Математическая константа

Для более широкого освещения этой темы см. Константа (математика) .

Длина окружности диаметром 1 равна π .

Математическая константа — это ключевое число , значение которого фиксируется однозначным определением, которое часто обозначается специальным символом (например, буквой алфавита ) или именами математиков, чтобы облегчить его использование в различных математических задачах . Константы возникают во многих областях математики , причем такие константы, как e и π , встречаются в таких разнообразных контекстах, как геометрия , теория чисел , статистика и исчисление .

Некоторые константы возникают естественным образом из-за фундаментального принципа или внутреннего свойства, такого как соотношение длины окружности и диаметра круга ( π ). Другие константы примечательны больше по историческим причинам, чем по своим математическим свойствам. Наиболее популярные константы изучались на протяжении веков и вычислялись с точностью до многих десятичных знаков.

Все названные математические константы являются определяемыми числами и обычно также являются вычислимыми числами ( константа Чайтина является существенным исключением).

математические

Это константы, с которыми можно столкнуться во время довузовского образования во многих странах.

Постоянная Архимеда π

Основная статья: Пи

Константа π (пи) имеет естественное определение в евклидовой геометрии как отношение длины окружности к диаметру круга. Его можно найти во многих других местах математики: например, в интеграле Гаусса , комплексных корнях из единицы и распределениях Коши по вероятности . Однако его повсеместное распространение не ограничивается чистой математикой. Он появляется во многих формулах физики, а некоторые физические константы наиболее естественно определяются с помощью π или без учета его обратной величины. Например, волновая функция основного состояния атома водорода равна

$\psi (\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {\pi {a_{0}}^{3}}}}e^{-r/a_{0}},$

где $a_{0}$ — радиус Бора .

π — иррациональное число и трансцендентное число .

Числовое значение π примерно равно 3,1415926536 (последовательность A000796 в OEIS ). Запоминание все более точных цифр числа π — это мировой рекорд.

Мнимая единица i

Основная статья: Мнимая единица

Мнимая единица i на комплексной плоскости . Действительные числа лежат на горизонтальной оси, а мнимые числа лежат на вертикальной оси.

Мнимая единица или единица мнимого числа , обозначаемая как i , представляет собой математическое понятие, расширяющее счисления. действительную систему $\mathbb {R}$ в счисления комплексную систему $\mathbb {C} .$ Основное свойство воображаемой единицы состоит в том, что я ² = −1 . Термин « мнимый » был придуман потому, что не существует ( действительного ) числа, имеющего отрицательный квадрат .

На самом деле существует два комплексных квадратных корня из −1, а именно i и − i , точно так же, как есть два комплексных квадратных корня из любого другого действительного числа (кроме нуля , которое имеет один двойной квадратный корень).

В контекстах, где символ i неоднозначен или проблематичен, j или греческая йота ( ι иногда используется ). Это особенно актуально в электротехнике и системах управления , где мнимая единица часто обозначается j , поскольку i обычно используется для обозначения электрического тока .

Число Эйлера e

Основная статья: е (математическая константа)

Экспоненциальный рост (зеленый) описывает многие физические явления.

Число Эйлера e , также известное как константа экспоненциального роста , встречается во многих областях математики, и одним из возможных его определений является значение следующего выражения:

$e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

Константа e неразрывно связана с показательной функцией $x\mapsto e^{x}$.

математик Швейцарский е Якоб Бернулли обнаружил, что возникает при сложных процентах : если счет начинается с 1 доллара и приносит проценты по годовой ставке R , то, поскольку количество периодов начисления сложных процентов в году стремится к бесконечности (ситуация, известная как непрерывное начисление сложных процентов ), сумма денег в конце года приблизится к e ^р долларов.

Константа e также имеет приложения к теории вероятностей , где она возникает способом, не связанным явно с экспоненциальным ростом. В качестве примера предположим, что в игровой автомат с вероятностью выигрыша один из n играют n раз, тогда для больших n (например, одного миллиона) вероятность того, что ничего не будет выиграно, будет стремиться к 1/ e , поскольку n стремится к бесконечность.

