Выворот сферы

Процесс выворота сферы, как описано в ^[1]

В дифференциальной топологии выворот сферы — это процесс выворачивания сферы наизнанку в трехмерном пространстве (слово «выворот» означает «выворот наизнанку»). Примечательно, что таким образом можно плавно и непрерывно выворачивать сферу наизнанку (позволяя самопересечения поверхности сферы), не разрезая, не разрывая ее и не создавая складок . Это удивительно как для нематематиков, так и для тех, кто понимает регулярную гомотопию , и может рассматриваться как настоящий парадокс ; это то, что, хотя и верно, на первый взгляд кажется ложным.

Точнее, пусть

f\colon S^{2}\to \mathbb {R} ^{3}

быть стандартным вложением ; тогда существует гомотопия погружений регулярная

f_{t}\colon S^{2}\to \mathbb {R} ^{3}

такие, что ƒ ₀ = ƒ и ƒ ₁ = − ƒ .

История [ править ]

Доказательство существования выворота сферы без складок было впервые создано Стивеном Смейлом ( 1957 ).Трудно представить себе конкретный пример такого поворота, хотя некоторые цифровые анимации были созданы , которые несколько облегчают его. Первый пример был продемонстрирован усилиями нескольких математиков, в том числе Арнольда С. Шапиро и Бернара Морена слепого . С другой стороны, гораздо легче доказать существование такого «поворота», что и сделал Смейл.

Наставник Смейла Рауль Ботт сначала сказал Смейлу, что результат явно неправильный ( Levy 1995 ). Его рассуждения заключались в том, что степень должна отображения Гаусса не существует сохраняться при таком «повороте» - в частности, из этого следует, что такого поворота S . ¹ в Р ². Но степени отображения Гаусса вложений f и − f в R ³ оба равны 1 и не имеют противоположных знаков, как можно было бы ошибочно догадаться. Степень отображения Гаусса всех погружений S ² в Р ³ равно 1, поэтому препятствий нет. Термин «истинный парадокс», возможно, более уместен на этом уровне: до работы Смейла не было документально подтвержденных попыток аргументировать за или против выворота S. ², а более поздние усилия оглядываются назад, поэтому никогда не было исторического парадокса, связанного с выворотом сферы, а только понимание тонкостей его визуализации теми, кто впервые столкнулся с этой идеей.

См . h -принцип для дальнейших обобщений.

Доказательство [ править ]

Первоначальное доказательство Смейла было косвенным: он отождествлял (регулярные гомотопические) классы погружений сфер с гомотопической группой многообразия Стифеля . Поскольку гомотопическая группа, соответствующая погружениям $S^{2}$ в $\mathbb {R} ^{3}$ исчезает, то стандартное вложение и вложение наизнанку должны быть регулярными гомотопными. В принципе, доказательство можно развернуть и получить явную регулярную гомотопию, но сделать это непросто.

Существует несколько способов создания явных примеров и математической визуализации :

Минимаксная выворотная сфера; см. страницу видео на Wikimedia Commons для описания содержания видео.

Половинчатые модели : они состоят из совершенно особых гомотопий. Это оригинальный метод, впервые использованный Шапиро и Филлипсом с использованием поверхности Боя , а затем усовершенствованный многими другими. Исходные гомотопии половинной модели были построены вручную и работали топологически, но не были минимальными. Фильм, созданный Нельсоном Максом в течение семи лет и основанный на сетчатых моделях Чарльза Пью (впоследствии украденных с математического факультета Беркли), стал для своего времени «туром силы» в области компьютерной графики и установил эталон компьютерной анимации на протяжении многих лет. Более недавнее и окончательное графическое усовершенствование (1980-е годы) — это минимаксные вывороты , которые представляют собой вариационный метод и состоят из особых гомотопий (они представляют собой кратчайшие пути относительно энергии Уиллмора ). В свою очередь, понимание поведения энергии Уиллмора требует понимания решений дифференциальных уравнений в частных производных четвертого порядка, и поэтому визуально красивые и запоминающиеся изображения опровергают некоторые очень глубокие математические аспекты, выходящие за рамки оригинального абстрактного доказательства Смейла.

Выворот сферы с использованием гофр Терстона; см. страницу видео на Wikimedia Commons для описания содержания видео.

