Лемма Шура (риманова геометрия)

В римановой геометрии лемма Шура — это результат, который эвристически гласит, что всякий раз, когда определенные кривизны являются точечно постоянными, они вынуждены быть глобально постоянными. Доказательство представляет собой, по сути, одношаговый расчет, который имеет только один вход: второе тождество Бьянки.

Лемма Шура для тензора Риччи

Предполагать $(M,g)$ — гладкое риманово многообразие размерности $n.$ Напомним, что это определяет для каждого элемента $p$ из $M$ :

секционная кривизна , которая присваивается каждому двумерному линейному подпространству $V$ из $T_{p}M,$ реальное число $\operatorname {sec} _{p}(V)$
тензор кривизны Римана , который представляет собой полилинейное отображение $\operatorname {Rm} _{p}:T_{p}M\times T_{p}M\times T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R}$
кривизна Риччи , которая представляет собой симметричное билинейное отображение $\operatorname {Ric} _{p}:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R}$
скалярная кривизна , которая является действительным числом $\operatorname {R} _{p}$

Лемма Шура утверждает следующее:

Предположим, что $n$ не равно двум. Если есть функция $\kappa$ на $M$ такой, что $\operatorname {Ric} _{p}=\kappa (p)g_{p}$ для всех $p\in M$ затем $d\kappa (p)=0.$ Эквивалентно, $\kappa$ постоянна на каждой компоненте связности $M$ ; это также можно сформулировать как утверждение, что каждый связный компонент $M$ является многообразием Эйнштейна .

Лемма Шура является простым следствием «дважды сжимаемого второго тождества Бьянки », которое утверждает, что $\operatorname {div} _{g}\operatorname {Ric} ={\frac {1}{2}}dR.$ понимается как равенство гладких 1-форм на $M.$ Подстановка в заданном условии $\operatorname {Ric} _{p}=\kappa (p)g_{p},$ человек обнаруживает, что $\textstyle d\kappa ={\frac {n}{2}}d\kappa .$

Альтернативные формулировки предположений

Позволять $B$ быть симметричной билинейной формой на $n$ -мерное внутреннее пространство продукта $(V,g).$ Затем $|B|_{g}^{2}=\left|B-{\frac {1}{n}}\left(\operatorname {tr} ^{g}B\right)g\right|_{g}^{2}+{\frac {1}{n}}\left(\operatorname {tr} ^{g}B\right)^{2}.$ Кроме того, обратите внимание, что если $B=\kappa g$ на какое-то число $\kappa ,$ тогда автоматически появляется $\kappa ={\frac {1}{n}}\operatorname {tr} ^{g}B.$ { Учитывая эти наблюдения, можно переформулировать лемму Шура в следующей форме:

Позволять $(M,g)$ — связное гладкое риманово многообразие, размерность которого не равна двум. Тогда следующие условия эквивалентны:
Есть функция $\kappa$ на $M$ такой, что $\operatorname {Ric} _{p}=\kappa (p)g_{p}$ для всех $p\in M$

Есть номер $\kappa$ такой, что $\operatorname {Ric} _{p}=\kappa g_{p}$ для всех $p\in M,$ то есть, $(M,g)$ Эйнштейн

У одного есть $\operatorname {Ric} _{p}={\frac {1}{n}}R_{p}g_{p}$ для всех $p\in M,$ то есть бесследовый тензор Риччи равен нулю

$|\operatorname {Ric} |_{g}^{2}=\textstyle {\frac {1}{n}}R^{2}$

$|\operatorname {Ric} |_{g}^{2}\leq \textstyle {\frac {1}{n}}R^{2}.$
Если $(M,g)$ — связное гладкое псевдориманово многообразие, то первые три условия эквивалентны и из них следует четвертое условие.

Обратите внимание, что размерное ограничение важно, поскольку любое двумерное риманово многообразие, не имеющее постоянной кривизны, было бы контрпримером.

Лемма Шура для тензора Римана

Следующее утверждение является непосредственным следствием леммы Шура для тензора Риччи.

