Космологическая теория возмущений

См. также: формирование структуры , космическое микроволновое фоновое излучение , общая теория относительности и классическая механика.

В физической космологии — космологическая теория возмущений. — это теория, согласно которой эволюция структуры понимается в модели Большого взрыва . Космологическую теорию возмущений можно разделить на две категории: ньютоновскую и общую релятивистскую . В каждом случае используются свои основные уравнения для расчета сил гравитации и давления, которые вызывают рост небольших возмущений и в конечном итоге способствуют образованию звезд , квазаров , галактик и скоплений . Оба случая применимы только к ситуациям, когда Вселенная преимущественно однородна, например, во время космической инфляции и значительной части Большого взрыва. Считается, что Вселенная по-прежнему достаточно однородна, поэтому теория является хорошим приближением в самых крупных масштабах, но в меньших масштабах более сложные методы, такие как моделирование N-тел необходимо использовать . Решая, использовать ли общую теорию относительности для теории возмущений, обратите внимание, что ньютоновская физика применима только в некоторых случаях, например, для масштабов меньших, чем горизонт Хаббла, где пространство-время достаточно плоское и для которых скорости нерелятивистские.

Из-за калибровочной инвариантности правильная общей теории относительности формулировка космологической теории возмущений сложна.В частности, при описании неоднородного пространства-времени часто не существует предпочтительного выбора координат. В настоящее время существует два различных подхода к теории возмущений в классической общей теории относительности:

• калибровочно-инвариантная теория возмущений, основанная на расслоении пространства-времени на гиперповерхности, и
• 1+3-ковариантная калибровочно-инвариантная теория возмущений, основанная на нанизывании пространства-времени рамками.

Ньютоновская теория возмущений

В этом разделе мы сосредоточимся на влиянии вещества на формирование структуры в режиме гидродинамической жидкости . Этот режим полезен, поскольку темная материя доминировала в росте структуры на протяжении большей части истории Вселенной. В этом режиме мы находимся на масштабах субхаббловских масштабов. $<H^{-1}~,$ (где $H$ — параметр Хаббла ), поэтому мы можем считать пространство-время плоским и игнорировать общие релятивистские поправки. Но эти масштабы превышают пороговый уровень, так что возмущения давления и плотности достаточно линейны. $\delta P~,~\delta \rho \ll 1~.$ Далее мы предполагаем низкое давление $P\ll \rho ~,$ чтобы мы могли игнорировать радиационные эффекты и низкие скорости $u\ll c~,$ поэтому мы находимся в нерелятивистском режиме.

Первое основное уравнение следует из закона сохранения материи – уравнение неразрывности.

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+3H\rho +{\frac {1}{a}}\cdot \nabla \left(\rho {\vec {v}}\right)=0~,$

где $a$ масштабный коэффициент и ${\vec {v}}$ – пекулярная скорость . Хотя мы не пишем это явно, все переменные оцениваются во времени. $t$ и расхождение $\nabla$ находится в сопутствующих координатах . Во-вторых, сохранение импульса дает нам уравнение Эйлера

$\rho {\frac {{\text{d}}{\vec {u}}}{{\text{d}}t}}=\rho \left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{a}}{\vec {v}}\cdot \nabla \right){\vec {u}}=-{\frac {1}{a}}\nabla P-{\frac {1}{a}}\rho \nabla \Phi ~,$

где $\Phi$ гравитационный потенциал. Наконец, мы знаем, что для ньютоновской гравитации потенциал подчиняется уравнению Пуассона

${\frac {1}{a^{2}}}\nabla ^{2}\Phi =4\pi G\rho ~.$

Пока что наши уравнения полностью нелинейны, и их трудно интерпретировать интуитивно. Поэтому полезно рассмотреть пертурбативное расширение и изучить каждый порядок отдельно. Мы используем следующее разложение

$\rho ={\bar {\rho }}(1+\delta )~,~{\vec {u}}=Ha{\vec {x}}+{\vec {v}}~,~P={\bar {P}}+\delta P~,~\Phi ={\bar {\Phi }}+\delta \Phi ~$

где ${\vec {x}}$ является движущейся координатой.

В линейном порядке уравнение неразрывности принимает вид

${\dot {\delta }}=-{\frac {1}{a}}\theta ~,$

где $\theta \equiv \nabla \cdot {\vec {v}}$ – дивергенция скоростей. А линейное уравнение Эйлера имеет вид

${\bar {\rho }}\left({\dot {\vec {v}}}+H{\vec {v}}\right)=-{\frac {1}{a}}\nabla \delta P-{\frac {1}{a}}{\bar {\rho }}\nabla \delta \Phi ~.$

Объединив уравнения линейной непрерывности, Эйлера и Пуассона, мы приходим к простому главному уравнению, управляющему эволюцией.

