Мандельбулба

A 4K UHD 3D Mandelbulb video

Изображение трехмерной лампочки Мандельбаба, полученное методом лучевого марша, для итерации v ↦ v. ⁸ + с

— Лампочка Мандельбульба трёхмерный фрактал , впервые построенный в 1997 году Жюлем Руисом и в 2009 году получивший дальнейшее развитие Дэниелом Уайтом и Полом Нюландером с использованием сферических координат .

Канонического множества трехмерного Мандельброта не существует, поскольку не существует трехмерного аналога двумерного пространства комплексных чисел. Можно построить множества Мандельброта в 4 измерениях, используя кватернионы и бикомплексные числа .

Формула Уайта и Нюландера для « n- й степени» вектора $\mathbf {v} =\langle x,y,z\rangle$ в ℝ ³ является

$\mathbf {v} ^{n}:=r^{n}\langle \sin(n\theta )\cos(n\phi ),\sin(n\theta )\sin(n\phi ),\cos(n\theta )\rangle ,$

где

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},$

$\phi =\arctan {\frac {y}{x}}=\arg(x+yi),$

$\theta =\arctan {\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}=\arccos {\frac {z}{r}}.$

Тогда Мандельламп определяется как совокупность тех $\mathbf {c}$ в ℝ ³ для которого орбита $\langle 0,0,0\rangle$ в рамках итерации $\mathbf {v} \mapsto \mathbf {v} ^{n}+\mathbf {c}$ ограничен. При n > 3 результатом является трехмерная луковичная структура с фрактальной детализацией поверхности и количеством «лепестков», зависящих от n . Во многих графических изображениях используется n , уравнения можно упростить до рациональных полиномов = 8. Однако, если n нечетно . Например, в случае n = 3 третью степень можно упростить до более элегантной формы:

$\langle x,y,z\rangle ^{3}=\left\langle {\frac {(3z^{2}-x^{2}-y^{2})x(x^{2}-3y^{2})}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {(3z^{2}-x^{2}-y^{2})y(3x^{2}-y^{2})}{x^{2}+y^{2}}},z(z^{2}-3x^{2}-3y^{2})\right\rangle .$

Мандельбульба, заданная формулой выше, на самом деле является одним из семейства фракталов, заданных параметрами ( p , q ), заданными формулой

$\mathbf {v} ^{n}:=r^{n}\langle \sin(p\theta )\cos(q\phi ),\sin(p\theta )\sin(q\phi ),\cos(p\theta )\rangle .$

Поскольку p и q не обязательно должны равняться n для тождества | в ^н | = | v | ^н чтобы сохранить, более общие фракталы можно найти, установив

$\mathbf {v} ^{n}:=r^{n}{\big \langle }\sin {\big (}f(\theta ,\phi ){\big )}\cos {\big (}g(\theta ,\phi ){\big )},\sin {\big (}f(\theta ,\phi ){\big )}\sin {\big (}g(\theta ,\phi ){\big )},\cos {\big (}f(\theta ,\phi ){\big )}{\big \rangle }$

для функций f и g .

Кубическая формула

Кубический фрактал

Другие формулы основаны на тождествах, параметризующих сумму квадратов, чтобы дать степень суммы квадратов, например:

$(x^{3}-3xy^{2}-3xz^{2})^{2}+(y^{3}-3yx^{2}+yz^{2})^{2}+(z^{3}-3zx^{2}+zy^{2})^{2}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3},$

который мы можем рассматривать как способ возведения в куб тройки чисел так, чтобы модуль был возведен в куб. Это дает, например,

$x\to x^{3}-3x(y^{2}+z^{2})+x_{0}$

$y\to -y^{3}+3yx^{2}-yz^{2}+y_{0}$

$z\to z^{3}-3zx^{2}+zy^{2}+z_{0}$

или другие перестановки.

Это сводится к сложному фракталу $w\to w^{3}+w_{0}$ когда z = 0 и $w\to {\overline {w}}^{3}+w_{0}$ когда у = 0.

Есть несколько способов объединить два таких «кубических» преобразования, чтобы получить преобразование степени 9, которое имеет немного большую структуру.

