Математическая красота

Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Пример «красоты в методе» — простое и элегантное визуальное описание теоремы Пифагора .

Математическая красота — это эстетическое удовольствие, получаемое от абстрактности, чистоты, простоты, глубины или упорядоченности математики . Математики могут выражать это удовольствие, описывая математику (или, по крайней мере, какой-то аспект математики) как прекрасную или описывая математику как форму искусства (позиция, занятая Г.Х. Харди [1] ) или, как минимум, как творческая деятельность .

Проводятся сравнения с музыкой и поэзией .

В методе [ править ]

метод доказательства элегантным . Математики обычно называют особенно приятный [2] В зависимости от контекста это может означать:

  • Доказательство, использующее минимум дополнительных предположений или предыдущих результатов.
  • Доказательство необычайно краткое.
  • Доказательство, которое выводит результат неожиданным образом (например, из явно несвязанной теоремы или набора теорем).
  • Доказательство, основанное на новых и оригинальных открытиях.
  • Метод доказательства, который можно легко обобщить для решения семейства подобных задач.

В поисках элегантного доказательства математики могут искать несколько независимых способов доказать результат, поскольку первое найденное доказательство часто можно улучшить. Теорема, для которой было обнаружено наибольшее количество различных доказательств, возможно, является теоремой Пифагора , и на сегодняшний день опубликованы сотни доказательств. [3] Другая теорема, доказанная разными способами, — это теорема квадратичной взаимности . Фактически только у Карла Фридриха Гаусса было восемь различных доказательств этой теоремы, шесть из которых он опубликовал. [4]

И наоборот, результаты, которые логически правильны, но включают трудоемкие вычисления, чрезмерно сложные методы, весьма традиционные подходы или большое количество мощных аксиом или предыдущих результатов, обычно не считаются элегантными и могут даже называться уродливыми или неуклюжими .

В результатах [ править ]

Начиная с е 0 = 1, двигаясь со скоростью i относительно своего положения в течение времени π и добавляя 1, приходим к 0. (Диаграмма представляет собой диаграмму Аргана .)

Некоторые математики видят красоту в математических результатах, которые устанавливают связи между двумя областями математики, которые на первый взгляд кажутся несвязанными. [5] Эти результаты часто называют глубокими . Хотя трудно прийти к единому мнению относительно того, является ли результат глубоким, некоторые примеры цитируются чаще, чем другие. Одним из таких примеров является тождество Эйлера : [6]

Это элегантное выражение связывает, возможно, пять наиболее важных математических констант ( e , i , π, 1 и 0) с двумя наиболее распространенными математическими символами (+, =). Тождество Эйлера — это частный случай формулы Эйлера , которую физик Ричард Фейнман назвал «нашей драгоценностью» и «самой замечательной формулой в математике». [7] Современные примеры включают в себя теорему о модулярности , устанавливающую важную связь между эллиптическими кривыми и модульными формами (работа над которой привела к присуждению премии Вольфа Эндрю Уайлсу и Роберту Ленглендсу ), и « чудовищный самогон », связывающий группу «Монстр» с модулярные функции с помощью теории струн (за что Ричард Борчердс был награжден медалью Филдса ).

Другие примеры глубоких результатов включают неожиданное понимание математических структур. Например, Теорема Гаусса Egregium связывает локальное явление ( кривизну ) с глобальным явлением ( площадью — это глубокая теорема, которая удивительным образом ). В частности, площадь треугольника на искривленной поверхности пропорциональна эксцессу треугольника, а пропорциональность — кривизне. Другим примером является фундаментальная теорема исчисления. [8] (и ее векторные версии, включая теорему Грина и теорему Стокса ).

Противоположность deep тривиальна ​ . Тривиальная теорема может быть результатом, который можно вывести очевидным и простым способом из других известных результатов или который применим только к определенному набору конкретных объектов, например к пустому множеству . В некоторых случаях формулировка теоремы может быть достаточно оригинальной, чтобы считаться глубокой, хотя ее доказательство достаточно очевидно.

