Jump to content

Лемма Гаусса (риманова геометрия)

В римановой геометрии лемма Гаусса утверждает, что любая достаточно малая сфера с центром в точке риманова многообразия перпендикулярна каждой геодезической, проходящей через эту точку. Более формально, пусть M риманово многообразие , снабженное связностью Леви-Чивита , а p точка M. — Экспоненциальное отображение — это отображение касательного пространства в точке p на M :

который является диффеоморфизмом в окрестности нуля. что образ сферы достаточно малого радиуса в TpM Лемма Гаусса утверждает , при экспоненциальном отображении перпендикулярен всем геодезическим, выходящим из точки p . Лемма позволяет понимать экспоненциальную карту как радиальную изометрию и имеет фундаментальное значение при изучении геодезической выпуклости и нормальных координат .

Введение

[ редактировать ]

Определим экспоненциальное отображение в к

где это уникальная геодезическая с и касательная и выбирается достаточно малым, чтобы для каждого геодезический определяется. Итак, если полно, то по Хопфа–Ринова теореме определена на всем касательном пространстве.

Позволять быть кривой, дифференцируемой по такой, что и . С , ясно, что мы можем выбрать . В этом случае по определению дифференциала экспоненты в применяется поверх , получаем:

Итак (при правильной идентификации ) дифференциал это личность. По теореме о неявной функции является диффеоморфизмом в окрестности . Лемма Гаусса теперь говорит, что также является радиальной изометрией.

Экспоненциальная карта представляет собой радиальную изометрию.

[ редактировать ]

Позволять . Далее проводим идентификацию .

Лемма Гаусса гласит: Позволять и . Затем,

Для , эта лемма означает, что является радиальной изометрией в следующем смысле: пусть , то есть такой, что хорошо определен. И пусть . Тогда экспонента остается изометрией в и, в более общем плане, по всей геодезической (поскольку четко определено)! Затем радиально во всех направлениях, разрешенных областью определения , оно остается изометрией.

Экспоненциальная карта как радиальная изометрия

Доказательство

[ редактировать ]

Напомним, что


Мы действуем в три этапа:

  • : построим кривую

такой, что и . С , мы можем поставить . Поэтому,

где является оператором параллельных перевозок и . Последнее равенство верно, поскольку является геодезической, поэтому является параллельным.

Теперь вычислим скалярное произведение .

Мы отделяем в компонент параллельно и компонент нормально для . В частности, мы положили , .

Предыдущий шаг напрямую подразумевает:

Поэтому мы должны показать, что второй член равен нулю, потому что, согласно лемме Гаусса, мы должны иметь:

  •  :
Кривая, выбранная для доказательства леммы

Определим кривую

Обратите внимание, что

Поставим:

и мы рассчитываем:

и

Следовательно

Теперь мы можем убедиться, что это скалярное произведение на самом деле не зависит от переменной , и поэтому, например:

потому что, согласно тому, что было дано выше:

учитывая, что дифференциал является линейным отображением. Таким образом, это докажет лемму.

  • Мы проверяем это : это прямой расчет. Поскольку карты являются геодезическими,

Поскольку карты являются геодезическими, функция является постоянным. Таким образом,

См. также

[ редактировать ]
  • ду Карму, Манфредо (1992), Риманова геометрия , Базель, Бостон, Берлин: Биркхойзер, ISBN  978-0-8176-3490-2
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: e781feaaed4d3c273d90a54183d84a4b__1702765200
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/e7/4b/e781feaaed4d3c273d90a54183d84a4b.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Gauss's lemma (Riemannian geometry) - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)