Позволять $(M,g)$ — связное гладкое риманово многообразие, размерность которого $n$ не равно двум. Тогда следующие условия эквивалентны:
Есть функция $\kappa$ на $M$ такой, что $\operatorname {sec} _{p}(V)=\kappa (p)$ для всех $p\in M$ и все двумерные линейные подпространства $V$ из $T_{p}M,$

Есть номер $\kappa$ такой, что $\operatorname {sec} _{p}(V)=\kappa$ для всех $p\in M$ и все двумерные линейные подпространства $V$ из $T_{p}M,$ то есть, $(M,g)$ имеет постоянную кривизну

$\operatorname {sec} _{p}(V)={\frac {1}{n(n-1)}}R_{p}$ для всех $p\in M$ и все двумерные линейные подпространства $V$ из $T_{p}M,$

$|\operatorname {Rm} _{p}|_{g}^{2}=\textstyle {\frac {2}{n(n-1)}}R_{p}^{2}$ для всех $p\in M$

сумма кривизны Вейля и полубесследовой части тензора Римана равна нулю

и кривизна Вейля, и полубесследовая часть тензора Римана равны нулю.

Лемма Шура для тензоров Кодацци.

Позволять $(M,g)$ — гладкое риманово или псевдориманово многообразие размерности $n.$ Позволять $h$ Это гладкое симметричное (0,2)-тензорное поле, ковариантная производная которого относительно связности Леви-Чивита вполне симметрична. Условие симметрии является аналогом тождества Бьянки ; продолжая аналогию, можно проследить, чтобы обнаружить, что $\operatorname {div} ^{g}h=d{\big (}\operatorname {tr} ^{g}h{\big )}.$ Если есть функция $\kappa$ на $M$ такой, что $h_{p}=\kappa (p)g_{p}$ для всех $p$ в $M,$ то при замене находим $d\kappa =n\cdot d\kappa .$ Следовательно $n>1$ подразумевает, что $\kappa$ постоянна на каждой компоненте связности $M.$ Как и выше, тогда можно сформулировать лемму Шура в этом контексте:

Позволять $(M,g)$ — связное гладкое риманово многообразие, размерность которого не равна единице. Позволять $h$ — гладкое симметричное (0,2)-тензорное поле, ковариантная производная которого вполне симметрична как (0,3)-тензорное поле. Тогда следующие условия эквивалентны:
есть функция $\kappa$ на $M$ такой, что $h_{p}=\kappa (p)g_{p}$ для всех $p\in M,$

есть номер $\kappa$ такой, что $h_{p}=\kappa g_{p}$ для всех $p\in M,$

$h_{p}={\frac {1}{n}}\left(\operatorname {tr} ^{g}h_{p}\right)g_{p}$ для всех $p\in M,$ то есть бесследная форма $h$ равен нулю

$|h_{p}|_{g}^{2}=\textstyle {\frac {1}{n}}(\operatorname {tr} ^{g}h_{p})^{2}$ для всех $p\in M$

$|h_{p}|_{g}^{2}\leq \textstyle {\frac {1}{n}}(\operatorname {tr} ^{g}h_{p})^{2}$ для всех $p\in M$

Если $(M,g)$ — связное и гладкое псевдориманово многообразие, то первые три эквивалентны и влекут четвертое и пятое.

Приложения

Леммы Шура часто используются для доказательства круглости геометрических объектов. Примечательным примером является характеристика пределов сходящихся геометрических потоков .

Например, ключевая часть прорыва Ричарда Гамильтона в 1982 году в области потока Риччи ^{[ 1 ]} была его «оценка сжатия», которая, неофициально заявленная, гласит, что для римановой метрики, которая появляется в трехмерном потоке Риччи с положительной кривизной Риччи, собственные значения тензора Риччи близки друг к другу относительно размера их суммы. Если нормализовать сумму, то собственные значения будут близки друг к другу в абсолютном смысле. В этом смысле каждая из метрик, возникающих в 3-многообразном потоке Риччи положительной кривизны Риччи, «приблизительно» удовлетворяет условиям леммы Шура. Сама лемма Шура явно не применяется, но ее доказательство эффективно проводится с помощью вычислений Гамильтона.