Другое применение е , открытое частично Якобом Бернулли вместе с французским математиком Пьером Раймоном де Монмором , находится в задаче о расстройствах , также известной как проблема проверки шляпы . Здесь на вечеринку приглашаются n гостей, и у дверей каждый гость проверяет свою шляпу у дворецкого, который затем складывает ее в маркированные коробки. Дворецкий не знает имен гостей и поэтому должен раскладывать их по ящикам, выбранным наугад. Задача де Монмора состоит в следующем: какова вероятность того, что ни одна шляпа не окажется в нужной коробке. Ответ

$p_{n}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +(-1)^{n}{\frac {1}{n!}}$

которое при стремлении n к бесконечности приближается к 1/ e .

e — иррациональное число и трансцендентное число.

Числовое значение e составляет примерно 2,7182818284 (последовательность A001113 в OEIS ).

Константа Пифагора √ 2

Основная статья: Квадратный корень из 2

Квадратный корень из 2 равен длине гипотенузы прямоугольного треугольника с длиной катета 1.

Квадратный корень из 2 , часто известный как корень 2 , радикал 2 или константа Пифагора и записываемый как √ 2 , является положительным алгебраическим числом , которое при умножении само на себя дает число 2 . Точнее, его называют главным квадратным корнем из 2 , чтобы отличить его от отрицательного числа с тем же свойством.

Геометрически квадратный корень из 2 — это длина диагонали квадрата со сторонами в одну единицу длины ; это следует из теоремы Пифагора . Вероятно, это было первое известное число иррационально . Его числовое значение , усеченное до 65 десятичных знаков , равно:

1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799... (последовательность A002193 в OEIS ).

Квадратный корень из 2.

Альтернативно, быстрое приближение 99/70 (≈ 1,41429) для квадратного корня из двух часто использовалось до широкого использования электронных калькуляторов и компьютеров . Несмотря на то, что знаменатель равен всего 70, оно отличается от правильного значения менее чем на 1/10 000 (приблизительно 7,2 × 10  ⁻⁵ ).

Константа Теодора √ 3

Основная статья: Квадратный корень из 3

Числовое значение √ 3 примерно равно 1,7320508075 (последовательность A002194 в OEIS ).

Константы в высшей математике

Это константы, которые часто встречаются в высшей математике .

Константы Фейгенбаума α и δ

Основная статья: константы Фейгенбаума

Бифуркационная диаграмма логистической карты.

Итерации непрерывных отображений служат простейшими примерами моделей динамических систем . Названные в честь физика-математика Митчелла Фейгенбаума , две константы Фейгенбаума появляются в таких итерационных процессах: они являются математическими инвариантами логистических карт с квадратичными точками максимума. и их бифуркационные диаграммы . В частности, константа α представляет собой отношение ширины зубца к ширине одного из двух его подзубцов, а константа δ представляет собой предельное отношение каждого интервала бифуркации к следующему между каждой бифуркацией удвоения периода .

Логистическая карта — это полиномиальное отображение, которое часто называют архетипическим примером того, как хаотическое поведение может возникнуть из очень простых нелинейных динамических уравнений. Карта была популяризирована в плодотворной статье австралийского биолога Роберта Мэя в 1976 году . отчасти как демографическая модель дискретного времени, аналогичная логистическому уравнению, впервые созданному Пьером Франсуа Верхюльстом . Разностное уравнение предназначено для отражения двух эффектов воспроизводства и голода.

Числовое значение α составляет примерно 2,5029. Числовое значение δ составляет примерно 4,6692.

Константа Апери ζ(3)

Основная статья: постоянная Апери

Константа Апери представляет собой сумму ряда

$$\zeta (3)=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots$$

Константа Апери — иррациональное число , ее числовое значение составляет примерно 1,2020569.

Несмотря на то, что константа Апери является особым значением дзета-функции Римана , она естественным образом возникает в ряде физических задач, в том числе в терминах и третьего порядка электрона второго гиромагнитного отношения , вычисляемых с помощью квантовой электродинамики .

Золотое сечение φ

Основная статья: Золотое сечение

Золотые прямоугольники в правильном икосаэдре

$F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}$

Явная формула для n- го числа Фибоначчи , включающая золотое сечение φ .

