Theorem in manifold theory
Эта статья о лемме Гаусса в римановой геометрии. Другие значения см. в
лемме Гаусса .
В римановой геометрии лемма Гаусса утверждает, что любая достаточно малая сфера с центром в точке риманова многообразия перпендикулярна каждой геодезической, проходящей через эту точку. Более формально, пусть M — риманово многообразие , снабженное связностью Леви-Чивита , а p точка M. — Экспоненциальное отображение — это отображение касательного пространства в точке p на M :
e
x
p
:
T
p
M
→
M
{\displaystyle \mathrm {exp} :T_{p}M\to M}
который является диффеоморфизмом в окрестности нуля. что образ сферы достаточно малого радиуса в TpM Лемма Гаусса утверждает , при экспоненциальном отображении перпендикулярен всем геодезическим, выходящим из точки p . Лемма позволяет понимать экспоненциальную карту как радиальную изометрию и имеет фундаментальное значение при изучении геодезической выпуклости и нормальных координат .
Определим экспоненциальное отображение в
p
∈
M
{\displaystyle p\in M}
к
exp
p
:
T
p
M
⊃
B
ϵ
(
0
)
⟶
M
,
v
t
⟼
γ
p
,
v
(
t
)
,
{\displaystyle \exp _{p}:T_{p}M\supset B_{\epsilon }(0)\longrightarrow M,\quad vt\longmapsto \gamma _{p,v}(t),}
где
γ
p
,
v
{\displaystyle \gamma _{p,v}}
это уникальная геодезическая с
γ
p
,
v
(
0
)
=
p
{\displaystyle \gamma _{p,v}(0)=p}
и касательная
γ
p
,
v
′
(
0
)
=
v
∈
T
p
M
{\displaystyle \gamma _{p,v}'(0)=v\in T_{p}M}
и
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
выбирается достаточно малым, чтобы для каждого
t
∈
[
0
,
1
]
,
v
t
∈
B
ϵ
(
0
)
⊂
T
p
M
{\displaystyle t\in [0,1],vt\in B_{\epsilon }(0)\subset T_{p}M}
геодезический
γ
p
,
v
(
t
)
{\displaystyle \gamma _{p,v}(t)}
определяется. Итак, если
M
{\displaystyle M}
полно, то по Хопфа–Ринова теореме
exp
p
{\displaystyle \exp _{p}}
определена на всем касательном пространстве.
Позволять
α
:
I
→
T
p
M
{\displaystyle \alpha :I\rightarrow T_{p}M}
быть кривой, дифференцируемой по
T
p
M
{\displaystyle T_{p}M}
такой, что
α
(
0
)
:=
0
{\displaystyle \alpha (0):=0}
и
α
′
(
0
)
:=
v
{\displaystyle \alpha '(0):=v}
. С
T
p
M
≅
R
n
{\displaystyle T_{p}M\cong \mathbb {R} ^{n}}
, ясно, что мы можем выбрать
α
(
t
)
:=
v
t
{\displaystyle \alpha (t):=vt}
. В этом случае по определению дифференциала экспоненты в
0
{\displaystyle 0}
применяется поверх
v
{\displaystyle v}
, получаем:
T
0
exp
p
(
v
)
=
d
d
t
(
exp
p
∘
α
(
t
)
)
|
t
=
0
=
d
d
t
(
exp
p
(
v
t
)
)
|
t
=
0
=
d
d
t
(
γ
p
,
v
(
t
)
)
|
t
=
0
=
γ
p
,
v
′
(
0
)
=
v
.
{\displaystyle T_{0}\exp _{p}(v)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Bigl (}\exp _{p}\circ \alpha (t){\Bigr )}{\Big \vert }_{t=0}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Bigl (}\exp _{p}(vt){\Bigr )}{\Big \vert }_{t=0}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Bigl (}\gamma _{p,v}(t){\Bigr )}{\Big \vert }_{t=0}=\gamma _{p,v}'(0)=v.}
Итак (при правильной идентификации
T
0
T
p
M
≅
T
p
M
{\displaystyle T_{0}T_{p}M\cong T_{p}M}
) дифференциал
exp
p
{\displaystyle \exp _{p}}
это личность. По теореме о неявной функции
exp
p
{\displaystyle \exp _{p}}
является диффеоморфизмом в окрестности
0
∈
T
p
M
{\displaystyle 0\in T_{p}M}
. Лемма Гаусса теперь говорит, что
exp
p
{\displaystyle \exp _{p}}
также является радиальной изометрией.
