Проблема начального значения

В исчислении многих переменных задача начального значения ( IVP ) представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение вместе с начальным условием , которое определяет значение неизвестной функции в данной точке области . Моделирование системы в физике или других науках часто сводится к решению задачи начального значения. В этом контексте дифференциальное начальное значение представляет собой уравнение, которое определяет, как система развивается со временем с учетом начальных условий задачи.

Определение

Начальная задача представляет собой дифференциальное уравнение

$y'(t)=f(t,y(t))$ с $f\colon \Omega \subset \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ где $\Omega$ представляет собой открытый набор $\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}$,

вместе с точкой в ​​области $f$

$(t_{0},y_{0})\in \Omega ,$

называется начальным состоянием .

Решением функция задачи начального значения является $y$ это решение дифференциального уравнения и удовлетворяет

$y(t_{0})=y_{0}.$

В более высоких измерениях дифференциальное уравнение заменяется семейством уравнений $y_{i}'(t)=f_{i}(t,y_{1}(t),y_{2}(t),\dotsc )$, и $y(t)$ рассматривается как вектор $(y_{1}(t),\dotsc ,y_{n}(t))$, чаще всего связанный с положением в пространстве. В более общем смысле неизвестная функция $y$ может принимать значения в бесконечномерных пространствах, таких как банаховы пространства или пространства распределений .

Задачи начального значения расширяются до более высоких порядков, рассматривая производные так же, как независимую функцию, например $y''(t)=f(t,y(t),y'(t))$.

Существование и единственность решений

Теорема Пикара –Линделёфа гарантирует единственное решение на некотором интервале, содержащем t _0, если f непрерывна в области, содержащей t ₀ и y _0, и удовлетворяет условию Липшица для переменной y .Доказательство этой теоремы продолжается путем переформулировки задачи в виде эквивалентного интегрального уравнения . Интеграл можно рассматривать как оператор, который отображает одну функцию в другую, так что решением является фиксированная точка оператора. Затем применяется теорема Банаха о неподвижной точке, чтобы показать, что существует единственная неподвижная точка, которая является решением проблемы начального значения.

Более старое доказательство теоремы Пикара – Линделёфа строит последовательность функций, которые сходятся к решению интегрального уравнения и, следовательно, к решению начальной задачи. Такую конструкцию иногда называют «методом Пикара» или «методом последовательных приближений». Эта версия по сути является частным случаем теоремы Банаха о неподвижной точке.

Хироши Окамура получил необходимое и достаточное условие единственности решения начальной задачи. Это условие связано с существованием функции Ляпунова у системы .

В некоторых ситуациях функция f не принадлежит классу C. ¹ , или даже Липшица , поэтому обычный результат, гарантирующий локальное существование единственного решения, неприменим. Однако теорема существования Пеано доказывает, что даже для просто непрерывного f решения гарантированно существуют локально во времени; проблема в том, что нет никакой гарантии уникальности. Результат можно найти у Коддингтона и Левинсона (1955, теорема 1.3) или Робинсона (2001, теорема 2.6). Еще более общим результатом является теорема существования Каратеодори , которая доказывает существование некоторых разрывных функций f .

Примеры

Простой пример: решить $y'(t)=0.85y(t)$ и $y(0)=19$. Мы пытаемся найти формулу $y(t)$ которое удовлетворяет этим двум уравнениям.

Переставьте уравнение так, чтобы $y$ находится на левой стороне

${\frac {y'(t)}{y(t)}}=0.85$

Теперь интегрируем обе стороны по отношению к $t$ (это вводит неизвестную константу $B$).

$\int {\frac {y'(t)}{y(t)}}\,dt=\int 0.85\,dt$

$\ln |y(t)|=0.85t+B$

Устранить логарифм с возведением в степень с обеих сторон

$|y(t)|=e^{B}e^{0.85t}$

Позволять $C$ быть новой неизвестной константой, $C=\pm e^{B}$, так

$y(t)=Ce^{0.85t}$

Теперь нам нужно найти значение $C$. Использовать $y(0)=19$ как указано в начале, и замените 0 на $t$ и 19 для $y$

$19=Ce^{0.85\cdot 0}$

$C=19$

это дает окончательное решение $y(t)=19e^{0.85t}$.

Второй пример

Решение

$y'+3y=6t+5,\qquad y(0)=3$

можно найти

$y(t)=2e^{-3t}+2t+1.\,$

Действительно,

${\begin{aligned}y'+3y&={\tfrac {d}{dt}}(2e^{-3t}+2t+1)+3(2e^{-3t}+2t+1)\\&=(-6e^{-3t}+2)+(6e^{-3t}+6t+3)\\&=6t+5.\end{aligned}}$

Третий пример

Решение

$y'=y^{\frac {2}{3}},\qquad y(0)=0$

$\int {\frac {y'}{y^{\frac {2}{3}}}}\,dt=\int y^{-{\frac {2}{3}}}\,dy=\int 1\,dt$

$3(y(t))^{\frac {1}{3}}=t+B$

Применяя начальные условия, получаем $B=0$, отсюда и решение:

$y(t)={\frac {t^{3}}{27}}$.

Однако следующая функция также является решением проблемы начального значения:

$f(t)=\left\{{\begin{array}{lll}{\frac {(t-t_{1})^{3}}{27}}&{\text{if}}&t\leq t_{1}\\0&{\text{if}}&t_{1}\leq x\leq t_{2}\\{\frac {(t-t_{2})^{3}}{27}}&{\text{if}}&t_{2}\leq t\\\end{array}}\right.$

Функция всюду дифференцируема и непрерывна, удовлетворяя при этом дифференциальному уравнению, а также начальной задаче. Таким образом, это пример такой задачи с бесконечным числом решений.

См. также

• Краевая задача
• Константа интегрирования
• Интегральная кривая

Ссылки

• Коддингтон, граф А.; Левинсон, Норман (1955). Теория обыкновенных дифференциальных уравнений . Нью-Йорк-Торонто-Лондон: McGraw-Hill Book Company, Inc.
• Хирш, Моррис В. и Смейл, Стивен (1974). Дифференциальные уравнения, динамические системы и линейная алгебра . Нью-Йорк-Лондон: Академическая пресса. {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Окамура, Хироси (1942). «Необходимое и достаточное условие, выполняемое обыкновенными дифференциальными уравнениями без точек Пеано». Память Колл. наук. унив. Киото сер. А (на французском языке). 24 :21–28. МР   0031614 .
• Агарвал, Рави П.; Лакшмикантам, В. (1993). Критерии единственности и неединственности обыкновенных дифференциальных уравнений . Серия в реальном анализе. Том. 6. Мировая научная. ISBN  978-981-02-1357-2 .
• Полянин Андрей Дмитриевич; Зайцев, Валентин Федорович (2003). Справочник точных решений обыкновенных дифференциальных уравнений (2-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall/CRC. ISBN  1-58488-297-2 .
• Робинсон, Джеймс К. (2001). Бесконечномерные динамические системы: введение в диссипативные параболические УЧП и теорию глобальных аттракторов . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-63204-8 .