Число φ , также называемое золотым сечением , часто встречается в геометрии , особенно в фигурах с пятиугольной симметрией . Действительно, длина равна правильного пятиугольника диагонали φ , умноженной на его сторону. Вершины правильного икосаэдра — это вершины трёх взаимно ортогональных золотых прямоугольников . Также он появляется в последовательности Фибоначчи , связанной с ростом рекурсией . Кеплер доказал, что это предел отношения последовательных чисел Фибоначчи. Золотое сечение имеет самую медленную сходимость среди всех иррациональных чисел. По этой причине это один из худших случаев аппроксимационной теоремы Лагранжа и экстремальный случай неравенства Гурвица для диофантовых приближений . Возможно, поэтому при филлотаксисе (росте растений) часто возникают углы, близкие к золотому сечению. Оно приблизительно равно 1,6180339887498948482, или, точнее, 2⋅sin(54°) = $\scriptstyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.$

Эйлера-

Основная статья: постоянная Эйлера – Маскерони

Площадь между двумя кривыми (красная) стремится к пределу, а именно к константе Эйлера-Машерони.

Константа Эйлера -Машерони определяется как следующий предел:

${\begin{aligned}\gamma &=\lim _{n\to \infty }\left(\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)-\ln n\right)\\[5px]\end{aligned}}$

Константа Эйлера-Машерони появляется в третьей теореме Мертенса и имеет отношение к гамма-функции , дзета-функции и многим различным интегралам и рядам .

Пока неизвестно, будет ли $\gamma$ рационально или нет.

Числовое значение $\gamma$ составляет примерно 0,57721.

Константа Конвея λ

Основная статья: постоянная Конвея

${\begin{matrix}1\\11\\21\\1211\\111221\\312211\\\vdots \end{matrix}}$

Конвея взглядов Последовательность

Константа Конвея — это инвариантная скорость роста всех производных строк, аналогичная последовательности «посмотри и скажи» (за исключением одной тривиальной).

Он задается уникальным положительным действительным корнем многочлена степени 71 с целыми коэффициентами.

Значение λ составляет примерно 1,30357.

Постоянная Хинчина K

Основная статья: постоянная Хинчина

Если действительное число r записать в виде простой цепной дроби :

$r=a_{0}+{\dfrac {1}{a_{1}+{\dfrac {1}{a_{2}+{\dfrac {1}{a_{3}+\cdots }}}}}},$

где a _k — натуральные числа для всех k , то, как русский математик Александр Хинчин доказал в 1934 году , предел при n стремится к бесконечности : среднего геометрического ( a ₁ a ₂ ... a _n ) ^{1/ н} существует и является константой, константой Хинчина , за исключением множества меры 0.

Числовое значение K составляет примерно 2,6854520010.

Константа Глейшера-Кинкелина A

Основная статья: константа Глейшера – Кинкелина

Константа Глейшера -Кинкелина определяется как предел :

$A=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\prod _{k=1}^{n}k^{k}}{n^{n^{2}/2+n/2+1/12}e^{-n^{2}/4}}}$

Он появляется в некоторых выражениях производной дзета-функции Римана . Его числовое значение составляет примерно 1,2824271291.

и

Простые представители наборов чисел

Эта вавилонская глиняная табличка дает приблизительное выражение квадратного корня из 2 в четырех шестидесятеричных цифрах: 1; 24, 51, 10, что соответствует примерно шести десятичным знакам.

$c=\sum _{j=1}^{\infty }10^{-j!}=0.\underbrace {\overbrace {110001} ^{3!{\text{ digits}}}000000000000000001} _{4!{\text{ digits}}}000\dots$

Константа Лиувилля — простой пример трансцендентного числа .

Некоторые константы, такие как квадратный корень из 2 , константа Лиувилля и константа Чамперноуна :

$C_{10}=0.{\color {blue}{1}}2{\color {blue}{3}}4{\color {blue}{5}}6{\color {blue}{7}}8{\color {blue}{9}}10{\color {blue}{11}}12{\color {blue}{13}}14{\color {blue}{15}}16\dots$

не являются важными математическими инвариантами, но сохраняют интерес, будучи простыми представителями специальных наборов чисел, иррациональных чисел , трансцендентные числа и обычные числа (в базе 10) соответственно. Открытие иррациональных чисел обычно приписывают пифагорейцу Гиппасу из Метапонта , который доказал, скорее всего, геометрически, иррациональность квадратного корня из 2. Что касается константы Лиувилля, названной в честь французского математика Жозефа Лиувилля , то это было первое число, которое было найдено. доказано, что оно трансцендентно.