Точно так же лемма Шура для тензора Римана используется для изучения сходимости потока Риччи в высших измерениях. Это восходит к расширению Герхардом Хейскеном работы Гамильтона на более высокие измерения. ^{[ 2 ]} где основная часть работы заключается в том, что тензор Вейля и полубесследовый тензор Римана обращаются в нуль в долгосрочном пределе. Это распространяется и на более общие теоремы о сходимости потока Риччи, некоторые изложения которых напрямую используют лемму Шура. ^{[ 3 ]} Сюда входит доказательство теоремы о дифференцируемой сфере .

Лемма Шура для тензоров Кодацци используется непосредственно в основополагающей статье Хьюскена о сходимости потока средней кривизны , которая была смоделирована на основе работы Гамильтона. ^{[ 4 ]} В последних двух предложениях статьи Хейскена делается вывод о гладком вложении. $S^{n}\to \mathbb {R} ^{n+1}$ с $|h|^{2}={\frac {1}{n}}H^{2},$ где $h$ является второй фундаментальной формой и $H$ это средняя кривизна. Из леммы Шура следует, что средняя кривизна постоянна, и тогда образ этого вложения должен быть стандартной круглой сферой.

Другое применение связано с полной изотропией и кривизной. Предположим, что $(M,g)$ является связным трижды дифференцируемым римановым многообразием, причем для каждого $p\in M$ группа изометрий $\operatorname {Isom} (M,g)$ действует транзитивно на $T_{p}M.$ Это означает, что для всех $p\in M$ и все $v,w\in T_{p}M$ есть изометрия $\varphi :(M,g)\to (M,g)$ такой, что $\varphi (p)=p$ и $d\varphi _{p}(v)=w.$ Это подразумевает, что $\operatorname {Isom} (M,g)$ также действует транзитивно на ${\text{Gr}}(2,T_{p}M),$ то есть для каждого $P,Q\in {\text{Gr}}(2,T_{p}M)$ есть изометрия $\varphi :(M,g)\to (M,g)$ такой, что $\varphi (p)=p$ и $d\varphi _{p}(P)=Q.$ Поскольку изометрии сохраняют кривизну сечения, это означает, что $\operatorname {sec} _{p}$ является постоянным для каждого $p\in M.$ Из леммы Шура следует, что $(M,g)$ имеет постоянную кривизну. Особенно примечательным применением этого является то, что любое пространство-время , моделирующее космологический принцип, должно быть искривленным произведением интервала и риманова многообразия постоянной кривизны. См. О'Нил (1983, стр. 341).

Стабильность

В недавних исследованиях был изучен случай, когда условия леммы Шура выполняются лишь приблизительно.

Рассмотрим лемму Шура в виде: «Если бесследовый тензор Риччи равен нулю, то скалярная кривизна постоянна». Камилло Де Леллис и Питер Топпинг ^{[ 5 ]} показали, что если бесследовый тензор Риччи примерно равен нулю, то скалярная кривизна примерно постоянна. Именно так:

Предполагать $(M,g)$ — замкнутое риманово многообразие с неотрицательной кривизной Риччи и размерностью $n\geq 3.$ Тогда, где ${\overline {R}}$ обозначает среднее значение скалярной кривизны, имеем $\int _{M}(R-{\overline {R}})^{2}\,d\mu _{g}\leq {\frac {4n(n-1)}{(n-2)^{2}}}\int _{M}{\Big |}\operatorname {Ric} -{\frac {1}{n}}Rg{\Big |}_{g}^{2}\,d\mu _{g}.$

Далее рассмотрим лемму Шура в специальной форме «Если $\Sigma$ представляет собой связную вложенную поверхность в $\mathbb {R} ^{3}$ чья бесследная вторая фундаментальная форма равна нулю, то ее средняя кривизна постоянна». Камилло Де Леллис и Стефан Мюллер ^{[ 6 ]} показали, что если бесследовая вторая фундаментальная форма компактной поверхности примерно равна нулю, то средняя кривизна примерно постоянна. Именно так

есть номер $C$ такая, что для любой гладкой компактной связной вложенной поверхности $\Sigma \subseteq \mathbb {R} ^{3},$ у одного есть $\int _{\Sigma }(H-{\overline {H}})^{2}\,d\mu _{g}\leq C\int _{\Sigma }{\Big |}h-{\frac {1}{2}}Hg{\Big |}_{g}^{2}\,d\mu _{g},$ где $h$ является второй фундаментальной формой, $g$ – индуцированная метрика, а $H$ это средняя кривизна $\operatorname {tr} _{g}h.$

В качестве приложения можно сделать вывод, что $\Sigma$ сама по себе «близка» к круглой сфере.