В своем эссе 1940 года «Апология математика » Г.Х. Харди предположил, что красивое доказательство или результат обладают «неизбежностью», «неожиданностью» и «экономностью». [9]

В 1997 году Джан-Карло Рота не согласился с неожиданностью как достаточным условием красоты и предложил контрпример:

Многие математические теоремы, впервые опубликованные, кажутся удивительными; так, например, лет двадцать назад [с 1977 г.] доказательство существования неэквивалентных дифференцируемых структур на сферах большой размерности считалось удивительным, но никому не пришло в голову назвать такой факт красивым ни тогда, ни сейчас. . [10]

Напротив, Монастырский писал в 2001 году:

Очень трудно найти в прошлом изобретение, аналогичное прекрасному построению Милнором различных дифференциальных структур на семимерной сфере... Первоначальное доказательство Милнора было не очень конструктивным, но позже Э. Брискорн показал, что эти дифференциальные структуры можно описать в чрезвычайно явной и красивой форме. [11]

Это разногласие иллюстрирует как субъективную природу математической красоты, так и ее связь с математическими результатами: в данном случае не только существование экзотических сфер, но и особая их реализация.

По опыту [ править ]

приписывают «холодную и строгую красоту». Соединению пяти кубов

Интерес к чистой математике , отделенной от эмпирических исследований, был частью опыта различных цивилизаций , в том числе древних греков , которые «занимались математикой ради ее красоты». [12] Эстетическое удовольствие, которое физики-математики Эйнштейна, склонны испытывать от общей теории относительности было приписано ( среди прочих Полем Дираком ) ее «великой математической красоте». [13] Красота математики ощущается, когда физическая реальность объектов представлена ​​математическими моделями . Теория групп , разработанная в начале 1800-х годов с единственной целью решения полиномиальных уравнений, стала плодотворным способом классификации элементарных частиц — строительных блоков материи. Точно так же изучение узлов дает важное понимание теории струн и петлевой квантовой гравитации . [ нужна цитата ]

Некоторый [ ВОЗ? ] считают, что для того, чтобы оценить математику, нужно заниматься математикой. [14]

Например, математические кружки — это программы послешкольного развития, в которых учащиеся занимаются математикой посредством лекций и мероприятий; Есть также некоторые учителя, которые поощряют участие учащихся , обучая математике в рамках кинестетического обучения . На общем уроке математического кружка учащиеся используют поиск закономерностей, наблюдение и исследование, чтобы сделать свои собственные математические открытия. Например, математическая красота возникает в задании математического кружка по симметрии , предназначенном для учащихся 2-го и 3-го классов, где учащиеся создают свои собственные снежинки, складывая квадратный лист бумаги и вырезая узоры по своему выбору по краям сложенной бумаги. Когда бумага развернута, обнаруживается симметричный рисунок. На повседневном уроке математики в начальной школе симметрия может быть представлена ​​как таковая в художественной манере, когда учащиеся видят эстетически привлекательные результаты по математике. [ нужна цитата ]

Некоторый [ ВОЗ? ] Учителя предпочитают использовать математические манипуляции , чтобы представить математику эстетически приятным способом. Примеры манипуляций включают алгебраические плитки , стержни Кюизенера и блоки узоров . Например, можно научить заполнять квадрат с помощью алгебраических плиток. Палочки Кюизенера можно использовать для обучения дробям, а блоки с узорами — для изучения геометрии. Использование математических манипуляций помогает учащимся получить концептуальное понимание, которое может быть не сразу видно в письменных математических формулах. [15]

Другой пример красоты на практике связан с использованием оригами . Оригами, искусство складывания бумаги, имеет эстетические качества и множество математических связей. можно изучить Математику складывания бумаги , наблюдая за рисунком складок на развернутых деталях оригами. [16]

Комбинаторика , наука о счете, имеет художественные представления, которые некоторые [ ВОЗ? ] найти математически красивое. Существует множество наглядных примеров, иллюстрирующих комбинаторные концепции. Некоторые из тем и объектов, рассматриваемых на курсах комбинаторики с визуальными представлениями, включают, среди прочего, теорему о четырех цветах , таблицу Юнга , пермутоэдр , теорию графов , разделение множества . [17]

Эксперименты по визуализации мозга, проведенные Семиром Зеки и его коллегами [18] показывают, что восприятие математической красоты в качестве нейронного коррелята имеет активность в поле А1 медиальной орбитофронтальной коры (mOFC) мозга и что эта активность параметрически связана с заявленной интенсивностью красоты. Место действия аналогично месту действия, которое коррелирует с ощущением красоты из других источников, таких как музыка, радость или печаль. Более того, математики, похоже, сопротивляются пересмотру своих суждений о красоте математической формулы в свете противоречивых мнений своих коллег. [19]

В философии [ править ]

Некоторый [ ВОЗ? ] математики придерживаются мнения, что занятие математикой ближе к открытию, чем к изобретению, например:

Нет научного первооткрывателя, ни поэта, ни художника, ни музыканта, который не скажет вам, что он нашел свое открытие, стихотворение или картину готовым, что оно пришло к нему извне и что он сознательно не создал его изнутри. .

