Константа Франсена-Робинсона

Константа Франсена-Робинсона , иногда обозначаемая F , представляет собой математическую константу , которая представляет область между графиком обратной гамма-функции 1 /Γ( x ) и положительной осью x . То есть,

$F=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\Gamma (x)}}\,dx=2.8077702420285...$

Другие выражения

Константа Франсена-Робинсона имеет числовое значение F = 2,8077702420285... (последовательность A058655 в OEIS ) и цепной дроби представление [2; 1, 4, 4, 1, 18, 5, 1, 3, 4, 1, 5, 3, 6, ...] (последовательность A046943 в OEIS ). Константа несколько близка к числу Эйлера e = 2,71828... . Этот факт можно объяснить, аппроксимировав интеграл суммой:

$F=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\Gamma (x)}}\,dx\approx \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\Gamma (n)}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}},$

и эта сумма является стандартным рядом для e . Разница в том,

$F-e=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}}{\pi ^{2}+(\ln x)^{2}}}\,dx$

или эквивалентно

$F=e+{\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi /2}^{\pi /2}e^{\pi \tan \theta }e^{-e^{\pi \tan \theta }}\,d\theta .$

Константу Франсена-Робинсона также можно выразить с помощью функции Миттаг-Леффлера как предела.

$F=\lim _{\alpha \to 0}\alpha E_{\alpha ,0}(1).$

Однако неизвестно, F можно ли выразить в замкнутой форме через другие известные константы.

История расчетов

Было приложено немало усилий для расчета численного значения константы Франсена-Робинсона с высокой точностью.

Значение было вычислено до 36 десятичных знаков Германом П. Робинсоном с использованием 11-точечной квадратуры Ньютона-Котеса , до 65 цифр А. Франсеном с использованием суммирования Эйлера-Маклорена и до 80 цифр Франсеном и С. Ригге с использованием рядов Тейлора и других методов. . Уильям А. Джонсон вычислил 300 цифр, а Паскаль Себах смог вычислить 1025 цифр, используя интеграцию Кленшоу – Кертиса .

Ссылки

• Франсен, Арне (1979). «Точное определение обратного гамма-интеграла». КУСОЧЕК . 19 (1): 137–138. дои : 10.1007/BF01931232 . МР   0530126 . S2CID   122091723 .
• Франсен, Арне; Ригге, Стаффан (1980). «Высокоточные значения гамма-функции и некоторых связанных с ней коэффициентов». Математика вычислений . 34 (150): 553–566. дои : 10.2307/2006104 . JSTOR   2006104 . МР   0559204 .
• Франсен, Арне (1981). «Дополнение и исправление к «Высокоточные значения гамма-функции и некоторых связанных с ней коэффициентов» ». Математика вычислений . 37 (155): 233–235. дои : 10.2307/2007517 . JSTOR   2007517 . МР   0616377 .
• Вайсштейн, Эрик В. «Константа Франсена-Робинсона» . Математический мир .
• Борвейн, Джонатан; Бейли, Дэвид; Гиргенсон, Роланд (2003). Эксперименты в математике – вычислительные пути к открытиям . АК Петерс. п. 288. ИСБН  1-56881-136-5 .