Фрактальное сжатие

Фрактальное сжатие — это с потерями метод сжатия цифровых изображений , основанный на фракталах . Этот метод лучше всего подходит для текстур и естественных изображений, поскольку части изображения часто напоминают другие части того же изображения. ^[1] Фрактальные алгоритмы преобразуют эти части в математические данные, называемые «фрактальными кодами», которые используются для воссоздания закодированного изображения.

Итерированные функциональные системы [ править ]

Представление фрактального изображения можно математически описать как систему итерированных функций (IFS). ^[2]

Для бинарных изображений [ править ]

Начнем с представления двоичного изображения , где изображение можно рассматривать как подмножество $\mathbb {R} ^{2}$ . IFS — это набор сжимающих отображений ƒ ₁ ,..., ƒ _N ,

f_{i}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}.

Согласно этим функциям отображения IFS описывает двумерное множество S как неподвижную точку оператора Хатчинсона.

H(A)=\bigcup _{i=1}^{N}f_{i}(A),\quad A\subset \mathbb {R} ^{2}.

То есть H — оператор, отображающий множества в множества, а S — уникальный набор, удовлетворяющий ( S ) = S. H Идея состоит в том, чтобы построить IFS так, чтобы этот набор S был входным двоичным изображением. Множество S можно восстановить из IFS итерацией с точкой для любого непустого компактного начального множества A0 _{неподвижной} итерация Ak _{+ 1} = H ( Ak _: ) сходится S. к

Множество S самоподобно, поскольку из H ( S ) = S следует, что S является объединением отображенных копий самого себя:

S=f_{1}(S)\cup f_{2}(S)\cup \cdots \cup f_{N}(S)

что IFS — это фрактальное представление S. Итак, мы видим ,

Расширение оттенков серого [ править ]

Представление IFS можно расширить до изображения в оттенках серого изображения , рассматривая график как подмножество изображений. $\mathbb {R} ^{3}$ . Для изображения в оттенках серого u ( x , y ) рассмотрим набор S знак равно {( Икс , у , ты ( Икс , у ))}. Тогда, как и в двоичном случае, S описывается IFS с использованием набора сжимающих отображений ƒ ₁ ,..., ƒ _N , но в $\mathbb {R} ^{3}$ ,

f_{i}:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}.

Кодировка [ править ]

Сложная проблема текущих исследований представления фрактальных изображений заключается в том, как выбрать ƒ ₁ ,..., ƒ _N так, чтобы его фиксированная точка аппроксимировала входное изображение, и как сделать это эффективно.

Простой подход ^[2] для этого используется следующая система секционированных итерированных функций (PIFS):

Разделите область изображения на блоки диапазона R _i размера s × s .
Для каждого R _i выполните поиск изображения, чтобы найти блок D _i размером 2 s × 2 s , который очень похож на R _i .
Выберите функции отображения такие, что H ( D _i ) = R _i для каждого i .

На втором этапе важно найти аналогичный блок, чтобы IFS точно представлял входное изображение, поэтому достаточное количество блоков-кандидатов для D _i необходимо рассмотреть . С другой стороны, большой поиск с учетом множества блоков требует больших вычислительных затрат. Это узкое место в поиске похожих блоков является причиной того, что фрактальное кодирование PIFS происходит намного медленнее, чем, например, DCT и вейвлетов представление изображений на основе .

Первоначальный алгоритм разделения квадратов и перебора , представленный Жакеном, обеспечивает отправную точку для дальнейших исследований и расширений во многих возможных направлениях: различные способы разделения изображения на блоки диапазонов различных размеров и форм; быстрые методы для быстрого поиска достаточно близко совпадающего блока домена для каждого блока диапазона вместо грубого поиска, такие как оценки быстрого движения алгоритмы ; различные способы кодирования отображения блока домена в блок диапазона; и т. д. ^[3]

Другие исследователи пытаются найти алгоритмы для автоматического кодирования произвольного изображения как RIFS (системы рекуррентных итерированных функций) или глобальные IFS, а не PIFS; и алгоритмы фрактального сжатия видео, включая компенсацию движения и системы трехмерных итерированных функций. ^[4]^[5]