— Уильям Кингдон Клиффорд , из лекции в Королевском институте «Некоторые условия психического развития»

Эти математики полагают, что подробные и точные результаты математики можно разумно считать истинными независимо от Вселенной, в которой мы живем. Например, они утверждают, что теория натуральных чисел фундаментально верна и не требует какого-либо конкретного контекста. Некоторые математики расширили точку зрения о том, что математическая красота является истиной, в некоторых случаях перейдя в мистицизм .

В философии Платона существовало два мира: физический, в котором мы живем, и другой абстрактный мир, содержащий неизменные истины, включая математику. Он считал, что физический мир является простым отражением более совершенного абстрактного мира. [20]

Венгерский математик Пауль Эрдеш [21] говорил о воображаемой книге, в которой Бог записал все самые красивые математические доказательства. Когда Эрдёш хотел выразить особую признательность за доказательство, он восклицал: «Это из Книги!»

Французский философ двадцатого века Ален Бадью утверждал, что онтология — это математика. [22] Бадью также верит в глубокую связь между математикой, поэзией и философией.

Во многих случаях натурфилософы и другие учёные, широко использовавшие математику, делали скачки между красотой и физической истиной способами, которые оказывались ошибочными. Например, на каком-то этапе своей жизни Иоганн Кеплер считал, что пропорции орбит известных тогда планет Солнечной системы были расположены Богом так , чтобы соответствовать концентрическому расположению пяти Платоновых тел , причем каждая орбита лежит на описанная сфера одного многогранника и внутренняя сфера другого. Поскольку существует ровно пять платоновых тел, гипотеза Кеплера могла вместить только шесть планетарных орбит и была опровергнута последующим открытием Урана .

В теории информации [ править ]

В 1970-х годах Абрахам Моулс и Фридер Наке проанализировали связи между красотой, обработкой информации и теорией информации . [23] [24] В 1990-х годах Юрген Шмидхубер сформулировал математическую теорию субъективной красоты, зависящей от наблюдателя, основанную на алгоритмической теории информации : самые красивые объекты среди субъективно сопоставимых объектов имеют короткие алгоритмические описания (т. е. колмогоровскую сложность ) относительно того, что наблюдатель уже знает. [25] [26] [27] Шмидхубер четко различает красивое и интересное. Последнее соответствует первой производной субъективно воспринимаемой красоты: наблюдатель постоянно пытается улучшить предсказуемость и сжимаемость наблюдений, обнаруживая такие закономерности, как повторения, симметрии и фрактальное самоподобие . Всякий раз, когда процесс обучения наблюдателя (возможно, прогнозирующая искусственная нейронная сеть ) приводит к улучшенному сжатию данных, так что последовательность наблюдений может быть описана меньшим количеством битов , чем раньше, временная интересность данных соответствует прогрессу сжатия и пропорциональна награда внутреннего любопытства наблюдателя. [28] [29]

В искусстве [ править ]

Основные статьи: Математика и искусство , Математика и музыка и Математика и архитектура.

Музыка [ править ]

Примеры использования математики в музыке включают стохастическую музыку Янниса Ксенакиса , последовательность Фибоначчи в Тула » « Латералюсе , контрапункт Иоганна Себастьяна Баха , полиритмические структуры (как в Игоря Стравинского » «Весне священной ), модуляцию метрическую Эллиот Картер , теория перестановок в сериализме, начиная с Арнольда Шенберга , и применение тонов Шепарда в Штокхаузена Карлхайнца «Гимнах» . Они также включают применение теории групп к трансформациям в музыке в теоретических трудах Дэвида Левина .

Изобразительное искусство [ править ]

Схема из » Леона Баттисты Альберти 1435 года « Делла Питтура с колоннами в перспективе на сетке.

Примеры использования математики в изобразительном искусстве включают приложения теории хаоса и фрактальной геометрии к компьютерному искусству , исследования симметрии Леонардо да Винчи , проективную геометрию в развитии перспективы теории искусства эпохи Возрождения , сетки в оп-арте , оптическую геометрию. в камере-обскуре Джамбаттисты делла Порта и множественной перспективе в аналитическом кубизме и футуризме .

