Минимаксная эверсия

В геометрии , минимаксные вывороты — это класс сферических выворотов построенных с использованием половинных моделей .

Это вариационный метод, состоящий из особых гомотопий (они представляют собой кратчайшие пути относительно энергии Уиллмора ); контрастируют с гофрами Терстона, которые являются общими.

Исходный метод половинных моделей не был оптимальным: регулярные гомотопии проходили через промежуточные модели, но путь от круглой сферы к промежуточной модели строился вручную и не был градиентным подъемом/спуском.

Вывороты с использованием половинных моделей называют выворотами табачного мешочка . Фрэнсис и Морен ^[1]

Полуавтоматические модели

Половинчатая модель – это погружение сферы. $S^{2}$ в $\mathbb {R} ^{3}$ , которая названа так потому, что находится на полпути выворота сферы . Этот класс выворотов обладает временной симметрией: первая половина правильной гомотопии переходит от стандартной круглой сферы к половинной модели, а вторая половина (которая идет от половинной модели к вывернутой наизнанку сфере) тот же процесс в обратном порядке.

Объяснение

Минимаксная выворотная сфера; см. страницу видео на Wikimedia Commons для описания содержания видео.

Роб Куснер предложил оптимальные вывороты, используя энергию Уиллмора в пространстве всех погружений сферы. $S^{2}$ в $\mathbf {R} ^{3}$ .Круглая сфера и круглая сфера, вывернутая наизнанку, представляют собой уникальные глобальные минимумы энергии Уиллмора, а минимаксная эверсия — это путь, соединяющий их путем прохождения через седловую точку (как путешествие между двумя долинами через горный перевал). ^[2]

Половинные модели Куснера являются седловыми точками для энергии Уиллмора, возникающей (согласно теореме Брайанта) из некоторых полных минимальных поверхностей в трехмерном пространстве; минимаксные вывороты состоят из градиентного подъема от круглой сферы к модели на полпути, затем градиентного спуска вниз (градиентный спуск для энергии Уиллмора называется потоком Уиллмора ). Более симметрично: начните с средней модели; толкните в одном направлении и следуйте за потоком Уиллмора вниз к круглой сфере; толкните в противоположном направлении и следуйте за потоком Уиллмора вниз к вывернутой наизнанку круглой сфере.

Существует два семейства половинных моделей (это наблюдение принадлежит Фрэнсису и Морену):

нечетный порядок: обобщающая поверхность Боя : 3-кратная, 5-кратная и т. д., симметрия; Половинная модель представляет собой проективную плоскость с двойным покрытием (обычно погруженная сфера 2-1).
четный порядок: обобщающая поверхность Морена : 2-кратная, 4-кратная и т. д., симметрия; Половинная модель представляет собой, как правило, погруженную сферу 1-1, а поворот на половину симметрии меняет местами листы сферы.

История

Первый явный выворот сферы был осуществлен Шапиро и Филлипсом в начале 1960-х годов, используя поверхность Боя в качестве промежуточной модели. Позже Морен обнаружил поверхность Морена и использовал ее для построения других выворотов сфер. Куснер придумал минимаксную эверсию в начале 1980-х годов: исторические подробности .

Ссылки

^ Дж. Скотт Картер (2012). Экскурс в диаграммную алгебру: превращение сферы из красной в синюю . Всемирная научная. стр. 17–. ISBN 978-981-4374-50-7 .
^ Мишель Эммер (2005). Визуальный разум II . МТИ Пресс. стр. 485 –. ISBN 978-0-262-05076-0 .

Изгибание энергии и минимаксные вывороты (в Джона М. Салливана книге «Оптиверс» и другие вывороты сфер )

[Carter2012-1] Дж. Скотт Картер (2012). Экскурс в диаграммную алгебру: превращение сферы из красной в синюю . Всемирная научная. стр. 17–. ISBN 978-981-4374-50-7 .

[Emmer2005-2] Мишель Эммер (2005). Визуальный разум II . МТИ Пресс. стр. 485 –. ISBN 978-0-262-05076-0 .

[1]

[2]