$\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial ^{2}t}}+2H{\frac {\partial }{\partial t}}-c_{s}^{2}{\frac {1}{a}}\nabla ^{2}-4\pi G{\bar {\rho }}\right)\delta =0~,$

где мы определили скорость звука $c_{s}^{2}\equiv \delta P/{\bar {\rho }}\delta ~$ чтобы дать нам замыкающее отношение . Это основное уравнение допускает волновые решения в $\delta ({\vec {x}},t)$ которые говорят нам, как флуктуации материи растут со временем из-за комбинации конкурирующих эффектов – собственной гравитации флуктуаций, сил давления, расширения Вселенной и фонового гравитационного поля.

Калибровочно-инвариантная теория возмущений

Калибровочно-инвариантная теория возмущений основана на разработках Бардина (1980): Кодама и Сасаки (1984) опираясь на работы Лифшица (1946). Это стандартный подход к теории возмущений общей теории относительности для космологии. Этот подход широко используется для расчета анизотропии космического микроволнового фонового излучения. как часть программы физической космологии и фокусируется на предсказаниях, возникающих в результате линеаризации, которые сохраняют калибровочную инвариантность по отношению к моделям Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера (FLRW). Этот подход в значительной степени основан на использовании ньютоновского аналога и обычно имеет в качестве отправной точки фон FRW, вокруг которого развиваются возмущения. Этот подход нелокален и зависит от координат, но калибровочно-инвариантен, поскольку результирующая линейная структура строится из заданного семейства фоновых гиперповерхностей, которые связаны сохраняющими калибровку отображениями для расслоения пространства-времени. Хотя этот подход интуитивно понятен, он плохо справляется с нелинейностями, естественными для общей теории относительности.

1+3-ковариантная калибровочно-инвариантная теория возмущений

В релятивистской космологии с использованием лагранжевой динамики нитей Элерса (1971). и Эллис (1971) обычно используют калибровочно-инвариантную ковариантную теорию возмущений, разработанную Хокингом (1966). и Эллис и Бруни (1989). Здесь вместо того, чтобы начинать с фона и отклоняться от него, мы начинаем с полной общей теории относительности и систематически сводим теорию к теории, линейной относительно конкретного фона. Подход является локальным и одновременно ковариантным, а также калибровочно-инвариантным , но может быть нелинейным, поскольку подход построен вокруг локального сопутствующего кадра наблюдателя (см. Пакет кадров ), который используется для пронизывания всего пространства-времени. Этот подход к теории возмущений приводит к дифференциальным уравнениям, которые имеют именно тот порядок, который необходим для описания истинных физических степеней свободы, и поэтому нефизических калибровочных мод не существует. Обычно теорию выражают в бескоординатной форме. Для приложений кинетической теории , поскольку необходимо использовать полное касательное расслоение , становится удобным использовать тетрадную формулировку релятивистской космологии. Применение этого подхода к расчету анизотропии космического микроволнового фонового излучения требует линеаризации полной релятивистской кинетической теории, разработанной Торном (1980). и Эллис, Матраверс и Тресиокас (1983).

Свобода колеи и фиксация рамы

В релятивистской космологии существует свобода, связанная с выбором системы отсчета; этот выбор кадра отличается от выбора, связанного с координатами. Выбор этого кадра эквивалентен фиксации выбора времениподобных мировых линий, отображаемых друг в друге. Это уменьшает свободу калибра ; она не фиксирует калибровку, но теория остается калибровочно-инвариантной относительно остальных калибровочных свобод. Чтобы зафиксировать калибровку, требуется спецификация соответствий между временными поверхностями в реальной вселенной (возмущенной) и фоновой вселенной, а также соответствия между точками на исходных пространственноподобных поверхностях в фоновом режиме и в реальной вселенной. В этом состоит связующее звено между калибровочно-инвариантной теорией возмущений и калибровочно-инвариантной ковариантной теорией возмущений. Калибровочная инвариантность гарантируется только в том случае, если выбор кадра точно совпадает с выбором фона; обычно это тривиально обеспечить, поскольку физические кадры обладают этим свойством.

Ньютоновские уравнения

Уравнения, подобные ньютоновским, возникают из пертурбативной общей теории относительности с выбором ньютоновской калибровки ; Ньютоновская калибровка обеспечивает прямую связь между переменными, обычно используемыми в калибровочно-инвариантной теории возмущений, и переменными, возникающими из более общей калибровочно-инвариантной ковариантной теории возмущений.

См. также

• Первичные колебания
• Спектральные искажения космического микроволнового фона

Библиография

См. учебники по физической космологии .

Внешние ссылки

• Эллис, Джордж Ф.Р.; ван Элст, Хенк (1999). «Космологические модели». В Марке Лакьезе-Ре (ред.). Теоретическая и наблюдательная космология: Труды Института перспективных исследований НАТО по теоретической и наблюдательной космологии . Лекции Каржеза, 1998 г. Научная серия НАТО: Серия C. Том. 541. Клювер Академик . стр. 1–116. arXiv : gr-qc/9812046 . Бибкод : 1999ASIC..541....1E .