Постоянная Чайтина Ω

В информатики подобласти теории информации алгоритмической константа Чайтина — это действительное число, представляющее вероятность того, что случайно выбранная машина Тьюринга остановится, сформированное на основе конструкции аргентинско - американского математика и ученого-компьютерщика Грегори Чайтина . константа Чайтина, хотя и не поддается вычислению Было доказано, что , является трансцендентной и нормальной . Константа Чайтина не является универсальной и сильно зависит от числового кодирования, используемого в машинах Тьюринга; однако его интересные свойства не зависят от кодировки.

Неуказанные константы

Если константы не указаны, они обозначают классы подобных объектов, обычно функций, все равные с точностью до константы — технически говоря, это можно рассматривать как «сходство с точностью до константы». Такие константы часто появляются при работе с интегралами и дифференциальными уравнениями . Хотя они и не указаны, они имеют определенное значение, которое часто не имеет значения.

Решения с разными константами интегрирования $y'(x)=-2y+e^{-x}$.

В интегралах

Неопределенные интегралы называются неопределенными, потому что их решения единственны только с точностью до константы. Например, при работе над полем действительных чисел

$\int \cos x\ dx=\sin x+C$

где C , константа интегрирования , — произвольное фиксированное действительное число. Другими словами, каким бы ни было значение C , дифференцирование sin x + C по x всегда дает cos x .

В дифференциальных уравнениях

Аналогичным образом константы появляются в решениях дифференциальных уравнений недостаточно начальных значений или граничных условий , где задано . Например, обыкновенное дифференциальное уравнение y ^' = y ( x ) имеет решение Ce ^Икс где C — произвольная константа.

При работе с уравнениями в частных производных константы могут быть функциями , постоянными по отношению к некоторым переменным (но не обязательно ко всем из них). Например, ПДЭ

${\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}=0$

имеет решения f ( x , y ) = C ( y ), где C ( y ) — произвольная функция от переменной   y .

Обозначения

Представление констант

Числовое значение константы принято выражать, указывая ее десятичное представление (или только первые несколько ее цифр). По двум причинам такое представление может вызвать проблемы. Во-первых, хотя все рациональные числа имеют конечное или постоянно повторяющееся десятичное разложение, иррациональные числа не имеют такого выражения, что делает невозможным их полное описание таким способом. Кроме того, десятичное представление числа не обязательно уникально. Например, два представления 0,999... и 1 эквивалентны. в том смысле, что они представляют одно и то же число.

Вычисление цифр десятичного разложения констант было обычным делом на протяжении многих столетий. Например, немецкий математик Людольф ван Цейлен из 16 века посвятил большую часть своей жизни вычислению первых 35 цифр числа Пи. С помощью компьютеров и суперкомпьютеров некоторые математические константы, в том числе π, e и квадратный корень из 2, были вычислены до более чем ста миллиардов цифр. быстрые алгоритмы Были разработаны , некоторые из которых — что касается константы Апери — оказались неожиданно быстрыми.

$G=\left.{\begin{matrix}3\underbrace {\uparrow \ldots \uparrow } 3\\\underbrace {\vdots } \\3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3\end{matrix}}\right\}{\text{64 layers}}$

Число Грэма, определенное с помощью обозначения стрелки вверх Кнута .

Некоторые константы настолько отличаются от обычного вида, что для их разумного представления были изобретены новые обозначения. Число Грэма иллюстрирует это, поскольку обозначение Кнута со стрелкой вверх . используется

Может быть интересно представить их с помощью цепных дробей для проведения различных исследований, включая статистический анализ. Многие математические константы имеют аналитическую форму , то есть их можно построить с помощью известных операций, которые легко поддаются вычислению. Однако не все константы имеют известные аналитические формы; постоянная Гроссмана и постоянная Фойаса являются примерами.

