами, $\varkappa _{\alpha }^{\alpha }$ становится $+\infty$, и потому что $\varkappa _{\alpha }^{\alpha }=\partial \ln \gamma /\partial t$, это означает, что определитель $\gamma$ обращается в ноль (согласно уравнению 35 не быстрее, чем $t^{6}$). Если, с другой стороны, $\varkappa _{\alpha }^{\alpha }<0$ первоначально то же самое справедливо и для увеличения времени.

Представление о пространстве в особенности можно получить, рассматривая диагонализированный метрический тензор. Диагонализация делает элементы $\gamma _{\alpha \beta }$ матрица всюду равна нулю, кроме главной диагонали, элементами которой являются три собственных значения $\lambda _{1},\lambda _{2}$ и $\lambda _{3}$; это три вещественных значения, когда дискриминант характеристического полинома больше или равен нулю, или одно вещественное и два комплексно-сопряженных значения, когда дискриминант меньше нуля. Тогда определитель $\gamma$ является просто произведением трех собственных значений. Если только одно из этих собственных значений становится нулевым, то весь определитель равен нулю. Пусть, например, действительное собственное значение обращается в ноль ( $\lambda _{1}=0$). Тогда диагонализованная матрица $\gamma _{\alpha \beta }$ становится матрицей 2 × 2 с (обычно комплексно сопряженными) собственными значениями $\lambda _{2},\lambda _{3}$ по главной диагонали. Но эта матрица представляет собой диагонализованный метрический тензор пространства, в котором $\gamma =0$; следовательно, из сказанного следует, что в особенности ( $\gamma =0$) пространство двумерно, когда только одно собственное значение обращается в ноль.

Геометрически диагонализация — это поворот базиса векторов, составляющих матрицу, таким образом, чтобы направление базисных векторов совпадало с направлением собственных векторов . Если $\gamma _{\alpha \beta }$ — действительная симметричная матрица , собственные векторы образуют ортонормированный базис, определяющий прямоугольный параллелепипед , длина, ширина и высота которого являются величинами трех собственных значений. Этот пример особенно показателен тем, что определитель $\gamma$ что тоже является объёмом параллелепипеда, равным длине × ширине × высоте, т. е. произведению собственных чисел. Если сделать объем параллелепипеда равным нулю, например, приравняв нулю высоту, останется только одна грань параллелепипеда, двумерное пространство, площадь которого равна длине × ширину. Продолжая стирание и приравнивая ширину к нулю, остается линия размером length, одномерное пространство. Дальнейшее приравнивание длины нулю оставляет только точку — 0-мерное пространство, отмечающее место, где находился параллелепипед.

Рисунок 3.

Аналогией из геометрической оптики является сравнение сингулярности с каустиками, такими как яркий рисунок на рис. 3, где показаны каустики, образованные стаканом воды, освещенным с правой стороны. Лучи света являются аналогом временных линий свободно падающих наблюдателей, локализованных на синхронизированной гиперповерхности. Судя по примерно параллельным сторонам контура тени, отбрасываемой стеклом, можно предположить, что источник света находится на практически бесконечном расстоянии от стекла (например, солнце), но это не точно, поскольку источник света не показан на рисунке. фотография. Таким образом, можно предположить, что световые лучи (линии времени) параллельны, но это не доказано с уверенностью. Стакан воды — это аналог уравнений Эйнштейна или стоящих за ними агентов, которые искривляют временные линии, образуя структуру каустики (сингулярность). Последняя не так проста, как грань параллелепипеда, а представляет собой сложную смесь различного рода пересечений. Можно выделить перекрытие двумерных, одно- или нульмерных пространств, т. е. переплетение поверхностей и линий, некоторые из которых сходятся к точке ( cusp ), например образование в виде наконечника стрелки в центре каустического узора.

Вывод о том, что времениподобные геодезические векторные поля неизбежно должны достичь сингулярности после конечного времени, был независимо достигнут Райчаудхури с помощью другого метода, который привел к уравнению Райчаудхури , которое также называется уравнением Ландау-Райчаудхури в честь обоих исследователей.

См. также

• Нормальные координаты
• Сравнение (общая теория относительности) для вывода кинематического разложения и уравнения Райчаудхури.

Библиография

• Ландау, Лев Д. ; Лифшиц, Евгений М. (1988). «§97. Синхронная система отсчета». поля Теория ​ . Курс теоретической физики (на русском языке). Том. 2 (Изд. 7., исп.). Москва: Наука, Глав. красный. физико-математической лит-ры. ISBN  5-02-014420-7 . OCLC   21793854 . (английский перевод: Ландау Л.Д. и Лифшиц Э.М. (2000). «#97. Синхронная система отсчета». Классическая теория полей . Оксфорд: Эльзевир Баттерворт Хайнеманн. ISBN  978-0-7506-2768-9 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) )
• Лифшиц Евгений Михайлович ; Судаков В.В.; Халатников, И. М. (1961). «Особенности космологических решений уравнений гравитации.III». ЖЭТФ . 40 : 1847 г .; Physical Review Letters , 6 , 311 (1961)
• Арнольд, В.И. (1989). Математические методы классической механики . Дипломные тексты по математике. Том. 60 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-96890-3 . OCLC   18681352 .

• Arnolʹd, V. I. (1996). Особенности каустик и волновых фронтов [ Singularities of caustics and wave fronts ]. Library of the Mathematician (in Russian). Vol. 1. Moscow: FAZIS. ISBN  5-7036-0021-9 . OCLC   43811626 .
• Кэрролл, Шон М. (2019). «Раздел 7.2». Пространство-время и геометрия: Введение в общую теорию относительности (1-е изд.). Сан-Франциско: Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/9781108770385 . ISBN  978-1-108-48839-6 . S2CID   126323605 .
• Ма, К.-П. и Берчингер, Э. (1995). «Космологическая теория возмущений в синхронной и конформной ньютоновской калибровке». Астрофизический журнал . 455 : 7–25. arXiv : astro-ph/9506072 . Бибкод : 1995ApJ...455....7M . дои : 10.1086/176550 . S2CID   14570491 .