Геодезическое многообразие

В математике ( полное многообразие или геодезически полное многообразие ) M — это ( псевдо- ) риманово многообразие , для которого, начиная с любой точки p , существуют прямые пути, бесконечно простирающиеся во всех направлениях.

Формально многообразие $M$ является (геодезически) полным, если для любой максимальной геодезической $\ell :I\to M$, он утверждает, что $I=(-\infty ,\infty )$. Геодезическая называется максимальной , если ее область действия не может быть расширена.

Эквивалентно, $M$ является (геодезически) полным, если для всех точек $p\in M$, экспоненциальное отображение в $p$ определяется на $T_{p}M$, все касательное пространство в $p$.

Теорема Хопфа-Ринова

Основная статья: теорема Хопфа-Ринова

Теорема Хопфа – Ринова дает альтернативные характеристики полноты. Позволять $(M,g)$ — связное риманово многообразие и пусть $d_{g}:M\times M\to [0,\infty )$ быть его римановой функцией расстояния .

Теорема Хопфа – Ринова утверждает, что $(M,g)$ является (геодезически) полным тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий:

• Метрическое пространство $(M,d_{g})$ является полным метрическим пространством (каждое $d_{g}$- последовательность Коши сходится),
• Подмножество $M$ компактен тогда и только тогда, когда он замкнут и $d_{g}$-ограниченный.

Примеры и не примеры

Евклидово пространство $\mathbb {R} ^{n}$, сфера $\mathbb {S} ^{n}$и торы $\mathbb {T} ^{n}$ (со своими естественными римановыми метриками ) все являются полными многообразиями.

Все компактные римановы многообразия и все однородные многообразия геодезически полны. Все симметрические пространства геодезически полны.

Непримеры

Пробитый самолет $\mathbb {R} ^{2}\backslash \{(0,0)\}$ не является геодезически полной, поскольку максимальная геодезическая с начальными условиями $p=(1,1)$, $v=(1,1)$ нет домена $\mathbb {R}$.

Простой пример неполного многообразия дает проколотая плоскость. $\mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \lbrace 0\rbrace$ (со своей индуцированной метрикой). Геодезические, идущие в начало координат, не могут быть определены на всей вещественной линии. По теореме Хопфа–Ринова мы также можем заметить, что это не полное метрическое пространство: любая последовательность в плоскости, сходящаяся к началу координат, является несходящейся последовательностью Коши в проколотой плоскости.

Существуют негеодезически полные компактные псевдоримановы (но не римановы) многообразия. Примером этого является тор Клифтона-Поля .

В общей теории относительности , которая описывает гравитацию в терминах псевдоримановой геометрии, возникает множество важных примеров геодезически неполных пространств, например, невращающиеся незаряженные черные дыры или космологии с Большим взрывом . Тот факт, что такая неполнота является довольно общим явлением в общей теории относительности, показан в теоремах Пенроуза–Хокинга о сингулярности .

Расширяемость

Если $M$ геодезически полно, то оно не изометрично открытому собственному подмногообразию любого другого риманова многообразия. Обратное неверно.

Ссылки

Источники

• О'Нил, Барретт (1983). Полуриманова геометрия . Академическая пресса . Глава 3. ISBN  0-12-526740-1 .

• Ли, Джон (2018). Введение в римановы многообразия . Тексты для аспирантов по математике. Спрингер Интернэшнл Паблишинг АГ.