Обозначение и именование констант

Обозначение констант буквами является частым способом сделать обозначения более краткими. Распространенное соглашение , инициированное Рене Декартом в 17 веке и Леонардом Эйлером в 18 веке, заключается в использовании строчных букв из начала латинского алфавита. $a,b,c,\dots$ или греческий алфавит $\alpha ,\beta ,\,\gamma ,\dots$ при работе с константами в целом.

Однако для более важных констант символы могут быть более сложными и иметь дополнительную букву, звездочку , цифру, лемнискату или использовать другие алфавиты, такие как иврит , кириллица или готика .

Константа Эрдеша – Борвейна $E_{B}$
Константа Эмбри – Трефетена $\beta ^{*}$
Константа Бруна для простых чисел-близнецов $B_{2}$
Константы Чамперноуна $C_{b}$
кардинальное число алеф ноль $\aleph _{0}$

Примеры различных видов записи констант.

Иногда символ, обозначающий константу, представляет собой целое слово. Например, американского математика Эдварда Каснера 9-летний племянник придумал названия гугол и гуголплекс .

$\mathrm {googol} =10^{100}\,\ ,\ \mathrm {googolplex} =10^{\mathrm {googol} }=10^{10^{100}}$

Другие названия связаны либо со значением константы ( универсальная параболическая константа , константа простого близнеца , ...), либо с конкретным человеком ( константа Серпинского , константа Джозефсона и так далее).

Универсальная параболическая константа — это отношение для любой параболы параболического длины дуги сегмента (красный), образованного широкой прямой кишкой (синий), к фокальному параметру (зеленый).

математические

Основная статья: Список математических констант

Использованные сокращения:

R – Рациональное число , I – Иррациональное число (может быть алгебраическим или трансцендентным), A – Алгебраическое число (иррациональное), T – Трансцендентное число

Gen – Общее , NuT – Теория чисел , ChT – Теория хаоса , Com – Комбинаторика , Inf – Теория информации , Ana – Математический анализ