Сакральная геометрия представляет собой отдельную область, дающую начало бесчисленным формам искусства, включая некоторые из наиболее известных мистических символов и религиозных мотивов, и имеет особенно богатую историю в исламской архитектуре . Он также предоставляет средства медитации и созерцания, например, изучение Каббалы Сфирот (Древа Жизни) и Куба Метатрона ; а также сам процесс рисования.

Голландский графический дизайнер М. К. Эшер создал математически вдохновленные гравюры на дереве , литографии и меццо-тинты . В них представлены невозможные конструкции, исследования бесконечности , архитектура, визуальные парадоксы и мозаика .

Некоторые художники и скульпторы создают работы, искаженные математическими принципами анаморфозы , в том числе южноафриканский скульптор Джонти Гурвиц .

Британский художник-конструктор Джон Эрнест создавал рельефы и картины, вдохновленные теорией групп. [30] Ряд других британских художников конструктивистской и системной школ также используют математические модели и структуры как источник вдохновения, в том числе Энтони Хилл и Питер Лоу . [31] Компьютерное искусство основано на математических алгоритмах .

Цитаты математиков [ править ]

Бертран Рассел выразил свое чувство математической красоты в следующих словах:

Математика, если ее правильно рассматривать, обладает не только истиной, но и высшей красотой — красотой холодной и строгой, как красота скульптуры, не обращающейся ни к какой части нашей более слабой натуры, без великолепных атрибутов живописи или музыки, но все же возвышенно чистой и способной. сурового совершенства, которое может показать только величайшее искусство. Истинный дух восторга, экзальтации, ощущения себя больше, чем человек, который является пробным камнем высшего совершенства, можно найти в математике так же несомненно, как и в поэзии. [32]

Пауль Эрдеш выразил свои взгляды на невыразимость математики, сказав: «Почему числа прекрасны? Это все равно что спрашивать, почему Девятая симфония Бетховена прекрасна. Если вы не понимаете, почему, кто-то не сможет вам сказать. Я знаю, что числа прекрасны. . Если они не красивы, то ничего нет». [33]