Фрактальное сжатие изображений во многом похоже на векторного квантования . сжатие изображений ^[6]

Особенности [ править ]

При фрактальном сжатии кодирование чрезвычайно затратно в вычислительном отношении из-за поиска самоподобий. Декодирование, однако, происходит довольно быстро. Хотя эта асимметрия до сих пор делала его непрактичным для приложений реального времени, когда видео архивируется для распространения с дискового хранилища или загрузки файлов, фрактальное сжатие становится более конкурентоспособным. ^[7]^[8]

При обычных коэффициентах сжатия, примерно до 50:1, фрактальное сжатие дает результаты, аналогичные алгоритмам на основе DCT, таким как JPEG . ^[9]При высоких коэффициентах сжатия фрактальное сжатие может обеспечить превосходное качество. Для спутниковых изображений соотношение более 170:1. ^[10]были достигнуты с приемлемыми результатами. Коэффициенты фрактального сжатия видео 25:1–244:1 были достигнуты за разумное время сжатия (от 2,4 до 66 с/кадр). ^[11]

Эффективность сжатия увеличивается с увеличением сложности изображения и глубины цвета по сравнению с простыми изображениями в оттенках серого .

фрактальное масштабирование Независимость от разрешения и

Неотъемлемой особенностью фрактального сжатия является то, что изображения становятся независимыми от разрешения. ^[12]после преобразования во фрактальный код. Это связано с тем, что повторяющиеся функциональные системы в сжатом файле масштабируются бесконечно. Это неопределенное свойство масштабирования фрактала известно как «фрактальное масштабирование».

Фрактальная интерполяция [ править ]

Независимость разрешения фрактально-кодированного изображения можно использовать для увеличения разрешения изображения. Этот процесс также известен как «фрактальная интерполяция». При фрактальной интерполяции изображение кодируется во фрактальные коды посредством фрактального сжатия, а затем распаковывается с более высоким разрешением. использовались системы итерированных функций Результатом является изображение с повышенной дискретизацией, в котором в качестве интерполянта . ^[13] Фрактальная интерполяция очень хорошо сохраняет геометрические детали по сравнению с традиционными методами интерполяции, такими как билинейная интерполяция и бикубическая интерполяция . ^[14]^[15]^[16]Однако, поскольку интерполяция не может обратить вспять энтропию Шеннона, она в конечном итоге приводит к повышению резкости изображения за счет добавления случайных, а не значимых деталей. Например, невозможно увеличить изображение толпы, где лицо каждого человека состоит из одного или двух пикселей, и надеяться идентифицировать их.

История [ править ]

Майкл Барнсли руководил разработкой фрактального сжатия с 1985 года в Технологическом институте Джорджии (где и Барнсли, и Слоан были профессорами математического факультета). ^[17]Работу спонсировали DARPA и Технологическая исследовательская корпорация Джорджии . В результате проекта было получено несколько патентов с 1987 года. ^[18] Аспирант Барнсли Арно Жакен реализовал первый автоматический алгоритм в программном обеспечении в 1992 году. ^[19]^[20]Все методы основаны на фрактальном преобразовании с использованием итерированных систем функций . Майкл Барнсли и Алан Слоан основали Iterated Systems Inc. ^[21] в 1987 году было получено более 20 дополнительных патентов, связанных с фрактальным сжатием.

Крупным прорывом для Iterated Systems Inc. стал процесс автоматического фрактального преобразования, который устранил необходимость вмешательства человека во время сжатия, как это было в случае ранних экспериментов с технологией фрактального сжатия. В 1992 году Itered Systems Inc. получила государственный грант в размере 2,1 миллиона долларов США. ^[22] разработать прототип чипа для хранения и декомпрессии цифровых изображений с использованием технологии сжатия изображений с фрактальным преобразованием.

