Основная теорема римановой геометрии

В математической области римановой геометрии фундаментальная теорема римановой геометрии утверждает, что на любом римановом многообразии (или псевдоримановом многообразии ) существует уникальная аффинная связность , не имеющая кручения и метрически совместимая, называемая связностью Леви-Чивита или (псевдо-) риманова связность данной метрики. Поскольку оно канонически определяется такими свойствами, часто это соединение используется автоматически при задании метрики.

Формулировка теоремы

Основная теорема римановой геометрии. Пусть ( M , g ) — риманово многообразие (или псевдориманово многообразие ). Тогда существует единственная связность ∇, удовлетворяющая следующим условиям:

• для любых векторных полей X , Y и Z имеем $$X{\big (}g(Y,Z){\big )}=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z),$$ где X ( g ( Y , Z )) функции g ( Y , Z ) вдоль векторного поля X. обозначает производную
• для любых векторных полей X , Y , $$\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y],$$ где [ X , Y ] обозначает Ли скобку X и Y. ​

называется метрической совместимостью ∇ Первое условие . Эквивалентно это можно выразить, сказав, что для любой кривой из M скалярное произведение любых двух ∇ –параллельных векторных полей вдоль кривой является постоянным. Это также можно эквивалентно сформулировать так: метрический тензор сохраняется за счет параллельного переноса , то есть метрика параллельна при рассмотрении естественного расширения ∇ для действия на (0,2)-тензорные поля: ∇ g = 0 . Далее эквивалентно требование, чтобы соединение индуцировалось соединением основного расслоения на ортонормированном расслоении фреймов .

условие иногда называют симметрией ∇ Второе . Он выражает условие, что кручение ∇ равно нулю , и поэтому также называется отсутствием кручения . Есть альтернативные характеристики.

Расширение фундаментальной теоремы утверждает, что для данного псевдориманова многообразия существует единственная связь, сохраняющая метрический тензор , с любой заданной векторнозначной 2-формой в качестве ее кручения. Разницей между произвольной связью (с кручением) и соответствующей связью Леви-Чивита является тензор искривления .

Основная теорема утверждает как существование, так и единственность некоторой связи, которая называется связностью Леви-Чивита или (псевдо-) римановой связностью . Однако результат существования является чрезвычайно прямым, поскольку рассматриваемая связь может быть явно определена либо вторым тождеством Кристоффеля , либо формулой Кошуля , полученной в приведенных ниже доказательствах. Это явное определение выражает связь Леви-Чивита через метрику и ее первые производные. Таким образом, если метрика k -кратно непрерывно дифференцируема, то связность Леви-Чивита ( k - 1) -раз непрерывно дифференцируема.

Связь Леви-Чивита также можно охарактеризовать и другими способами, например, через вариацию Палатини действия Эйнштейна-Гильберта .

Доказательство теоремы

Доказательство теоремы можно представить различными способами. Здесь доказательство сначала дается на языке координат и символов Кристоффеля , а затем на бескоординатном языке ковариантных производных . Независимо от представления, идея состоит в том, чтобы использовать условия метрической совместимости и отсутствия кручения, чтобы получить прямую формулу для любого соединения, которое одновременно метрически совместимо и не имеет кручения. Этим устанавливается утверждение единственности в основной теореме. Чтобы установить утверждение существования, необходимо непосредственно проверить, что полученная формула действительно определяет связь желаемым образом.

Местные координаты

Здесь будет использоваться соглашение Эйнштейна о суммировании , которое означает, что индекс, повторяющийся как в нижнем, так и в верхнем индексе, суммируется по всем значениям. Пусть m обозначает размерность M . Напомним, что относительно локальной карты связь определяется выражением m ³ гладкие функции $$\left\{\Gamma _{ij}^{l}\right\},$$с $$(\nabla _{X}Y)^{i}=X^{j}\partial _{j}Y^{i}+X^{j}Y^{k}\Gamma _{jk}^{i}$$для любых векторных полей X и Y . Под отсутствием кручения связи понимается условие, что ∇ _X Y − ∇ _Y X = [ X , Y ] для произвольных X и Y . Записанное в локальных координатах, это эквивалентно $$0=X^{j}Y^{k}(\Gamma _{jk}^{i}-\Gamma _{kj}^{i}),$$что по произвольности X и Y эквивалентно условию Γ ^я
_jk = Γ ^я
_кдж . Аналогично условие метрической совместимости эквивалентно условию $$\partial _{k}g_{ij}=\Gamma _{ki}^{l}g_{lj}+\Gamma _{kj}^{l}g_{il}.$$Таким образом, видно, что условия без кручения и метрической совместимости можно рассматривать как линейную систему уравнений связи, в которой коэффициенты и «правая часть» системы задаются метрикой и его первая производная. Фундаментальную теорему римановой геометрии можно рассматривать как утверждение о том, что эта линейная система имеет единственное решение. Это видно с помощью следующих вычислений: $${\begin{aligned}\partial _{i}g_{jl}+\partial _{j}g_{il}-\partial _{l}g_{ij}&=\left(\Gamma _{ij}^{p}g_{pl}+\Gamma _{il}^{p}g_{jp}\right)+\left(\Gamma _{ji}^{p}g_{pl}+\Gamma _{jl}^{p}g_{ip}\right)-\left(\Gamma _{li}^{p}g_{pj}+\Gamma _{lj}^{p}g_{ip}\right)\\&=2\Gamma _{ij}^{p}g_{pl}\end{aligned}}$$в котором условие метрической совместимости используется три раза для первого равенства, а условие отсутствия кручения используется три раза для второго равенства. Полученную формулу иногда называют первым тождеством Кристоффеля . Его можно сжать с помощью обратной метрики g ^в , чтобы найти второе тождество Кристоффеля : $$\Gamma _{ij}^{k}={\tfrac {1}{2}}g^{kl}\left(\partial _{i}g_{jl}+\partial _{j}g_{il}-\partial _{l}g_{ij}\right).$$Это доказывает единственность условия без кручения и метрической совместимости; то есть любое такое соединение должно быть задано приведенной выше формулой. Чтобы доказать существование, необходимо проверить, что приведенная выше формула определяет связность без кручения и метрически согласованную. Это можно сделать напрямую.