Символ	Ценить	Имя	Поле	Н	Впервые описано	Количество известных десятичных цифр
0	= 0	Нуль	Gen	р	по с. 500 г. до н.э.	все
1	= 1	Один , Единство	Gen	р		все
я	= √ –1	Мнимая единица , мнимое число единицы	Ген , Ана	А	по с. 1500	все
Пи	≈ 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288	Пи , Архимеда постоянная . или число Людольфа	Ген , Ана	Т	по с. 2600 г. до н.э.	100,000,000,000,000
Это	≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249	e , постоянная Нейпира или число Эйлера	Ген , Ана	Т	1618	35,000,000,000,000
√ 2	≈ 1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807	Пифагора Константа , квадратный корень из 2	Gen	А	по с. 800 г. до н.э.	10,000,000,000,000
√ 3	≈ 1.73205 08075 68877 29352 74463 41505 87236	Теодора Константа , квадратный корень из 3	Gen	А	по с. 800 г. до н.э.	2,199,023,255,552
√ 5	≈ 2.23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623	Квадратный корень из 5	Gen	А	по с. 800 г. до н.э.	2,199,023,255,552
$\gamma$	≈ 0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243	Константа Эйлера – Маскерони	Ген , НуТ		1735	600,000,000,100
$\varphi$	≈ 1.61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811	Золотое сечение	Gen	А	по с. 200 г. до н.э.	10,000,000,000,000
$\Lambda$	$0\leq \Lambda \leq 0.2$	постоянная де Брейна – Ньюмана	НуТ , Ана		1950	никто
MМ1	≈ 0.26149 72128 47642 78375 54268 38608 69585	Константа Мейселя-Мертенса	Орех		1866 1874	8,010
$\beta$	≈ 0.28016 94990 23869 13303	постоянная Бернштейна	Хорошо
$\lambda$	≈ 0.30366 30028 98732 65859 74481 21901 55623	Постоянная Гаусса–Кузьмина–Савойя	С		1974	385
$\sigma$	≈ 0.35323 63718 54995 98454 35165 50432 68201	Константа Хафнера – Стори – МакКерли	Орех		1993
л	≈ 0.5	постоянная Ландау	Хорошо			1
Ой	≈ 0.56714 32904 09783 87299 99686 62210 35554	Омега-константа	Хорошо	Т
$\lambda$, $\mu$	≈ 0.62432 99885 43550 87099 29363 83100 83724	Константа Голомба – Дикмана	Нравится , НуТ		1930 1964
	≈ 0.64341 05462	постоянная Каэна		Т	1891	4000
С 2	≈ 0.66016 18158 46869 57392 78121 10014 55577	Твин-простая константа	Орех			5,020
	≈ 0.66274 34193 49181 58097 47420 97109 25290	Предел Лапласа			1822
$\beta$*	≈ 0.70258	Константа Эмбри – Трефетена	Орех
К	≈ 0.76422 36535 89220 66299 06987 31250 09232	Константа Ландау – Рамануджана	Орех			30,010
Б 4	≈ 0.87058 838	Константа Бруна для простых четверок	Орех			8
г	≈ 0.91596 55941 77219 01505 46035 14932 38411	каталонская константа	С			1,000,000,001,337
B´ L	= 1	постоянная Лежандра	Орех	р		все
К	≈ 1.13198 824	постоянная Вишваната	Орех			8
$\zeta (3)$	≈ 1.20205 69031 59594 28539 97381 61511 44999	постоянная Апери		я	1979	1,200,000,000,100
$\lambda$	≈ 1.30357 72690 34296 39125 70991 12152 55189	постоянная Конвея	Орех	А
$\theta$	≈ 1.30637 78838 63080 69046 86144 92602 60571	постоянная Миллса	Орех		1947	6850
$\rho$	≈ 1.32471 79572 44746 02596 09088 54478 09734	Пластическая константа	Орех	А	1928
$\mu$	≈ 1.45136 92348 83381 05028 39684 85892 02744	Константа Рамануджана – Солднера	Орех	я		75,500
	≈ 1.45607 49485 82689 67139 95953 51116 54356	Постоянная Бэкхауза
	≈ 1.46707 80794	постоянная Портера	Орех		1975
	≈ 1.53960 07178	Квадратная ледяная постоянная Либа	С	А	1967
Э Б	≈ 1.60669 51524 15291 76378 33015 23190 92458	Константа Эрдеша – Борвейна	Орех	я
	≈ 1.70521 11401 05367 76428 85514 53434 50816	постоянная Нивена	Орех		1969
BБ2	≈ 1.90216 05831 04	Константа Бруна для простых чисел-близнецов	Орех		1919	12
PП2	≈ 2.29558 71493 92638 07403 42980 49189 49039	Универсальная параболическая константа	Gen	Т
$\alpha$	≈ 2.50290 78750 95892 82228 39028 73218 21578	Константа фигового дерева	ЧТ
К	≈ 2.58498 17595 79253 21706 58935 87383 17116	постоянная Серпинского
	≈ 2.68545 20010 65306 44530 97148 35481 79569	постоянная Хинчина	Орех		1934	7350
Ф	≈ 2.80777 02420 28519 36522 15011 86557 77293	Константа Франсена-Робинсона	Хорошо
	≈ 3.27582 29187 21811 15978 76818 82453 84386	постоянная Леви	Орех
$\psi$	≈ 3.35988 56662 43177 55317 20113 02918 92717	Обратная константа Фибоначчи		я
$\delta$	≈ 4.66920 16091 02990 67185 32038 20466 20161	Константа фигового дерева	ЧТ		1975

См. также

• Инвариант (математика)
• Список математических символов
• Список номеров
• Физическая константа

Внешние ссылки

• Константы – из Wolfram MathWorld
• Обратный символьный калькулятор (CECM, ISC) (рассказывает, как данное число можно составить из математических констант)
• Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей (OEIS)
• Инвертор Симона Плуффа
• Страница математических констант Стивена Финча (сломанная ссылка)
• Стивен Р. Финч, « Математические константы », Энциклопедия математики и ее приложений , Cambridge University Press (2003).
• Страница чисел, математических констант и алгоритмов Ксавье Гурдона и Паскаля Себаха