Фрактальное сжатие изображений использовалось в ряде коммерческих приложений: onOne Software , разработанная по лицензии Iterated Systems Inc., Genuine Fractals 5. ^[23]Это плагин Photoshop , способный сохранять файлы в сжатом формате FIF (формат фрактального изображения). На сегодняшний день наиболее успешное использование фрактального сжатия неподвижных изображений реализовано компанией Microsoft в ее Encarta . мультимедийной энциклопедии ^[24] тоже по лицензии.

Iterated Systems Inc. предоставила условно-бесплатный кодировщик (Fractal Imager), автономный декодер, подключаемый декодер Netscape и пакет разработки для использования под Windows. Распространение «DLL-декомпрессора», предоставляемого ColorBox III SDK, регулировалось ограничительными режимами подискового или годового лицензирования для поставщиков проприетарного программного обеспечения, а также дискреционной схемой, которая влекла за собой продвижение продуктов Iterated Systems для определенных классов. других пользователей. ^[25]

ClearVideo, также известный как RealVideo (Fractal), и SoftVideo были первыми продуктами фрактального сжатия видео. ClearFusion был свободно распространяемым плагином потокового видео Iterated для веб-браузеров. В 1994 году SoftVideo получила лицензию на использование Spectrum Holobyte в своих играх на компакт-дисках, включая Falcon Gold и Star Trek: The Next Generation A Final Unity . ^[26]

В 1996 году компания Itered Systems Inc. объявила ^[27]альянс с корпорацией Mitsubishi для продвижения ClearVideo своим японским клиентам. Исходный драйвер декодера ClearVideo 1.2 по-прежнему поддерживается. ^[28] от Microsoft в проигрывателе Windows Media, хотя кодировщик больше не поддерживается.

Две фирмы, Total Multimedia Inc. и Dimension, заявляют, что владеют или имеют исключительную лицензию на видеотехнологию Iterated, но ни одна из них еще не выпустила рабочий продукт. В основе технологии лежат патенты США 8639053 и 8351509 компании Dimension, которые подверглись тщательному анализу. ^[29]Подводя итог, можно сказать, что это простая система копирования блоков квадрантов, не обладающая ни эффективностью использования полосы пропускания, ни качеством PSNR традиционных кодеков на основе DCT. В январе 2016 года TMMI объявила, что полностью отказывается от фрактальной технологии.

В исследовательских работах, опубликованных в период с 1997 по 2007 год, обсуждались возможные решения по улучшению фрактальных алгоритмов и аппаратного обеспечения кодирования. ^[30]^[31]^[32]^[33]^[34]^[35]^[36]^[37]^[38]

Реализации [ править ]

Библиотеку под названием Фиаско создал Ульрих Хафнер. В 2001 году Fiasco был освещен в Linux Journal . ^[39] Согласно руководству Fiasco 2000-04 , Fiasco можно использовать для сжатия видео. ^[40] Библиотека Netpbm включает библиотеку Fiasco . ^[41]^[42]

Фемтософт разработала реализацию фрактального сжатия изображений в Object Pascal и Java . ^[43]

