Теорема Хопфа – Ринова

Теорема Хопфа–Ринова представляет собой набор утверждений о геодезической полноте римановых многообразий . Он назван в честь Хайнца Хопфа и его ученика Вилли Ринова , опубликовавших его в 1931 году. ^{[ 1 ]} Стефан Кон-Воссен распространил часть теоремы Хопфа–Ринова на контекст некоторых типов метрических пространств .

Заявление

Позволять $(M,g)$ — связное и гладкое риманово многообразие. Тогда следующие утверждения эквивалентны: ^{[ 2 ]}

Замкнутые и ограниченные подмножества $M$ компактны ;
$M$ — полное метрическое пространство ;
$M$ является геодезически полным; то есть для каждого $p\in M,$ экспоненциальное отображение exp _p определено на всем касательном пространстве $\operatorname {T} _{p}M.$

Более того, из любого из вышеперечисленных следует, что при данных любых двух точках $p,q\in M,$ существует геодезическая, минимизирующая длину , соединяющая эти две точки (геодезические, как правило, являются критическими точками для функционала длины и могут быть минимумами, а могут и не быть).

В теореме Хопфа – Ринова первая характеристика полноты касается исключительно топологии многообразия и ограниченности различных множеств; второй касается существования минимизаторов определенной задачи вариационного исчисления (а именно минимизации функционала длины); третий касается природы решений некоторой системы обыкновенных дифференциальных уравнений .

Вариации и обобщения

Теорема Хопфа – Ринова обобщается на пространства с метрикой длины следующим образом: ^{[ 3 ]}
- Если пространство с метрикой длины и полно локально компактно то любые две точки можно соединить минимизирующей геодезической , и любое ограниченное замкнутое множество компактно , .

Фактически эти свойства характеризуют полноту локально компактных пространств с метрикой длины. ^{[ 4 ]}

Теорема не справедлива для бесконечномерных многообразий. Единичная сфера в сепарабельном гильбертовом пространстве может быть наделена структурой гильбертова многообразия таким образом, что противоположные точки не могут быть соединены геодезической, минимизирующей длину. ^{[ 5 ]} Позже было замечено, что даже не является автоматически верным, что две точки соединяются какой-либо геодезической, независимо от того, минимизирующей или нет. ^{[ 6 ]}
Теорема также не распространяется на лоренцевы многообразия : тор Клифтона – Пола представляет собой пример (диффеоморфный двумерному тору), который является компактным, но не полным. ^{[ 7 ]}

Примечания

^ Хопф, Х.; Ринов, В. (1931). «О понятии полной дифференциально-геометрической поверхности». Комментарии по математике Helvetici . 3 (1): 209–225. дои : 10.1007/BF01601813 .
^ до Кармо 1992 , Глава 7; Галло, Хулин и Лафонтен, 2004 г. , раздел 2.C.5; Йост 2017 , раздел 1.7; Кобаяши и Номидзу, 1963 , раздел IV.4; Ланг, 1999 г. , раздел VIII.6; О'Нил 1983 , Теорема 5.21 и Предложение 5.22; Петерсен 2016 , Раздел 5.7.1.
^ Bridson & Haefliger 1999 , Предложение I.3.7; Громов 1999 , Раздел 1.Б.
^ Бураго, Бураго и Иванов 2001 , Раздел 2.5.3.
^ Ланг 1999 , стр. 226–227.
^ Аткин, CJ (1975), «Теорема Хопфа-Ринова неверна в бесконечных измерениях», Бюллетень Лондонского математического общества , 7 (3): 261–266, doi : 10.1112/blms/7.3.261 , MR 0400283
^ Галло, Хулин и Лафонтен 2004 , Раздел 2.D.4; О'Нил 1983 , с. 193.