Ссылки

^ Гамильтон, Ричард С. (1982). «Трёхмногообразия с положительной кривизной Риччи». Журнал дифференциальной геометрии . 17 (2): 255–306.
^ Хейскен, Герхард (1985). «Деформация Риччи метрики на римановом многообразии». Дж. Дифференциальная геометрия . 21 (1): 47–62.
^ Бём, Кристоф; Вилкинг, Буркхард (2008). «Многообразия с операторами положительной кривизны являются пространственными формами». Энн. математики. (2) . 167 (3): 1079–1097.
^ Хейскен, Герхард (1984). «Течение посредством средней кривизны выпуклых поверхностей в сферы». Дж. Дифференциальная геометрия . 20 (1): 237–266.
^ Де Леллис, Камилло; Топпинг, Питер М. (2012). «Почти-лемма Шура». Расчет Вар. Уравнения в частных производных . 443 (3–44): 347–354.
^ Де Леллис, Камилло; Мюллер, Стефан (2005). «Оптимальные оценки жесткости для поверхностей, близких к пупку». Дж. Дифференциальная геометрия . 69 (1): 75–110.

Сошичи Кобаяши и Кацуми Номидзу. Основы дифференциальной геометрии. Том. I. Interscience Publishers, подразделение John Wiley & Sons, Нью-Йорк-Лондон, 1963 xi + 329 стр.
Барретт О'Нил. Полуриманова геометрия. С приложениями к теории относительности. Pure and Applied Mathematics, 103. Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], Нью-Йорк, 1983. xiii+468 стр. ISBN 0-12-526740-1

[1] Гамильтон, Ричард С. (1982). «Трёхмногообразия с положительной кривизной Риччи». Журнал дифференциальной геометрии . 17 (2): 255–306.

[2] Хейскен, Герхард (1985). «Деформация Риччи метрики на римановом многообразии». Дж. Дифференциальная геометрия . 21 (1): 47–62.

[3] Бём, Кристоф; Вилкинг, Буркхард (2008). «Многообразия с операторами положительной кривизны являются пространственными формами». Энн. математики. (2) . 167 (3): 1079–1097.

[4] Хейскен, Герхард (1984). «Течение посредством средней кривизны выпуклых поверхностей в сферы». Дж. Дифференциальная геометрия . 20 (1): 237–266.

[5] Де Леллис, Камилло; Топпинг, Питер М. (2012). «Почти-лемма Шура». Расчет Вар. Уравнения в частных производных . 443 (3–44): 347–354.

[6] Де Леллис, Камилло; Мюллер, Стефан (2005). «Оптимальные оценки жесткости для поверхностей, близких к пупку». Дж. Дифференциальная геометрия . 69 (1): 75–110.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

v т и Риманова геометрия ( Глоссарий )
Basic concepts	Curvature tensor Scalar Ricci Sectional Exponential map Geodesic Inner product Metric tensor Levi-Civita connection Covariant derivative Signature Raising and lowering indices/Musical isomorphism Parallel transport Riemannian manifold Pseudo-Riemannian manifold Riemannian volume form
Types of manifolds	Hermitian Hyperbolic Kähler Kenmotsu
Main results	Fundamental theorem of Riemannian geometry Gauss's lemma Gauss–Bonnet theorem Hopf–Rinow theorem Nash embedding theorem Ricci flow Schur's lemma
Generalizations	Finsler Hilbert Sub-Riemannian
Applications	General relativity Geometrization conjecture Poincaré conjecture Uniformization theorem