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Мэй, Майк (1996). «Фрактальное сжатие изображений». Американский учёный . 84 (5): 442–451. Бибкод : 1996AmSci..84..442M . JSTOR 29775747 . ПроКвест 215266230 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Фишер, Юваль (12 августа 1992 г.). Пшемыслав Прусинкевич (ред.). Конспекты курса SIGGRAPH'92 — Фрактальное сжатие изображений (PDF) . СИГРАФ . Том. Фракталы – от народного творчества к гиперреальности. СИГРАФ ACM . Архивировано из оригинала (PDF) 12 сентября 2017 г. Проверено 28 июня 2017 г.
^ Саупе, Дитмар; Хамзауи, Рауф (ноябрь 1994 г.). «Обзор литературы по сжатию фрактальных изображений». ACM SIGGRAPH Компьютерная графика . 28 (4): 268–276. дои : 10.1145/193234.193246 . S2CID 10489445 .
^ Лакруа, Брюно (1999). Фрактальное сжатие изображений (Диссертация). дои : 10.22215/etd/1999-04159 . OCLC 1103597126 . ПроКвест 304520711 .
^ Фишер, Юваль (2012). Фрактальное сжатие изображений: теория и применение . Springer Science & Business Media. п. 300. ИСБН 978-1-4612-2472-3 .
^ Генри Сяо. «Фрактальное сжатие» . 2004.
^ Джон Р. Дженсен, «Учебники по дистанционному зондированию» , Альтернативы сжатию изображений и соображения по хранению мультимедиа (ссылка на время сжатия/декомпрессии) , Университет Южной Каролины , заархивировано из оригинала 3 марта 2008 г.
^ Стив Хит (23 августа 1999 г.). Мультимедийные и коммуникационные технологии . Фокальная пресса. стр. 120–123. ISBN 978-0-240-51529-8 . Ссылка на пресс-центр
^ Саюд, Халид (2006). Введение в сжатие данных . Эльзевир. стр. 560–569. ISBN 978-0-12-620862-7 .
^ Ви Мэн Вун; Энтони Тунг Шуен Хо; Тао Ю; Сиу Чунг Там; Сьонг Чай Тан; Лиан Тек Яп (2000). «Достижение высокой степени сжатия данных самоподобных спутниковых изображений с использованием фрактала». IGARSS 2000. Международный симпозиум IEEE 2000 по геонаукам и дистанционному зондированию. Учитывать пульс планеты: роль дистанционного зондирования в управлении окружающей средой. Протоколы (Кат. № 00CH37120) . Том. 2. С. 609–611. дои : 10.1109/IGARSS.2000.861646 . ISBN 0-7803-6359-0 . S2CID 14516581 .
^ Фишер, Ю. (июль 1995 г.). Фрактальное кодирование видеопоследовательностей . Кодирование и анализ фрактальных изображений. Тронхейм. ИНИСТ 1572685 .
↑ Walking, Talking Web. Архивировано 6 января 2008 г. в статье журнала Wayback Machine Byte Magazine о независимости фрактального сжатия/разрешения.
^ Он, Чуань-цзян; Ли, Гао-пин; Шен, Сяо-на (май 2007 г.). «Метод интерполяционного декодирования с переменными параметрами для фрактального сжатия изображений». Хаос, солитоны и фракталы . 32 (4): 1429–1439. Бибкод : 2007CSF....32.1429H . дои : 10.1016/j.chaos.2005.11.058 .
^ Наваскес, Массачусетс; Себастьян, М.В. (2006). «Гладкая фрактальная интерполяция» . Журнал неравенств и приложений . 2006 : 1–20. дои : 10.1155/JIA/2006/78734 . S2CID 20352406 .
^ Уэмура, Сатоши; Хасеяма, Мики; Китадзима, Хидео (28 января 2003 г.). «Заметки о методе расширения самоаффинных фрактальных объектов с использованием расширенных функций фрактальной интерполяции» . отчет IEICE (на японском языке) Технический . –100 дои : 10.11485/itetr.27.9.0_95 . НАИД 110003171506 .
^ ) «Исследования коэффициента масштабирования для фрактального кодирования изображений» ; Фудзимура, Макото (1 февраля 2003 г. Курода, Хидео; Ху , Сяотун . 359–363. НАИД 110003170896 .
^ Барнсли, Майкл; Слоан, Алан (январь 1988 г.). «Лучший способ сжатия изображений». Байт . стр. 215–223.
^ Патент США 4 941 193 - первый патент Барнсли и Слоана на систему итерированных функций , поданный в октябре 1987 года.
^ Использование фрактального кодирования для индексирования содержимого изображений для технического отчета цифровой библиотеки.
^ Жакин, А.Е. (1992). «Кодирование изображений на основе фрактальной теории итерированных сжимающих преобразований изображений». Транзакции IEEE при обработке изображений . 1 (1): 18–30. Бибкод : 1992ITIP....1...18J . CiteSeerX 10.1.1.456.1530 . дои : 10.1109/83.128028 . ПМИД 18296137 .
^ Iterated Systems Inc. изменила свое название на MediaBin Inc. Inc. в 2001 г. и, в свою очередь, была выкуплена Intercloth, Inc. в 2003 г.)