Гофры Терстона : это топологический метод и общий; он берет гомотопию и возмущает ее так, что она становится регулярной гомотопией. Это проиллюстрировано в компьютерной графике анимации «Снаружи внутри», разработанной в Центре геометрии под руководством Сильвио Леви, Делле Максвелл и Тамары Мюнцнер . ^[2]
Объединив вышеуказанные методы, полную выворот сферы можно описать системой замкнутых уравнений, обеспечивающих минимальную топологическую сложность. ^[1]

Вариации [ править ]

Шестимерная сфера $S^{6}$ в семимерном евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{7}$ допускает выворот. ^[3] В очевидном случае 0-мерной сферы $S^{0}$ (две различные точки) на прямой линии $\mathbb {R}$ и описанный выше случай двумерной сферы в $\mathbb {R} ^{3}$ есть только три случая, когда сфера $S^{n}$ встроенный в евклидово пространство $\mathbb {R} ^{n+1}$ допускает выворот.

Галерея шагов выворота [ править ]

Поверхностные графики
Линейчатая модель полпути с четверной точкой вид сверху диагональный вид вид сбоку	Закрыто наполовину вид сверху диагональный вид вид сбоку	Управляемая модель смерти тройных точек вид сверху диагональный вид вид сбоку
Линейчатая модель конца центральной петли пересечения вид сверху диагональный вид вид сбоку	Линейчатая модель последнего этапа вид сверху диагональный вид вид сбоку

Открытая модель с нейлоновыми струнами.

на полпути к вершине

на полпути

Тройная вершина смерти

тройная сторона смерти

пересечение конец верх

конечная сторона перекрестка

См. также [ править ]

Теорема Уитни – Граустейна

Ссылки [ править ]

↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Беднорц, Адам; Беднорц, Витольд (2019). «Аналитический выворот сферы с использованием линейчатых поверхностей». Дифференциальная геометрия и ее приложения . 64 : 59–79. arXiv : 1711.10466 . дои : 10.1016/j.difgeo.2019.02.004 . S2CID 119687494 .
^ «Снаружи внутри: Введение» . Геометрический центр . Проверено 21 июня 2017 г.
^ Горюнов, Виктор Васильевич (1997). «Локальные инварианты отображений поверхностей в трехмерное пространство». Математические семинары Арнольда–Гельфанда . Бостон, Массачусетс: Биркхойзер. стр. 223–255. ISBN 0-8176-3883-0 .

Библиография [ править ]

Иэн Р. Эйчисон (2010) «Холиверс»: целостный выворот 2-сферы в R^3 , препринт. arXiv: 1008.0916.
Джон Б. Этнайр (2004) Обзор «h-принципов и гибкости в геометрии», MR 1982875 .
Фрэнсис, Джордж К. (2007), Топологическая книжка с картинками , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-34542-0 , МР 2265679
Джордж К. Фрэнсис и Бернар Морен (1980) «Выворот сферы Арнольда Шапиро», Mathematical Intelligencer 2 (4): 200–3.
Леви, Сильвио (1995), «Краткая история выворотов сфер» , Создание волн , Уэлсли, Массачусетс: AK Peters Ltd., ISBN 978-1-56881-049-2 , МР 1357900
Макс, Нельсон (1977) «Выворачивая сферу наизнанку», https://www.crcpress.com/Turning-a-Sphere-Inside-Out-DVD/Max/9781466553941. Архивировано 4 марта 2016 г. в Wayback Machine.
Энтони Филлипс (май 1966 г.) «Выворачивание поверхности наизнанку», Scientific American , стр. 112–120.
Смейл, Стивен (1958), «Классификация погружений двухсфер», Труды Американского математического общества , 90 (2): 281–290, doi : 10.2307/1993205 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1993205 , MR 0104227

Внешние ссылки [ править ]

История выворотов сфер, заархивированная 11 июля 2020 г. в Wayback Machine.
«Выворачивание сферы наизнанку»
Программное обеспечение для визуализации выворота сферы
Математическая визуализация: топология. Выворот сферы холивёрса (анимация Povray)
Выворот сферы деНеве/Хиллса: видео и интерактивная модель
Проект Патрика Массо по формализации доказательства в средстве доказательства теорем бережливого производства.
Интерактивное исследование метода выворота сферы Адама Беднорца и Витольда Беднорца.
Снаружи внутри : видеоисследование выворота сферы, созданное Центром геометрии Университета Миннесоты .

[sev-eq-1] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Беднорц, Адам; Беднорц, Витольд (2019). «Аналитический выворот сферы с использованием линейчатых поверхностей». Дифференциальная геометрия и ее приложения . 64 : 59–79. arXiv : 1711.10466 . дои : 10.1016/j.difgeo.2019.02.004 . S2CID 119687494 .

[2] «Снаружи внутри: Введение» . Геометрический центр . Проверено 21 июня 2017 г.

[3] Горюнов, Виктор Васильевич (1997). «Локальные инварианты отображений поверхностей в трехмерное пространство». Математические семинары Арнольда–Гельфанда . Бостон, Массачусетс: Биркхойзер. стр. 223–255. ISBN 0-8176-3883-0 .

[1]

[2]

[3]