Ссылки

Бураго, Дмитрий ; Бураго, Юрий ; Иванов, Сергей (2001). Курс метрической геометрии . Аспирантура по математике Том. 33. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . дои : 10.1090/gsm/033 . ISBN 0-8218-2129-6 . МР 1835418 . Збл 0981.51016 . (Ошибка: [1] )
Бридсон, Мартин Р .; Хефлигер, Андре (1999). Метрические пространства неположительной кривизны . Основные принципы математических наук. Том 319. Берлин: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-3-662-12494-9 . ISBN 3-540-64324-9 . МР 1744486 . Збл 0988.53001 .
ду Карму, Манфредо Пердигао (1992). Риманова геометрия . Математика: теория и приложения. Перевод второго португальского издания Фрэнсиса Флаэрти. Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, Inc. ISBN 0-8176-3490-8 . МР 1138207 . Збл 0752.53001 .
Галло, Сильвестр ; Хулин, Доминик ; Лафонтен, Жак (2004). Риманова геометрия . Universitext (Третье изд.). Спрингер-Верлаг . дои : 10.1007/978-3-642-18855-8 . ISBN 3-540-20493-8 . МР 2088027 . Збл 1068.53001 .
Громов, Миша (1999). Метрические структуры для римановых и неримановых пространств . Прогресс в математике. Том. 152. Перевод Бейтса, Шона Майкла. С приложениями М. Каца , П. Пансу и С. Семмеса . (На основе оригинального французского издания 1981 года). Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, Inc. doi : 10.1007/978-0-8176-4583-0 . ISBN 0-8176-3898-9 . МР 1699320 . Збл 0953.53002 .
Йост, Юрген (2017). Риманова геометрия и геометрический анализ . Universitext (Седьмое издание оригинальной редакции 1995 г.). Спрингер, Чам . дои : 10.1007/978-3-319-61860-9 . ISBN 978-3-319-61859-3 . МР 3726907 . Збл 1380.53001 .
Кобаяши, Сошичи ; Номидзу, Кацуми (1963). Основы дифференциальной геометрии. Том I. Нью-Йорк – Лондон: John Wiley & Sons, Inc. MR 0152974 . Збл 0119.37502 .
Ланг, Серж (1999). Основы дифференциальной геометрии . Тексты для аспирантов по математике . Том. 191. Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-1-4612-0541-8 . ISBN 0-387-98593-Х . МР 1666820 . Збл 0932.53001 .
О'Нил, Барретт (1983). Полуриманова геометрия. С приложениями к теории относительности . Чистая и прикладная математика. Том. 103. Нью-Йорк: Academic Press, Inc. doi : 10.1016/s0079-8169(08)x6002-7 . ISBN 0-12-526740-1 . МР 0719023 . Збл 0531.53051 .
Петерсен, Питер (2016). Риманова геометрия . Тексты для аспирантов по математике . Том. 171 (Третье издание оригинальной редакции 1998 г.). Спрингер, Чам . дои : 10.1007/978-3-319-26654-1 . ISBN 978-3-319-26652-7 . МР 3469435 . Збл 1417.53001 .

Внешние ссылки

Войцеховский, М.И. (2001) [1994], «Теорема Хопфа–Ринова» , Энциклопедия математики , EMS Press
Дервент, Джон. «Теорема Хопфа–Ринова» . Математический мир .

[1] Хопф, Х.; Ринов, В. (1931). «О понятии полной дифференциально-геометрической поверхности». Комментарии по математике Helvetici . 3 (1): 209–225. дои : 10.1007/BF01601813 .

[FOOTNOTEdo_Carmo1992Chapter_7GallotHulinLafontaine2004Section_2.C.5Jost2017Section_1.7KobayashiNomizu1963Section_IV.4Lang1999Section_VIII.6O'Neill1983Theorem_5.21_and_Proposition_5.22Petersen2016Section_5.7.1-2] до Кармо 1992 , Глава 7; Галло, Хулин и Лафонтен, 2004 г. , раздел 2.C.5; Йост 2017 , раздел 1.7; Кобаяши и Номидзу, 1963 , раздел IV.4; Ланг, 1999 г. , раздел VIII.6; О'Нил 1983 , Теорема 5.21 и Предложение 5.22; Петерсен 2016 , Раздел 5.7.1.

[FOOTNOTEBridsonHaefliger1999Proposition_I.3.7Gromov1999Section_1.B-3] Bridson & Haefliger 1999 , Предложение I.3.7; Громов 1999 , Раздел 1.Б.

[FOOTNOTEBuragoBuragoIvanov2001Section_2.5.3-4] Бураго, Бураго и Иванов 2001 , Раздел 2.5.3.

[FOOTNOTELang1999226–227-5] Ланг 1999 , стр. 226–227.

[6] Аткин, CJ (1975), «Теорема Хопфа-Ринова неверна в бесконечных измерениях», Бюллетень Лондонского математического общества , 7 (3): 261–266, doi : 10.1112/blms/7.3.261 , MR 0400283

[FOOTNOTEGallotHulinLafontaine2004Section_2.D.4O'Neill1983193-7] Галло, Хулин и Лафонтен 2004 , Раздел 2.D.4; О'Нил 1983 , с. 193.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

v т и Риманова геометрия ( Глоссарий )
Basic concepts	Curvature tensor Scalar Ricci Sectional Exponential map Geodesic Inner product Metric tensor Levi-Civita connection Covariant derivative Signature Raising and lowering indices/Musical isomorphism Parallel transport Riemannian manifold Pseudo-Riemannian manifold Riemannian volume form
Types of manifolds	Hermitian Hyperbolic Kähler Kenmotsu
Main results	Fundamental theorem of Riemannian geometry Gauss's lemma Gauss–Bonnet theorem Hopf–Rinow theorem Nash embedding theorem Ricci flow Schur's lemma
Generalizations	Finsler Hilbert Sub-Riemannian
Applications	General relativity Geometrization conjecture Poincaré conjecture Uniformization theorem