^ NIST SP950-3, «Сбор и интеграция медицинской информации пациентов для улучшения доступности»; см. стр. 36, «Фрактальная технология MediaBin для сжатия файлов цифровых изображений». Архивировано 23 сентября 2015 г. на Wayback Machine.
^ Обзор настоящего продукта фракталов
^ «MAW 1998: Тематическое эссе» . www.mathaware.org . Архивировано из оригинала 31 августа 2016 года . Проверено 18 апреля 2018 г.
^ Эйткен, Уильям (май 1994 г.). «Большое сжатие». Мир персональных компьютеров .
^ 1994 г. Руководство с указанием на стр. 11 SoftVideo по лицензии Spectrum Holobyte.
^ «Корпорация Mitsubishi подписывает соглашение с Iterated Systems» (пресс-релиз). Итерированные системы. 29 октября 1996 года. Архивировано из оригинала 8 июля 2012 года.
^ «Проигрыватель Windows Media для кодеков, поддерживаемых Windows XP» . 31 октября 2003 г. Архивировано из оригинала 28 октября 2004 г.
^ «Апрель 2014 г. — Комплексное исследование технологии фрактального видео» . paulschlessinger.wordpress.com . Проверено 18 апреля 2018 г.
^ Коминек, Джон (1 июня 1997 г.). «Достижения в области фрактального сжатия для мультимедийных приложений». Мультимедийные системы . 5 (4): 255–270. CiteSeerX 10.1.1.47.3709 . дои : 10.1007/s005300050059 . S2CID 6016583 .
^ Харада, Масаки; Кимото, Тадахико; Фуджи, Тошиаки; Танимото, Масаюки (2000). «Быстрый расчет параметров IFS для кодирования фрактальных изображений». В Нгане — король Н; Сикора, Томас; Сунь, Мин-Тин (ред.). Визуальные коммуникации и обработка изображений 2000 . Том. 4067. стр. 457–464. Бибкод : 2000SPIE.4067..457H . дои : 10.1117/12.386580 . S2CID 30148845 . ИНИСТ 1380599 .
^ Раджкумар, Ватхап Сапанкумар; Кулкарни, М.В.; Доре, ML; Мали, СН (2006). «Синтез производительности фрактального сжатия изображений посредством разделения HV». 2006 Международная конференция по передовым вычислениям и коммуникациям . стр. 636–637. дои : 10.1109/ADCOM.2006.4289976 . ISBN 978-1-4244-0715-6 . S2CID 15370862 .
^ фрактального сжатия изображений - 2003 г. Простые и быстрые схемы, сигналы и системы
^ У, Мин-Шэн; Дженг, Джых-Хорнг; Се, Джер-Гуан (июнь 2007 г.). «Схема генетического алгоритма фрактального сжатия изображений». Инженерные применения искусственного интеллекта . 20 (4): 531–538. дои : 10.1016/j.engappai.2006.08.005 .
^ У, Сяньвэй; Джексон, Дэвид Джефф; Чен, Хуэй-Чуань (сентябрь 2005 г.). «Метод быстрого кодирования фрактальных изображений, основанный на интеллектуальном поиске стандартного отклонения». Компьютеры и электротехника . 31 (6): 402–421. дои : 10.1016/j.compeleceng.2005.02.003 .
^ У, Сяньвэй; Джексон, Дэвид Джефф; Чен, Хуэй-Чуань (2005). «Новый алгоритм кодирования фрактальных изображений, основанный на системе итерированных функций без поиска с полным двоичным деревом». Оптическая инженерия . 44 (10): 107002. Бибкод : 2005OptEn..44j7002W . дои : 10.1117/1.2076828 .
^ Труонг, Триё-Кьен; Дженг, Джых Х. (2000). «Метод быстрой классификации фрактального сжатия изображений». В Шмальце, Марк С. (ред.). Математика и приложения кодирования, сжатия и шифрования данных/изображений III . Том. 4122. стр. 190–193. Бибкод : 2000SPIE.4122..190T . дои : 10.1117/12.409247 . S2CID 120032052 .
^ Эрра, Уго (2005). «На пути к сжатию фрактальных изображений в реальном времени с использованием графического оборудования». Достижения в области визуальных вычислений . Конспекты лекций по информатике. Том. 3804. стр. 723–728. дои : 10.1007/11595755_92 . hdl : 11563/14075 . ISBN 978-3-540-30750-1 .
^ Хафнер, Ульрих (2001). «FIASCO — кодек фрактальных изображений и последовательностей с открытым исходным кодом» . Linux-журнал (81) . Проверено 19 февраля 2013 г.
^ «Manpage фиаско» . castor.am.gdynia.pl . Архивировано из оригинала 9 марта 2012 года . Проверено 18 апреля 2018 г.
^ «Руководство пользователя Pnmtofiasco» . netpbm.sourceforge.net . Проверено 18 апреля 2018 г.
^ «Руководство пользователя Фиаскотопнм» . netpbm.sourceforge.net . Проверено 18 апреля 2018 г.
^ «Фемтософт Технологии – Программное обеспечение для фрактальной визуализации» . Архивировано из оригинала 23 октября 2010 г. Проверено 10 июля 2010 г.

