Поверхность Морена

Поверхность Морена — это половинчатая модель открытая выворота сферы, Бернаром Мореном . Он обладает четырехкратной вращательной симметрией .

Если внешняя поверхность исходной сферы, подлежащей вывороту, окрашена в зеленый цвет, а внутренняя поверхность - в красный цвет, то когда сфера посредством гомотопии преобразуется в поверхность Морена, половина видимой снаружи поверхности Морена будет зеленой, а половина - красной:

Половина поверхности Морена соответствует внешней (зеленой) поверхности сферы.
которому он гомеоморфен, а другая симметричная половина - внутренней (красная).

Затем поворот поверхности на 90° вокруг оси симметрии поменяет ее цвета, т. е. поменяет внутреннюю и внешнюю полярность ориентируемой поверхности, так что повторение шагов гомотопии точно в том же положении обратно к исходной сфере после Повернутая таким образом поверхность Морена даст сферу, внешняя поверхность которой красная, а внутренняя поверхность зеленая: сфера, вывернутая наизнанку. Ниже приводится краткое описание выворота:

1. сфера: зеленая снаружи, красная внутри...
2. превращается в...
3. Поверхность Морена,
3'. Поверхность Морена повернута на 90°...
2'. обратно превращается в...
1'. сфера: красная снаружи, зеленая внутри.

Структура поверхности Морена

Поверхность Морена можно разделить на четыре конгруэнтные четверти. Эти секции могут быть здесь названы секциями Восток, секция Юг, секция Запад и секция Север, или — соответственно — секция 0, секция 1, секция 2 и секция 3.

Участок к востоку от поверхности Морена.

Поверхность Морена имеет четверную точку, через которую проходит ее ось симметрии. Эта четверная точка является начальной и конечной точкой шести линий двойных точек. Каждая из четвертей ограничена тремя такими линиями двойных точек, так что каждая четверть сечения гомеоморфна треугольнику. Раздел Восток теперь показан схематически:

На схеме показан участок Восток, ограниченный тремя петлями: ABCDA, AEFGA и AHIJA. Третья петля, АХИЯ, представляет собой линию двойных точек, где участок Восток пересекается сам с собой. Петля ABCDA представляет собой только линию двойных точек, когда секция Восток соединяется с секцией Запад, а петля AEFGA представляет собой только линию двойных точек, когда секция Восток соединяется с секцией Юг. Точка — это четверная точка, которая на самом деле представляет собой перекрытие четырех разных точек: A ₀ , A ₁ , A ₂ , A ₃ .

Вот как секция Восток соединяется с другими секциями: пусть каждая из ее ограничивающих петлей задана упорядоченной пятеркой точек, тогда

(A_{1},B,C,D,A_{3})=(A_{1},D'',C'',B'',A_{3})

(A_{2},E,F,G,A_{3})=(A_{2},H',I',J',A_{3})

(A_{1},H,I,J,A_{2})=(A_{1},E''',F''',G''',A_{2})

где точки без штриха относятся к разделу 0 (восток), точки со штрихом относятся к разделу 1 (Юг), точки с двойным штрихом относятся к разделу 2 (Запад), а точки с тройным штрихом относятся к разделу 3 (Север).

Остальные три петли соединяют секции следующим образом:

(A_{2},B',C',D',A_{0})=(A_{2},D''',C''',B''',A_{0})

(A_{3},E',F',G',A_{0})=(A_{3},H'',I'',J'',A_{0})

(A_{0},E'',F'',G'',A_{1})=(A_{0},H''',I''',J''',A_{1}).

Секция Восток, если рассматривать ее отдельно, имеет одну петлю из двойных точек: АХИДЖА. Если поверхность размотать и выровнять, результат будет следующий:

который гомеоморфен треугольнику:

Соединение четырех треугольных секций по швам даст тетраэдр :

который гомеоморфен сфере, что показывает, что поверхность Морена является самопересекающейся сферой.

Галерея поверхностей Морена

Четыре разных вида поверхности Морена: первые два показаны с вырезанными «проходными барьерами», последние два — вид «снизу».

Аналитическая поверхность Морена

Поверхность Морена можно элегантно описать системой уравнений ^[1] либо в открытом варианте (с полюсами, обращенными в бесконечность), либо в закрытом варианте.