Геометрический поток

В математической области дифференциальной геометрии геометрический поток , также называемый геометрическим уравнением эволюции , представляет собой тип уравнения в частных производных для геометрического объекта, такого как риманова метрика или вложение . Это не термин с формальным значением, но обычно его понимают как относящийся к параболическим уравнениям в частных производных .

Определенные геометрические потоки возникают как градиентный поток , связанный с функционалом на многообразии , имеющим геометрическую интерпретацию, обычно связанную с некоторой внешней или внутренней кривизной . Такие потоки фундаментально связаны с вариационным исчислением и включают поток средней кривизны и поток Ямабе .

Примеры

Внешний

Внешние геометрические потоки — это потоки во вложенных подмногообразиях или, в более общем смысле, погруженные подмногообразия . В общем случае они меняют как риманову метрику, так и погружение.

• Поток средней кривизны , как в мыльных пленках ; критические точки - минимальные поверхности
• Поток, сокращающий кривую , одномерный случай течения средней кривизны
• Поток Уиллмора , как при минимаксных выворотах сфер
• Обратный поток средней кривизны

Внутренний

Внутренние геометрические потоки — это потоки в римановой метрике , не зависящие от какого-либо вложения или погружения.

• Поток Риччи , как в решении гипотезы Пуанкаре , и Ричарда С. Гамильтона доказательство теоремы униформизации.
• Поток Калаби — поток для метрик Кэлера.
• Ямабе поток

Классы потоков

Важными классами потоков являются потоки кривизны , вариационные потоки (которые экстремизируют некоторый функционал) и потоки, возникающие как решения параболических уравнений в частных производных . Данный поток часто допускает все эти интерпретации следующим образом.

Дан эллиптический оператор $L,$ параболический PDE $u_{t}=Lu$ дает поток, а стационарные состояния потока являются решениями эллиптического уравнения в частных производных $Lu=0.$

Если уравнение $Lu=0$ – уравнение Эйлера–Лагранжа для некоторого функционала $F,$ то течение имеет вариационную интерпретацию как градиентное течение $F,$ а стационарные состояния потока соответствуют критическим точкам функционала.

В контексте геометрических потоков функционал часто является $L^{2}$ норма некоторой кривизны.

Таким образом, учитывая кривизну $K,$ можно определить функционал $F(K)=\|K\|_{2}:=\left(\int _{M}K^{2}\right)^{1/2}.$ которое имеет уравнение Эйлера – Лагранжа $Lu=0$ для некоторого эллиптического оператора $L,$ и связанный с ним параболический PDE $u_{t}=Lu.$

поток Риччи , поток Калаби и поток Ямабе Таким образом возникают (в некоторых случаях с нормализациями) .

Потоки кривизны могут сохранять или не сохранять объем (поток Калаби сохраняет, а поток Риччи — нет), а если нет, поток может просто сжимать или увеличивать многообразие, вместо того, чтобы регуляризировать метрику. Таким образом, часто нормализуют поток, например, фиксируя объем.

См. также

• Гармоническая карта теплового потока

Ссылки

• Бакас, Иоаннис (14 октября 2005 г.) [28 июля 2005 г. (т. 1)]. «Алгебраическая структура геометрических потоков в двух измерениях». Журнал физики высоких энергий . 2005 (10): 038. arXiv : hep-th/0507284 . Бибкод : 2005JHEP...10..038B . дои : 10.1088/1126-6708/2005/10/038 . S2CID   15924056 .

• Бакас, Иоаннис (2007). «Уравнения ренормгруппы и геометрические потоки». arXiv : hep-th/0702034 .