Внешние ссылки [ править ]

Пульчини и Компрессор Веррандо.
Степень магистра наук Кейта Хауэлла 1993 г. диссертация «Фрактальное сжатие изображений для космических транспьютеров»
Моя главная проблема: фрактальное сжатие , ноябрь 1993 г., Wired.
Описание Fractal Basics на FileFormat.Info
Сайт Superfractals , посвященный фракталам изобретателя фрактального сжатия.

[1] Мэй, Майк (1996). «Фрактальное сжатие изображений». Американский учёный . 84 (5): 442–451. Бибкод : 1996AmSci..84..442M . JSTOR 29775747 . ПроКвест 215266230 .

[SIGGRAPH'92-2] Перейти обратно: ^а ^б Фишер, Юваль (12 августа 1992 г.). Пшемыслав Прусинкевич (ред.). Конспекты курса SIGGRAPH'92 — Фрактальное сжатие изображений (PDF) . СИГРАФ . Том. Фракталы – от народного творчества к гиперреальности. СИГРАФ ACM . Архивировано из оригинала (PDF) 12 сентября 2017 г. Проверено 28 июня 2017 г.

[3] Саупе, Дитмар; Хамзауи, Рауф (ноябрь 1994 г.). «Обзор литературы по сжатию фрактальных изображений». ACM SIGGRAPH Компьютерная графика . 28 (4): 268–276. дои : 10.1145/193234.193246 . S2CID 10489445 .

[lacroix-4] Лакруа, Брюно (1999). Фрактальное сжатие изображений (Диссертация). дои : 10.22215/etd/1999-04159 . OCLC 1103597126 . ПроКвест 304520711 .

[5] Фишер, Юваль (2012). Фрактальное сжатие изображений: теория и применение . Springer Science & Business Media. п. 300. ИСБН 978-1-4612-2472-3 .

[6] Генри Сяо. «Фрактальное сжатие» . 2004.

[Jenson-7] Джон Р. Дженсен, «Учебники по дистанционному зондированию» , Альтернативы сжатию изображений и соображения по хранению мультимедиа (ссылка на время сжатия/декомпрессии) , Университет Южной Каролины , заархивировано из оригинала 3 марта 2008 г.

[Heath1999-8] Стив Хит (23 августа 1999 г.). Мультимедийные и коммуникационные технологии . Фокальная пресса. стр. 120–123. ISBN 978-0-240-51529-8 . Ссылка на пресс-центр

[9] Саюд, Халид (2006). Введение в сжатие данных . Эльзевир. стр. 560–569. ISBN 978-0-12-620862-7 .

[ieee_2000-10] Ви Мэн Вун; Энтони Тунг Шуен Хо; Тао Ю; Сиу Чунг Там; Сьонг Чай Тан; Лиан Тек Яп (2000). «Достижение высокой степени сжатия данных самоподобных спутниковых изображений с использованием фрактала». IGARSS 2000. Международный симпозиум IEEE 2000 по геонаукам и дистанционному зондированию. Учитывать пульс планеты: роль дистанционного зондирования в управлении окружающей средой. Протоколы (Кат. № 00CH37120) . Том. 2. С. 609–611. дои : 10.1109/IGARSS.2000.861646 . ISBN 0-7803-6359-0 . S2CID 14516581 .

