Математическая визуализация

О математической визуализации в контексте науки см. Scientific_visualization § In_mathematics .

Множество Мандельброта — один из самых известных примеров математической визуализации.

Математические явления можно понять и исследовать с помощью визуализации . Классически это состояло из двухмерных рисунков или создания трехмерных моделей (особенно гипсовых моделей в 19 и начале 20 века), тогда как сегодня оно чаще всего состоит из использования компьютеров для создания статичных двух или трехмерных рисунков, анимации или интерактивных программ. . Написание программ для визуализации математики является аспектом вычислительной геометрии .

Приложения

Математическая визуализация используется во всей математике, особенно в области геометрии и анализа . Яркие примеры включают плоские кривые , пространственные кривые , многогранники , обыкновенные дифференциальные уравнения , уравнения в частных производных (особенно численные решения, как в гидродинамике или минимальных поверхностях, таких как мыльные пленки ), конформные карты , фракталы и хаос .

Геометрия

Иллюстрация теоремы Дезарга , важного результата евклидовой и проективной геометрии.

Геометрию можно определить как изучение форм, их размеров, углов, размеров и пропорций.

Линейная алгебра

В трехмерном евклидовом пространстве эти три плоскости представляют собой решения линейных уравнений, а их пересечение представляет собой множество общих решений: в данном случае — единственную точку. Синяя линия — общее решение двух из этих уравнений.

Комплексный анализ

Раскраска домена :

ж ( Икс ) знак равно ( х ² -1)( Икс -2- я ) ² / х ² +2+2 я

В комплексном анализе функции комплексной плоскости по своей сути являются четырехмерными, но нет естественной геометрической проекции на визуальные представления более низких измерений. Вместо этого цветовое зрение используется для захвата пространственной информации с использованием таких методов, как раскраска доменов .

Теория хаоса

График аттрактора Лоренца для значений r = 28 , σ = 10 , b = 8/3

Дифференциальная геометрия

Минимальная поверхность Косты

Топология

Таблица всех простых узлов с семью пересечениями или меньше (не включая зеркальные изображения).

Многие люди обладают ярким «мысленным взором», но группа британских ученых обнаружила, что десятки миллионов людей не могут вызывать в воображении образы. Отсутствие мысленной камеры известно как афантазия, и еще миллионы людей испытывают необычайно сильные мысленные образы, называемые гиперфантазией. Исследователи изучают, как эти два состояния возникают в результате изменений в проводке мозга.

Визуализация сыграла важную роль на заре развития топологической теории узлов, когда многогранные разложения использовались для вычисления гомологии накрывающих пространств узлов. Распространив на 3 измерения физически невозможные римановы поверхности , используемые для классификации всех замкнутых ориентируемых 2-многообразий, диссертация Хегора 1898 года «рассматривала» аналогичные структуры для функций двух комплексных переменных, взяв воображаемую 4-мерную поверхность в евклидовом 6-мерном пространстве (соответствующую функцию f=x^2-y^3) и стереографически (с кратностями) проецируем ее на трехмерную сферу. В 1920-х годах Александер и Бриггс использовали эту технику для вычисления гомологии циклических разветвленных накрытий узлов с 8 или меньшим количеством пересечений, успешно отличая их друг от друга (и узла). К 1932 году Райдемайстер расширил это число до 9 пересечений, полагаясь на связывающие числа между кривыми ветвления нециклических узловых покрытий. Тот факт, что эти воображаемые объекты не имеют «реального» существования, не мешает их полезности для доказательства различимости узлов. Это был ключ к открытию Перко в 1973 году повторяющегося типа узлов в таблице Литтла 1899 года с 10 пересекающимися узлами.

Теория графов

Силовая сетевая визуализация.

Группы перестановок имеют красивую визуализацию своих элементов, которая помогает объяснить их структуру — например, повернутые и перевернутые правильные p-угольники, составляющие группу диэдра порядка 2p. Их можно использовать, чтобы «увидеть» отношения между числами зацеплений между кривыми ветвления двугранных пространств, охватывающих узлы и связи.

Комбинаторика

Пример звонка перемен (с шестью колокольчиками), один из самых ранних нетривиальных результатов в теории графов .

Клеточные автоматы

Госпера Планер создает « планеры » в клеточном автомате « Игра жизни» Конвея.

Стивена Вольфрама Книга о клеточных автоматах « Новый вид науки» (2002 г.) — одна из наиболее наглядных книг, опубликованных в области математики. Его критиковали за то, что он слишком нагляден и много информации передается с помощью изображений, не имеющих формального значения.

Расчет

«Неэлегантный» - это перевод версии алгоритма Кнута с циклом остатка на основе вычитания, заменяющим его использование деления (или инструкции «модуля»). Получено из Кнута 1973: 2–4.

Другие примеры

Доказательство без слов в теоремы Пифагора Чжоуби Суаньцзин .

• Доказательства без слов существовали с древности, как, например, доказательство теоремы Пифагора, найденное в китайском тексте Чжоуби Суаньцзин , датируемом 1046–256 годами до нашей эры.
• демонстрирует Диагональная поверхность Клебша 27 линий на кубической поверхности .

Поверхность Морена , половина пути выворачивания сферы наизнанку .

• Выворот сферы – то, что сферу можно вывернуть наизнанку в трех измерениях, если ей позволить пройти через себя, но без перегибов – был поразительным и нелогичным результатом, первоначально доказанным абстрактными средствами, позже продемонстрированным графически, сначала на рисунках, а затем в компьютерная анимация.

На обложке журнала « Уведомления Американского математического общества» регулярно присутствует математическая визуализация.

Три случайных блуждания

См. также

• Математическая диаграмма
• Геометрический центр

Ссылки

• Пале, Ричард С. (июнь – июль 1999 г.), «Визуализация математики: на пути к математическому эксплораториуму» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 46 (6): 647–658

Внешние ссылки

• Виртуальный математический музей