Экспоненциальная карта представляет собой радиальную изометрию. [ редактировать ]
Позволять
p
∈
M
{\displaystyle p\in M}
. Далее проводим идентификацию
T
v
T
p
M
≅
T
p
M
≅
R
n
{\displaystyle T_{v}T_{p}M\cong T_{p}M\cong \mathbb {R} ^{n}}
.
Лемма Гаусса гласит:
Позволять
v
,
w
∈
B
ϵ
(
0
)
⊂
T
v
T
p
M
≅
T
p
M
{\displaystyle v,w\in B_{\epsilon }(0)\subset T_{v}T_{p}M\cong T_{p}M}
и
M
∋
q
:=
exp
p
(
v
)
{\displaystyle M\ni q:=\exp _{p}(v)}
. Затем,
⟨
T
v
exp
p
(
v
)
,
T
v
exp
p
(
w
)
⟩
q
=
⟨
v
,
w
⟩
p
.
{\displaystyle \langle T_{v}\exp _{p}(v),T_{v}\exp _{p}(w)\rangle _{q}=\langle v,w\rangle _{p}.}
Для
p
∈
M
{\displaystyle p\in M}
, эта лемма означает, что
exp
p
{\displaystyle \exp _{p}}
является радиальной изометрией в следующем смысле: пусть
v
∈
B
ϵ
(
0
)
{\displaystyle v\in B_{\epsilon }(0)}
, то есть такой, что
exp
p
{\displaystyle \exp _{p}}
хорошо определен.
И пусть
q
:=
exp
p
(
v
)
∈
M
{\displaystyle q:=\exp _{p}(v)\in M}
. Тогда экспонента
exp
p
{\displaystyle \exp _{p}}
остается изометрией в
q
{\displaystyle q}
и, в более общем плане, по всей геодезической
γ
{\displaystyle \gamma }
(поскольку
γ
p
,
v
(
1
)
=
exp
p
(
v
)
{\displaystyle \gamma _{p,v}(1)=\exp _{p}(v)}
четко определено)! Затем радиально во всех направлениях, разрешенных областью определения
exp
p
{\displaystyle \exp _{p}}
, оно остается изометрией.
Экспоненциальная карта как радиальная изометрия
Напомним, что
T
v
exp
p
:
T
p
M
≅
T
v
T
p
M
⊃
T
v
B
ϵ
(
0
)
⟶
T
exp
p
(
v
)
M
.
{\displaystyle T_{v}\exp _{p}\colon T_{p}M\cong T_{v}T_{p}M\supset T_{v}B_{\epsilon }(0)\longrightarrow T_{\exp _{p}(v)}M.}
Мы действуем в три этапа:
T
v
exp
p
(
v
)
=
v
{\displaystyle T_{v}\exp _{p}(v)=v}
: построим кривую
α
:
R
⊃
I
→
T
p
M
{\displaystyle \alpha :\mathbb {R} \supset I\rightarrow T_{p}M}
такой, что
α
(
0
)
:=
v
∈
T
p
M
{\displaystyle \alpha (0):=v\in T_{p}M}
и
α
′
(
0
)
:=
v
∈
T
v
T
p
M
≅
T
p
M
{\displaystyle \alpha '(0):=v\in T_{v}T_{p}M\cong T_{p}M}
. С
T
v
T
p
M
≅
T
p
M
≅
R
n
{\displaystyle T_{v}T_{p}M\cong T_{p}M\cong \mathbb {R} ^{n}}
, мы можем поставить
α
(
t
)
:=
v
(
t
+
1
)
{\displaystyle \alpha (t):=v(t+1)}
.
Поэтому,
T
v
exp
p
(
v
)
=
d
d
t
(
exp
p
∘
α
(
t
)
)
|
t
=
0
=
d
d
t
(
exp
p
(
t
v
)
)
|
t
=
1
=
Γ
(
γ
)
p
exp
p
(
v
)
v
=
v
,
{\displaystyle T_{v}\exp _{p}(v)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Bigl (}\exp _{p}\circ \alpha (t){\Bigr )}{\Big \vert }_{t=0}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Bigl (}\exp _{p}(tv){\Bigr )}{\Big \vert }_{t=1}=\Gamma (\gamma )_{p}^{\exp _{p}(v)}v=v,}
где
Γ
{\displaystyle \Gamma }
является оператором параллельных перевозок и
γ
(
t
)
=
exp
p
(
t
v
)
{\displaystyle \gamma (t)=\exp _{p}(tv)}
. Последнее равенство верно, поскольку
γ
{\displaystyle \gamma }
является геодезической, поэтому
γ
′
{\displaystyle \gamma '}
является параллельным.