Квинтическая формула

Квинтик Мандельбульб

Квинтическая мандельбульба с C = 2

Другой способ создать мандельбульбы с кубической симметрией — использовать сложную итерационную формулу $z\to z^{4m+1}+z_{0}$для некоторого целого числа m и добавления членов, чтобы сделать его симметричным в трех измерениях, но сохраняя сечения тем же двухмерным фракталом. (Четверка возникает из-за того, что $i^{4}=1$.) Например, возьмем случай $z\to z^{5}+z_{0}$. В двух измерениях, где $z=x+iy$, Это

$x\to x^{5}-10x^{3}y^{2}+5xy^{4}+x_{0},$

$y\to y^{5}-10y^{3}x^{2}+5yx^{4}+y_{0}.$

Затем это можно расширить до трех измерений, чтобы получить

$x\to x^{5}-10x^{3}(y^{2}+Ayz+z^{2})+5x(y^{4}+By^{3}z+Cy^{2}z^{2}+Byz^{3}+z^{4})+Dx^{2}yz(y+z)+x_{0},$

$y\to y^{5}-10y^{3}(z^{2}+Axz+x^{2})+5y(z^{4}+Bz^{3}x+Cz^{2}x^{2}+Bzx^{3}+x^{4})+Dy^{2}zx(z+x)+y_{0},$

$z\to z^{5}-10z^{3}(x^{2}+Axy+y^{2})+5z(x^{4}+Bx^{3}y+Cx^{2}y^{2}+Bxy^{3}+y^{4})+Dz^{2}xy(x+y)+z_{0}$

для произвольных констант A , B , C и D , которые дают разные мандельбульбы (обычно равные 0). Дело $z\to z^{9}$ дает лампочку-мандельбум, наиболее похожую на первый пример, где n = 9. Более приятный результат для пятой степени получается, если основывать его на формуле $z\to -z^{5}+z_{0}$.

Фрактал на основе z → − z ⁵

Формула девятой степени

Фрактал с z ⁹ Сечения Мандельброта

Этот фрактал имеет сечения фрактала Мандельброта степени 9. У него 32 маленькие луковицы, прорастающие из основной сферы. Оно определяется, например,

$x\to x^{9}-36x^{7}(y^{2}+z^{2})+126x^{5}(y^{2}+z^{2})^{2}-84x^{3}(y^{2}+z^{2})^{3}+9x(y^{2}+z^{2})^{4}+x_{0},$

$y\to y^{9}-36y^{7}(z^{2}+x^{2})+126y^{5}(z^{2}+x^{2})^{2}-84y^{3}(z^{2}+x^{2})^{3}+9y(z^{2}+x^{2})^{4}+y_{0},$

$z\to z^{9}-36z^{7}(x^{2}+y^{2})+126z^{5}(x^{2}+y^{2})^{2}-84z^{3}(x^{2}+y^{2})^{3}+9z(x^{2}+y^{2})^{4}+z_{0}.$

Эту формулу можно записать короче:

$x\to {\frac {1}{2}}\left(x+i{\sqrt {y^{2}+z^{2}}}\right)^{9}+{\frac {1}{2}}\left(x-i{\sqrt {y^{2}+z^{2}}}\right)^{9}+x_{0}$

и то же самое для остальных координат.

Деталь фрактала степени девять

Сферическая формула

Идеальную сферическую формулу можно определить как формулу

$(x,y,z)\to {\big (}f(x,y,z)+x_{0},g(x,y,z)+y_{0},h(x,y,z)+z_{0}{\big )},$

где

$(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{n}=f(x,y,z)^{2}+g(x,y,z)^{2}+h(x,y,z)^{2},$

где f , g и h — n рациональные трехчлены -й степени, а n — целое число. Кубический фрактал выше является примером.

Использование в средствах массовой информации

• В анимационном фильме 2014 года «Большой герой 6» кульминация происходит посреди червоточины , которая представлена ​​стилизованной внутренней частью лампочки-мандельбулы.
• В научно-фантастическом фильме ужасов 2018 года «Аннигиляция » инопланетное существо появляется в виде частичной мандельбульбы.
• В веб-комиксе Unsounded духовное царство кхерта представлено стилизованной золотой мандельной лампочкой.

См. также

• Мандельбокс
• Список фракталов по размерности Хаусдорфа

Ссылки

6. http://www.fractal.org «Фрактальный навигатор» Жюля Рюиса.

Внешние ссылки

• за первое использование формулы Мандельбульба на сайте www.fractal.org Жюля Рюиса
• Лампочка Мандельброта: Распутывание настоящего трехмерного фрактала Мандельброта, на сайте Дэниела Уайта
• Несколько вариантов лампочки-мандельбулбы на сайте Пола Нюландера.
• Фрактальный рендерер с открытым исходным кодом, который можно использовать для создания изображений Мандельлампы.
• Формула мандельбульбы/юлиябульбы/юлиусульбы Жюля Рюиса
• Mandelbulb/Juliabulb/Juliusbulb с примерами реальных 3D-объектов
• Видео : Вид на мандельбульбу
• Видео : Исследование Мандельбульба. 3D фрактальная анимация
• Ветка обсуждения на Fractalforums.com, которая привела к Мандельбульбе.
• Видеообзор анимированного мира Мандельламп
• Программное обеспечение Mandelbulber v2 с открытым исходным кодом. Исследуйте тригонометрические, гиперкомплексные, Mandelbox, IFS и многие другие трехмерные фракталы.