[11] Фишер, Ю. (июль 1995 г.). Фрактальное кодирование видеопоследовательностей . Кодирование и анализ фрактальных изображений. Тронхейм. ИНИСТ 1572685 .

[12] Walking, Talking Web. Архивировано 6 января 2008 г. в статье журнала Wayback Machine Byte Magazine о независимости фрактального сжатия/разрешения.

[13] Он, Чуань-цзян; Ли, Гао-пин; Шен, Сяо-на (май 2007 г.). «Метод интерполяционного декодирования с переменными параметрами для фрактального сжатия изображений». Хаос, солитоны и фракталы . 32 (4): 1429–1439. Бибкод : 2007CSF....32.1429H . дои : 10.1016/j.chaos.2005.11.058 .

[14] Наваскес, Массачусетс; Себастьян, М.В. (2006). «Гладкая фрактальная интерполяция» . Журнал неравенств и приложений . 2006 : 1–20. дои : 10.1155/JIA/2006/78734 . S2CID 20352406 .

[15] Уэмура, Сатоши; Хасеяма, Мики; Китадзима, Хидео (28 января 2003 г.). «Заметки о методе расширения самоаффинных фрактальных объектов с использованием расширенных функций фрактальной интерполяции» . отчет IEICE (на японском языке) Технический . –100 дои : 10.11485/itetr.27.9.0_95 . НАИД 110003171506 .

[16] ) «Исследования коэффициента масштабирования для фрактального кодирования изображений» ; Фудзимура, Макото (1 февраля 2003 г. Курода, Хидео; Ху , Сяотун . 359–363. НАИД 110003170896 .

[17] Барнсли, Майкл; Слоан, Алан (январь 1988 г.). «Лучший способ сжатия изображений». Байт . стр. 215–223.

[18] Патент США 4 941 193 - первый патент Барнсли и Слоана на систему итерированных функций , поданный в октябре 1987 года.

[19] Использование фрактального кодирования для индексирования содержимого изображений для технического отчета цифровой библиотеки.

[20] Жакин, А.Е. (1992). «Кодирование изображений на основе фрактальной теории итерированных сжимающих преобразований изображений». Транзакции IEEE при обработке изображений . 1 (1): 18–30. Бибкод : 1992ITIP....1...18J . CiteSeerX 10.1.1.456.1530 . дои : 10.1109/83.128028 . ПМИД 18296137 .

[21] Iterated Systems Inc. изменила свое название на MediaBin Inc. Inc. в 2001 г. и, в свою очередь, была выкуплена Intercloth, Inc. в 2003 г.)

[22] NIST SP950-3, «Сбор и интеграция медицинской информации пациентов для улучшения доступности»; см. стр. 36, «Фрактальная технология MediaBin для сжатия файлов цифровых изображений». Архивировано 23 сентября 2015 г. на Wayback Machine.

[23] Обзор настоящего продукта фракталов

[24] «MAW 1998: Тематическое эссе» . www.mathaware.org . Архивировано из оригинала 31 августа 2016 года . Проверено 18 апреля 2018 г.

[25] Эйткен, Уильям (май 1994 г.). «Большое сжатие». Мир персональных компьютеров .

[26] 1994 г. Руководство с указанием на стр. 11 SoftVideo по лицензии Spectrum Holobyte.

[27] «Корпорация Mitsubishi подписывает соглашение с Iterated Systems» (пресс-релиз). Итерированные системы. 29 октября 1996 года. Архивировано из оригинала 8 июля 2012 года.

[28] «Проигрыватель Windows Media для кодеков, поддерживаемых Windows XP» . 31 октября 2003 г. Архивировано из оригинала 28 октября 2004 г.

[29] «Апрель 2014 г. — Комплексное исследование технологии фрактального видео» . paulschlessinger.wordpress.com . Проверено 18 апреля 2018 г.

