Уиллмор Энерджи

Скульптура «Поверхность Уиллмора» в Даремском университете в память о Томасе Уиллморе

В дифференциальной геометрии является энергия Уиллмора количественной мерой того, насколько данная поверхность отклоняется от круглой сферы . Математически энергия Уиллмора гладкой замкнутой поверхности, заключенной в трехмерном евклидовом пространстве, определяется как интеграл квадрата средней кривизны минус гауссова кривизна . Назван в честь английского геометра Томаса Уиллмора .

Определение

Выражаясь символически, энергия Уиллмора S равна:

${\mathcal {W}}=\int _{S}H^{2}\,dA-\int _{S}K\,dA$

где $H$ средняя кривизна , $K$ — гауссова кривизна , а dA форма площади S. — Для замкнутой поверхности по теореме Гаусса – Бонне интеграл гауссовой кривизны можно вычислить через эйлерову характеристику. $\chi (S)$ поверхности, поэтому

$\int _{S}K\,dA=2\pi \chi (S),$

который является топологическим инвариантом и, следовательно, не зависит от конкретного вложения в $\mathbb {R} ^{3}$ это было выбрано. Таким образом, энергию Уиллмора можно выразить как

${\mathcal {W}}=\int _{S}H^{2}\,dA-2\pi \chi (S)$

Альтернативная, но эквивалентная формула:

${\mathcal {W}}={1 \over 4}\int _{S}(k_{1}-k_{2})^{2}\,dA$

где $k_{1}$ и $k_{2}$ – главные кривизны поверхности.

Характеристики

Энергия Уиллмора всегда больше или равна нулю. Круглая сфера имеет нулевую энергию Уиллмора.

Энергию Уиллмора можно рассматривать как функционал в пространстве вложений данной поверхности в смысле вариационного исчисления , и можно варьировать вложение поверхности, оставляя ее топологически неизменной.

Критические точки

Основная задача вариационного исчисления — найти критические точки и минимумы функционала.

Для данного топологического пространства это эквивалентно нахождению критических точек функции

$\int _{S}H^{2}\,dA$

поскольку эйлерова характеристика постоянна.

Можно найти (локальные) минимумы энергии Уиллмора с помощью градиентного спуска , который в данном контексте называется потоком Уиллмора.

Для вложений сферы в трехмерное пространство критические точки были классифицированы: все они являются конформными преобразованиями минимальных поверхностей , круглая сфера является минимальной, а все остальные критические значения являются целыми числами, большими 4. $\pi$. Их называют поверхностями Уиллмора.

Уиллмор Флоу

Поток Уиллмора — это геометрический поток , соответствующий энергии Уиллмора;это $L^{2}$- градиентное течение .

$e[{\mathcal {M}}]={\frac {1}{2}}\int _{\mathcal {M}}H^{2}\,\mathrm {d} A$

где H обозначает кривизну многообразия среднюю ${\mathcal {M}}$.

Линии потока удовлетворяют дифференциальному уравнению:

$\partial _{t}x(t)=-\nabla {\mathcal {W}}[x(t)]\,$

где $x$ — точка, принадлежащая поверхности.

Этот поток приводит к проблеме эволюции в дифференциальной геометрии : поверхность ${\mathcal {M}}$ развивается во времени, чтобы следить за изменениями наискорейшего спуска энергии. Как и поверхностная диффузия, это реакция четвертого порядка. поток, поскольку изменение энергии содержит четвертые производные.

Приложения

• Клеточные мембраны имеют тенденцию располагаться так, чтобы минимизировать энергию Уиллмора.
• Энергия Уиллмора используется при построении класса оптимальных сферических выворотов — минимаксных выворотов .

См. также

• Гипотеза Уиллмора

Ссылки

• Уиллмор, Т.Дж. (1992), «Обзор погружений Уиллмора», Геометрия и топология подмногообразий, IV (Лёвен, 1991) , River Edge, Нью-Джерси: World Scientific, стр. 11–16, MR   1185712 .