Теперь вычислим скалярное произведение
⟨
T
v
exp
p
(
v
)
,
T
v
exp
p
(
w
)
⟩
{\displaystyle \langle T_{v}\exp _{p}(v),T_{v}\exp _{p}(w)\rangle }
.
Мы отделяем
w
{\displaystyle w}
в компонент
w
T
{\displaystyle w_{T}}
параллельно
v
{\displaystyle v}
и компонент
w
N
{\displaystyle w_{N}}
нормально для
v
{\displaystyle v}
. В частности, мы положили
w
T
:=
a
v
{\displaystyle w_{T}:=av}
,
a
∈
R
{\displaystyle a\in \mathbb {R} }
.
Предыдущий шаг напрямую подразумевает:
⟨
T
v
exp
p
(
v
)
,
T
v
exp
p
(
w
)
⟩
=
⟨
T
v
exp
p
(
v
)
,
T
v
exp
p
(
w
T
)
⟩
+
⟨
T
v
exp
p
(
v
)
,
T
v
exp
p
(
w
N
)
⟩
{\displaystyle \langle T_{v}\exp _{p}(v),T_{v}\exp _{p}(w)\rangle =\langle T_{v}\exp _{p}(v),T_{v}\exp _{p}(w_{T})\rangle +\langle T_{v}\exp _{p}(v),T_{v}\exp _{p}(w_{N})\rangle }
=
a
⟨
T
v
exp
p
(
v
)
,
T
v
exp
p
(
v
)
⟩
+
⟨
T
v
exp
p
(
v
)
,
T
v
exp
p
(
w
N
)
⟩
=
⟨
v
,
w
T
⟩
+
⟨
T
v
exp
p
(
v
)
,
T
v
exp
p
(
w
N
)
⟩
.
{\displaystyle =a\langle T_{v}\exp _{p}(v),T_{v}\exp _{p}(v)\rangle +\langle T_{v}\exp _{p}(v),T_{v}\exp _{p}(w_{N})\rangle =\langle v,w_{T}\rangle +\langle T_{v}\exp _{p}(v),T_{v}\exp _{p}(w_{N})\rangle .}
Поэтому мы должны показать, что второй член равен нулю, потому что, согласно лемме Гаусса, мы должны иметь:
⟨
T
v
exp
p
(
v
)
,
T
v
exp
p
(
w
N
)
⟩
=
⟨
v
,
w
N
⟩
=
0.
{\displaystyle \langle T_{v}\exp _{p}(v),T_{v}\exp _{p}(w_{N})\rangle =\langle v,w_{N}\rangle =0.}
⟨
T
v
exp
p
(
v
)
,
T
v
exp
p
(
w
N
)
⟩
=
0
{\displaystyle \langle T_{v}\exp _{p}(v),T_{v}\exp _{p}(w_{N})\rangle =0}
:
Кривая, выбранная для доказательства леммы
Определим кривую
α
:
[
−
ϵ
,
ϵ
]
×
[
0
,
1
]
⟶
T
p
M
,
(
s
,
t
)
⟼
t
v
+
t
s
w
N
.
{\displaystyle \alpha \colon [-\epsilon ,\epsilon ]\times [0,1]\longrightarrow T_{p}M,\qquad (s,t)\longmapsto tv+tsw_{N}.}
Обратите внимание, что
α
(
0
,
1
)
=
v
,
∂
α
∂
t
(
s
,
t
)
=
v
+
s
w
N
,
∂
α
∂
s
(
0
,
t
)
=
t
w
N
.
{\displaystyle \alpha (0,1)=v,\qquad {\frac {\partial \alpha }{\partial t}}(s,t)=v+sw_{N},\qquad {\frac {\partial \alpha }{\partial s}}(0,t)=tw_{N}.}
Поставим:
f
:
[
−
ϵ
,
ϵ
]
×
[
0
,
1
]
⟶
M
,
(
s
,
t
)
⟼
exp
p
(
t
v
+
t
s
w
N
)
,
{\displaystyle f\colon [-\epsilon ,\epsilon ]\times [0,1]\longrightarrow M,\qquad (s,t)\longmapsto \exp _{p}(tv+tsw_{N}),}
и мы рассчитываем:
T
v
exp
p
(
v
)
=
T
α
(
0
,
1
)
exp
p
(
∂
α
∂
t
(
0
,
1
)
)
=
∂
∂
t
(
exp
p
∘
α
(
s
,
t
)
)
|
t
=
1
,
s
=
0
=
∂
f
∂
t
(
0
,
1
)
{\displaystyle T_{v}\exp _{p}(v)=T_{\alpha (0,1)}\exp _{p}\left({\frac {\partial \alpha }{\partial t}}(0,1)\right)={\frac {\partial }{\partial t}}{\Bigl (}\exp _{p}\circ \alpha (s,t){\Bigr )}{\Big \vert }_{t=1,s=0}={\frac {\partial f}{\partial t}}(0,1)}
и
T
v
exp
p
(
w
N
)
=
T
α
(
0
,
1
)
exp
p
(
∂
α
∂
s
(
0
,
1
)
)
=
∂
∂
s
(
exp
p
∘
α
(
s
,
t
)
)
|
t
=
1
,
s
=
0
=
∂
f
∂
s
(
0
,
1
)
.