[30] Коминек, Джон (1 июня 1997 г.). «Достижения в области фрактального сжатия для мультимедийных приложений». Мультимедийные системы . 5 (4): 255–270. CiteSeerX 10.1.1.47.3709 . дои : 10.1007/s005300050059 . S2CID 6016583 .

[31] Харада, Масаки; Кимото, Тадахико; Фуджи, Тошиаки; Танимото, Масаюки (2000). «Быстрый расчет параметров IFS для кодирования фрактальных изображений». В Нгане — король Н; Сикора, Томас; Сунь, Мин-Тин (ред.). Визуальные коммуникации и обработка изображений 2000 . Том. 4067. стр. 457–464. Бибкод : 2000SPIE.4067..457H . дои : 10.1117/12.386580 . S2CID 30148845 . ИНИСТ 1380599 .

[32] Раджкумар, Ватхап Сапанкумар; Кулкарни, М.В.; Доре, ML; Мали, СН (2006). «Синтез производительности фрактального сжатия изображений посредством разделения HV». 2006 Международная конференция по передовым вычислениям и коммуникациям . стр. 636–637. дои : 10.1109/ADCOM.2006.4289976 . ISBN 978-1-4244-0715-6 . S2CID 15370862 .

[33] фрактального сжатия изображений - 2003 г. Простые и быстрые схемы, сигналы и системы

[34] У, Мин-Шэн; Дженг, Джых-Хорнг; Се, Джер-Гуан (июнь 2007 г.). «Схема генетического алгоритма фрактального сжатия изображений». Инженерные применения искусственного интеллекта . 20 (4): 531–538. дои : 10.1016/j.engappai.2006.08.005 .

[35] У, Сяньвэй; Джексон, Дэвид Джефф; Чен, Хуэй-Чуань (сентябрь 2005 г.). «Метод быстрого кодирования фрактальных изображений, основанный на интеллектуальном поиске стандартного отклонения». Компьютеры и электротехника . 31 (6): 402–421. дои : 10.1016/j.compeleceng.2005.02.003 .

[36] У, Сяньвэй; Джексон, Дэвид Джефф; Чен, Хуэй-Чуань (2005). «Новый алгоритм кодирования фрактальных изображений, основанный на системе итерированных функций без поиска с полным двоичным деревом». Оптическая инженерия . 44 (10): 107002. Бибкод : 2005OptEn..44j7002W . дои : 10.1117/1.2076828 .

[37] Труонг, Триё-Кьен; Дженг, Джых Х. (2000). «Метод быстрой классификации фрактального сжатия изображений». В Шмальце, Марк С. (ред.). Математика и приложения кодирования, сжатия и шифрования данных/изображений III . Том. 4122. стр. 190–193. Бибкод : 2000SPIE.4122..190T . дои : 10.1117/12.409247 . S2CID 120032052 .

[38] Эрра, Уго (2005). «На пути к сжатию фрактальных изображений в реальном времени с использованием графического оборудования». Достижения в области визуальных вычислений . Конспекты лекций по информатике. Том. 3804. стр. 723–728. дои : 10.1007/11595755_92 . hdl : 11563/14075 . ISBN 978-3-540-30750-1 .

[39] Хафнер, Ульрих (2001). «FIASCO — кодек фрактальных изображений и последовательностей с открытым исходным кодом» . Linux-журнал (81) . Проверено 19 февраля 2013 г.

[40] «Manpage фиаско» . castor.am.gdynia.pl . Архивировано из оригинала 9 марта 2012 года . Проверено 18 апреля 2018 г.

[41] «Руководство пользователя Pnmtofiasco» . netpbm.sourceforge.net . Проверено 18 апреля 2018 г.

[42] «Руководство пользователя Фиаскотопнм» . netpbm.sourceforge.net . Проверено 18 апреля 2018 г.

[43] «Фемтософт Технологии – Программное обеспечение для фрактальной визуализации» . Архивировано из оригинала 23 октября 2010 г. Проверено 10 июля 2010 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]