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

  1. ^ «Цитаты Харди» . www-history.mcs.st-andrews.ac.uk . Проверено 31 октября 2019 г.
  2. ^ «Доказательство элегантности - Математическая коммуникация МАА Математическая коммуникация МАА» . 01.04.2011 . Проверено 28 апреля 2024 г.
  3. ^ Элиша Скотт Лумис опубликовал более 360 доказательств в своей книге «Предложение Пифагора» ( ISBN   0-873-53036-5 ).
  4. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Квадратичная теорема взаимности» . mathworld.wolfram.com . Проверено 31 октября 2019 г.
  5. ^ Рота (1997) , с. 173.
  6. ^ Галлахер, Джеймс (13 февраля 2014 г.). «Математика: почему мозг считает математику красотой» . Новости BBC онлайн . Проверено 13 февраля 2014 г.
  7. ^ Фейнман, Ричард П. (1977). Фейнмановские лекции по физике . Том. И. Аддисон-Уэсли. ISBN  0-201-02010-6 .
  8. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Фундаментальные теоремы исчисления» . mathworld.wolfram.com . Проверено 31 октября 2019 г.
  9. ^ Харди, GH «18» . Извинение математика - из Интернет-архива.
  10. ^ Рота (1997) , с. 172.
  11. ^ Монастырский (2001), Некоторые тенденции в современной математике и медаль Филдса.
  12. ^ Ланг, с. 3
  13. ^ Чандрасекхар, с. 148
  14. ^ Филлипс, Джордж (2005). «Предисловие» . Математика – не зрелищный вид спорта . Springer Science+Business Media . ISBN  0-387-25528-1 . Проверено 22 августа 2008 г. «...в мире математики нет ничего, что соответствовало бы публике в концертном зале, где пассивные слушают активных. К счастью, все математики — деятели , а не зрители.
  15. ^ Соуэлл, Э. (1989). «Эффект манипулятивных материалов в обучении математике». Журнал исследований в области математического образования . 20 (5): 498–505. дои : 10.2307/749423 . JSTOR   749423 .
  16. ^ Халл, Томас. «Проект Оригами: Занятия по изучению математики». Тейлор и Фрэнсис, 2006.
  17. ^ Бруальди, Ричард (2009). Вводная комбинаторика . Пирсон. ISBN  978-0136020400 .
  18. ^ Зеки, Семир; Ромайя, Джон Пол; Бенинкаса, Диониджи, МТ; Атья, Майкл Ф. (2014). «Опыт математической красоты и его нейронные корреляты» . Границы человеческой неврологии . 8 : 68. дои : 10.3389/fnhum.2014.00068 . ISSN   1662-5161 . ПМЦ   3923150 . ПМИД   24592230 .
  19. ^ Чжан, Хаосюань; Зеки, Семир (май 2022 г.). «Судения о математической красоте устойчивы к пересмотру со стороны внешнего мнения» . Психологический журнал . 11 (5): 741–747. дои : 10.1002/pchj.556 . ISSN   2046-0252 . ПМЦ   9790661 . ПМИД   35491015 .
  20. ^ Линнебо, Эйстейн (2018), «Платонизм в философии математики» , в Залте, Эдвард Н. (редактор), Стэнфордская энциклопедия философии (изд. весны 2018 г.), Лаборатория метафизических исследований, Стэнфордский университет , получено в 2019–2010 гг. -31
  21. ^ Шехтер, Брюс (2000). Мой мозг открыт: математические путешествия Пауля Эрдеша . Нью-Йорк: Саймон и Шустер . стр. 70–71. ISBN  0-684-85980-7 .
  22. ^ «Ален Бадью: Онтология и структурализм» . Журнал «Перемирие» . 2 апреля 2014 г. Проверено 31 октября 2019 г.
  23. ^ А. Моулс: Теория информации и эстетическое восприятие , Париж, Деноэль, 1973 ( Теория информации и эстетическое восприятие)
  24. ^ Ф Наке (1974). Эстетика как обработка информации. ( Эстетика как обработка информации). Основы и приложения информатики в области эстетического производства и критики. Спрингер, 1974 г., ISBN   3-211-81216-4 , ISBN   978-3-211-81216-7
  25. ^ Дж. Шмидхубер. Искусство низкой сложности . Леонардо , Журнал Международного общества искусств, наук и технологий ( Leonardo/ISAST ), 30(2):97–103, 1997. дои : 10.2307/1576418 . JSTOR   1576418 .
  26. ^ Дж. Шмидхубер. Статьи по теории красоты и искусству низкой сложности с 1994 года: http://www.idsia.ch/~juergen/beauty.html .
  27. ^ Дж. Шмидхубер. Простые алгоритмические принципы открытий, субъективной красоты, избирательного внимания, любопытства и творчества. Учеб. 10-й международный Конф. on Discovery Science (DS 2007), стр. 26–38, LNAI 4755, Springer, 2007. Также в Proc. 18-й международный Конф. по теории алгоритмического обучения (ALT 2007), с. 32, LNAI 4754, Springer, 2007. Совместная приглашенная лекция для DS 2007 и ALT 2007, Сендай, Япония, 2007. arXiv : 0709.0674 .
  28. ^ Шмидхубер, Дж. (1991). Любопытные системы управления построением моделей . Международная совместная конференция по нейронным сетям. Том. 2. Сингапур: Пресса IEEE. стр. 1458–1463. дои : 10.1109/IJCNN.1991.170605 .
  29. ^ Теория красоты и любопытства Шмидхубера в немецком телешоу: http://www.br-online.de/bayerisches-fernsehen/faszination-wissen/schoenheit--aesthetik-wahrnehmung-ID1212005092828.xml . Архивировано 3 июня 2008 г., на сайте машина обратного пути
  30. ^ Использование Джоном Эрнестом математики и особенно теории групп в его произведениях искусства анализируется в книге Пола Эрнеста «Джон Эрнест, художник-математик» Пола Эрнеста в журнале «Философия математического образования» , № 24, декабрь 2009 г. (специальный выпуск по математике и искусству): http: //people.exeter.ac.uk/PErnest/pome24/index.htm
  31. ^ Франко, Франческа (5 октября 2017 г.). «Группа систем (глава 2)» . Искусство генеративных систем: работы Эрнеста Эдмондса . Рутледж. ISBN  9781317137436 .
  32. ^ Рассел, Бертран (1919). «Изучение математики». Мистика и логика: и другие очерки . Лонгман . п. 60 . Проверено 22 августа 2008 г. Правильно рассматриваемая математика обладает не только истиной, но и высшей красотой, красотой холодной и строгой, как красота скульптуры, не обращающейся ни к какой части нашей более слабой натуры без великолепных атрибутов Рассела.
  33. ^ Девлин, Кейт (2000). «У математиков разный мозг?». Ген математики: как развивалось математическое мышление и почему числа похожи на сплетни . Основные книги . п. 140 . ISBN  978-0-465-01619-8 . Проверено 22 августа 2008 г.

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Mathematical_beauty&oldid=1221678324"