{\displaystyle T_{v}\exp _{p}(w_{N})=T_{\alpha (0,1)}\exp _{p}\left({\frac {\partial \alpha }{\partial s}}(0,1)\right)={\frac {\partial }{\partial s}}{\Bigl (}\exp _{p}\circ \alpha (s,t){\Bigr )}{\Big \vert }_{t=1,s=0}={\frac {\partial f}{\partial s}}(0,1).}
Следовательно
⟨
T
v
exp
p
(
v
)
,
T
v
exp
p
(
w
N
)
⟩
=
⟨
∂
f
∂
t
,
∂
f
∂
s
⟩
(
0
,
1
)
.
{\displaystyle \langle T_{v}\exp _{p}(v),T_{v}\exp _{p}(w_{N})\rangle =\left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial s}}\right\rangle (0,1).}
Теперь мы можем убедиться, что это скалярное произведение на самом деле не зависит от переменной
t
{\displaystyle t}
, и поэтому, например:
⟨
∂
f
∂
t
,
∂
f
∂
s
⟩
(
0
,
1
)
=
⟨
∂
f
∂
t
,
∂
f
∂
s
⟩
(
0
,
0
)
=
0
,
{\displaystyle \left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial s}}\right\rangle (0,1)=\left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial s}}\right\rangle (0,0)=0,}
потому что, согласно тому, что было дано выше:
lim
t
→
0
∂
f
∂
s
(
0
,
t
)
=
lim
t
→
0
T
t
v
exp
p
(
t
w
N
)
=
0
{\displaystyle \lim _{t\rightarrow 0}{\frac {\partial f}{\partial s}}(0,t)=\lim _{t\rightarrow 0}T_{tv}\exp _{p}(tw_{N})=0}
учитывая, что дифференциал является линейным отображением. Таким образом, это докажет лемму.
Мы проверяем это
∂
∂
t
⟨
∂
f
∂
t
,
∂
f
∂
s
⟩
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial s}}\right\rangle =0}
: это прямой расчет. Поскольку карты
t
↦
f
(
s
,
t
)
{\displaystyle t\mapsto f(s,t)}
являются геодезическими,
∂
∂
t
⟨
∂
f
∂
t
,
∂
f
∂
s
⟩
=
⟨
D
∂
t
∂
f
∂
t
⏟
=
0
,
∂
f
∂
s
⟩
+
⟨
∂
f
∂
t
,
D
∂
t
∂
f
∂
s
⟩
=
⟨
∂
f
∂
t
,
D
∂
s
∂
f
∂
t
⟩
=
1
2
∂
∂
s
⟨
∂
f
∂
t
,
∂
f
∂
t
⟩
.
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial s}}\right\rangle =\left\langle \underbrace {{\frac {D}{\partial t}}{\frac {\partial f}{\partial t}}} _{=0},{\frac {\partial f}{\partial s}}\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {D}{\partial t}}{\frac {\partial f}{\partial s}}\right\rangle =\left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {D}{\partial s}}{\frac {\partial f}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial s}}\left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial t}}\right\rangle .}
Поскольку карты
t
↦
f
(
s
,
t
)
{\displaystyle t\mapsto f(s,t)}
являются геодезическими,
функция
t
↦
⟨
∂
f
∂
t
,
∂
f
∂
t
⟩
{\displaystyle t\mapsto \left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial t}}\right\rangle }
является постоянным. Таким образом,
∂
∂
s
⟨
∂
f
∂
t
,
∂
f
∂
t
⟩
=
∂
∂
s
⟨
v
+
s
w
N
,
v
+
s
w
N
⟩
=
2
⟨
v
,
w
N
⟩
=
0.
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial s}}\left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {\partial }{\partial s}}\left\langle v+sw_{N},v+sw_{N}\right\rangle =2\left\langle v,w_{N}\right\rangle =0.}
показывать Basic concepts Types of manifolds Main results Generalizations Applications
показывать Basic concepts Main results (list) Maps Types of manifolds Tensors
Related Generalizations