Поток Калаби

В математических областях дифференциальной геометрии и геометрического анализа поток Калаби представляет собой геометрический поток , который деформирует метрику Кэлера на комплексном многообразии . Точнее, для кэлерова многообразия M поток Калаби задается формулой:

${\frac {\partial g_{\alpha {\overline {\beta }}}}{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}R^{g}}{\partial z^{\alpha }\partial {\overline {z}}^{\beta }}}$,

где g — отображение открытого интервала в совокупность всех кэлеровых метрик на M , R ^г — скалярная кривизна отдельной кэлеровой метрики, а индексы α, β соответствуют произвольным голоморфным координатам z ^а . Это геометрический поток четвертого порядка, поскольку правая часть уравнения включает четвертые производные от g .

Поток Калаби был введен Эухенио Калаби в 1982 году как предложение для построения экстремальных кэлеровых метрик , которые также были введены в той же статье. Это градиентный поток Функционал Калаби ; экстремальные метрики Кэлера являются критическими точками функционала Калаби.

Теорема о сходимости потока Калаби была найдена Петром Хрусцелем в случае, когда M имеет комплексную размерность, равную единице. Сюсюн Чен и другие провели ряд дальнейших исследований потока, хотя по состоянию на 2020 год поток все еще недостаточно изучен.

Ссылки

• Эудженио Калаби. Экстремальные метрики Кэлера. Энн. математики. Стад. 102 (1982), стр. 259–290. Семинар по дифференциальной геометрии. Издательство Принстонского университета (PUP), Принстон, Нью-Джерси
• Э. Калаби и ХХ Чен. Пространство кэлеровой метрики. II. Дж. Дифференциальная геометрия. 61 (2002), вып. 2, 173–193.
• XX Чен и WY Хэ. О течении Калаби. амер. Дж. Математика. 130 (2008), вып. 2, 539–570.
• Петр Т. Хрушель. Полуглобальное существование и сходимость решений уравнения Робинсона-Траутмана (двумерного Калаби). Комм. Математика. Физ. 137 (1991), вып. 2, 289–313.