Гипотеза Уиллмора

Тор с минимальной энергией Уиллмора, с большим радиусом √ 2 и малым радиусом 1.

В дифференциальной геометрии представляет гипотеза Уиллмора собой границу энергии Уиллмора тора нижнюю . Оно названо в честь английского математика Тома Уиллмора , выдвинувшего его в 1965 году. Доказательство Фернандо Кода Маркеса и Андре Невеса было анонсировано в 2012 году и опубликовано в 2014 году.

Уиллмор Энерджи

Основная статья: Уиллмор Энерджи

Let v  :  M  →  R ³ — гладкое погружение компактной ​ ориентируемой поверхности . Присвоив M риманову метрику, индуцированную v , пусть H : M → R — средняя кривизна ( среднее арифметическое главных кривизн κ ₁ и κ ₂ в каждой точке). В этих обозначениях энергия Уиллмора W ( M ) M определяется выражением

$W(M)=\int _{M}H^{2}\,dA.$

Нетрудно доказать, что энергия Уиллмора удовлетворяет условию W ( M ) ≥ 4 π , причем равенство тогда и только тогда, когда M — вложенная круглая сфера .

Заявление

Расчет W ( M ) для нескольких примеров предполагает, что должна быть лучшая оценка, чем W ( M ) ≥ 4 π для поверхностей рода g ( M ) > 0. В частности, расчет W ( M ) для торов с различными Симметрии побудили Уиллмора выдвинуть в 1965 году следующую гипотезу, которая теперь носит его имя.

Для любого гладкого погруженного тора M в R ³ , W ( M ) ≥ 2 π ² .

В 1982 году Питер Вай-Квонг Ли и Шинг-Тунг Яу доказали гипотезу в невложенном случае, показав, что если $f:\Sigma \to S^{3}$ является погружением компактной поверхности, не являющейся вложением , то W ( M ) не меньше 8 π .

В 2012 году Фернандо Кода Маркес и Андре Невес доказали гипотезу во вложенном случае, используя мин-макс теорию Альмгрена-Питтса минимальных поверхностей . Мартин Шмидт потребовал доказательства в 2002 году: но она не была принята к публикации ни в одном рецензируемом математическом журнале (хотя она и не содержала доказательства гипотезы Уиллмора, он доказал в ней некоторые другие важные гипотезы). До доказательства Маркеса и Невеса гипотеза Уиллмора уже была доказана для многих особых случаев, таких как трубчатые торы (сам Уиллмор) и для ( Лангер торов вращения и Сингер).