Инвариантная формулировка

Приведенное выше доказательство также можно выразить в терминах векторных полей. Отсутствие кручения относится к состоянию, при котором $$\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y],$$а метрическая совместимость относится к условию, что $$X\left(g(Y,Z)\right)=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z),$$где X , Y и Z — произвольные векторные поля. Вычисление, выполненное ранее в локальных координатах, можно записать как $${\begin{aligned}X\left(g(Y,Z)\right)&+Y\left(g(X,Z)\right)-Z\left(g(X,Y)\right)\\&={\Big (}g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z){\Big )}+{\Big (}g(\nabla _{Y}X,Z)+g(X,\nabla _{Y}Z){\Big )}-{\Big (}g(\nabla _{Z}X,Y)+g(X,\nabla _{Z}Y){\Big )}\\&=g(\nabla _{X}Y+\nabla _{Y}X,Z)+g(\nabla _{X}Z-\nabla _{Z}X,Y)+g(\nabla _{Y}Z-\nabla _{Z}Y,X)\\&=g(2\nabla _{X}Y+[Y,X],Z)+g([X,Z],Y)+g([Y,Z],X).\end{aligned}}$$Это немедленно сводится к первому тождеству Кристоффеля в случае, когда X , Y и Z являются координатными векторными полями. Уравнения, показанные выше, можно переставить, чтобы получить Кошула . формулу или тождество $$2g(\nabla _{X}Y,Z)=X\left(g(Y,Z)\right)+Y\left(g(X,Z)\right)-Z\left(g(X,Y)\right)-g([Y,X],Z)-g([X,Z],Y)-g([Y,Z],X).$$Это доказывает единственность условия без кручения и метрической совместимости, поскольку если g ( W , Z ) равно g ( U , Z ) для произвольного Z , то W должно равняться U . Это следствие невырожденности метрики . В приведенной выше локальной формулировке это ключевое свойство метрики неявно использовалось тем же способом через существование g ^в . Более того, по тем же рассуждениям формула Кошуля может использоваться для определения векторного поля ∇ _X Y при заданных X и Y , и обычно проверяется, что это определяет соединение без кручения и метрически совместимое.

Ссылки

• ду Карму, Манфредо Пердигао (1992). Риманова геометрия . Математика: теория и приложения. Перевод второго португальского издания Фрэнсиса Флаэрти. Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, Inc. ISBN  0-8176-3490-8 . МР   1138207 . Збл   0752.53001 .
• Хокинг, Юго-Запад ; Эллис, СКФ (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени . Кембриджские монографии по математической физике. Том. 1. Лондон-Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета . дои : 10.1017/CBO9780511524646 . ISBN  9780521099066 . МР   0424186 . Збл   0265.53054 .
• Хельгасон, Сигурдур (2001). Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства . Аспирантура по математике . Том. 34 (Исправленная перепечатка оригинального издания 1978 года). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . дои : 10.1090/gsm/034 . ISBN  0-8218-2848-7 . МР   1834454 . Збл   0993.53002 .
• Йост, Юрген (2017). Риманова геометрия и геометрический анализ . Universitext (Седьмое издание оригинальной редакции 1995 г.). Спрингер, Чам . дои : 10.1007/978-3-319-61860-9 . ISBN  978-3-319-61859-3 . МР   3726907 . Збл   1380.53001 .
• Кобаяши, Сошичи ; Номидзу, Кацуми (1963). Основы дифференциальной геометрии. Том I. Нью-Йорк – Лондон: John Wiley & Sons, Inc. MR   0152974 . Збл   0119.37502 .
• Милнор, Дж. (1963). Теория Морса . Анналы математических исследований. Том. 51. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . МР   0163331 . Збл   0108.10401 .
• О'Нил, Барретт (1983). Полуриманова геометрия. С приложениями к теории относительности . Чистая и прикладная математика. Том. 103. Нью-Йорк: Academic Press, Inc. doi : 10.1016/s0079-8169(08)x6002-7 . ISBN  0-12-526740-1 . МР   0719023 . Збл   0531.53051 .
• Петерсен, Питер (2016). Риманова геометрия . Тексты для аспирантов по математике . Том. 171 (Третье издание оригинальной редакции 1998 г.). Спрингер, Чам . дои : 10.1007/978-3-319-26654-1 . ISBN  978-3-319-26652-7 . МР   3469435 . Збл   1417.53001 .
• Уолд, Роберт М. (1984). Общая теория относительности . Чикаго, Иллинойс: Издательство Чикагского университета . ISBN  0-226-87032-4 . МР   0757180 . Збл   0549.53001 .