Обратная гамма-функция

В математике обратной гамма-функцией называется функция

f(z)={\frac {1}{\Gamma (z)}},

где $Γ(z)$ обозначает гамма-функцию . Поскольку гамма-функция мероморфна и отлична от нуля всюду на комплексной плоскости , ее обратная функция является целой функцией . Как целая функция она имеет порядок 1 (это означает, что $log log | ⁠ 1 / Γ(z) ⁠ |$ растет не быстрее, чем $журнал | г |$ ), но бесконечного типа (это означает, что $log | ⁠ 1 / Γ(z) ⁠ |$ растет быстрее, чем любое кратное $| г |$ , поскольку его рост примерно пропорционален $| г | журнал | г |$ в левой полуплоскости).

Обратная величина иногда используется в качестве отправной точки для численного расчета гамма-функции, и несколько программных библиотек предоставляют ее отдельно от обычной гамма-функции.

Карл Вейерштрасс назвал обратную гамма-функцию «факториеллой» и использовал ее в своей разработке теоремы факторизации Вейерштрасса .

Бесконечное расширение продукта

Следуя определениям бесконечного произведения для гамма-функции , данным Эйлером и Вейерштрассом соответственно, мы получаем следующее разложение бесконечного произведения для обратной гамма-функции:

{\begin{aligned}{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=z\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+{\frac {z}{n}}}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}}\\{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}\end{aligned}}

где $γ = 0,577216...$ — постоянная Эйлера–Машерони . Эти разложения действительны для всех комплексных чисел $z$ .

Серия Тейлора

Разложение ряда Тейлора вокруг 0 дает: ^[1]

{\frac {1}{\ \Gamma (z)\ }}=z+\gamma \ z^{2}+\left({\frac {\gamma ^{2}}{2}}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\right)\ z^{3}+\left({\frac {\gamma ^{3}}{6}}-{\frac {\gamma \pi ^{2}}{12}}+{\frac {\zeta (3)}{3}}\ \right)z^{4}+\cdots \

где $γ$ — постоянная Эйлера–Машерони . При $n > 2$ коэффициент $a n$ для $z н$ термин можно вычислить рекурсивно как ^[2]^[3]

a_{n}={\frac {\ {a_{2}\ a_{n-1}+\sum _{j=2}^{n-1}(-1)^{j+1}\ \zeta (j)\ a_{n-j}}\ }{n-1}}={\frac {\ \gamma \ a_{n-1}-\zeta (2)\ a_{n-2}+\zeta (3)\ a_{n-3}-\cdots \ }{n-1}}

где $ζ$ – дзета-функция Римана . Интегральное представление для этих коэффициентов было недавно найдено Феких-Ахмедом (2014): ^[3]

a_{n}={\frac {(-1)^{n}}{\pi n!}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}\ \operatorname {Im} {\Bigl [}\ {\bigl (}\log(t)-i\pi {\bigr )}^{n}\ {\Bigr ]}\ \mathrm {d} t~.

Для небольших значений они дают следующие значения:

$н$	$н $
1	+1.0000000000000000000000000000000000000000
2	+0.5772156649015328606065120900824024310422
3	−0.6558780715202538810770195151453904812798
4	−0.0420026350340952355290039348754298187114
5	+0.1665386113822914895017007951021052357178
6	−0.0421977345555443367482083012891873913017
7	−0.0096219715278769735621149216723481989754
8	+0.0072189432466630995423950103404465727099
9	−0.0011651675918590651121139710840183886668
10	−0.0002152416741149509728157299630536478065
11	+0.0001280502823881161861531986263281643234
12	−0.0000201348547807882386556893914210218184
13	−0.0000012504934821426706573453594738330922
14	+0.0000011330272319816958823741296203307449
15	−0.0000002056338416977607103450154130020573
16	+0.0000000061160951044814158178624986828553
17	+0.0000000050020076444692229300556650480600
18	−0.0000000011812745704870201445881265654365
19	+0.0000000001043426711691100510491540332312
20	+0.0000000000077822634399050712540499373114
21	−0.0000000000036968056186422057081878158781
22	+0.0000000000005100370287454475979015481323
23	−0.0000000000000205832605356650678322242954
24	−0.0000000000000053481225394230179823700173
25	+0.0000000000000012267786282382607901588938
26	−0.0000000000000001181259301697458769513765
27	+0.0000000000000000011866922547516003325798
28	+0.0000000000000000014123806553180317815558
29	−0.0000000000000000002298745684435370206592
30	+0.0000000000000000000171440632192733743338

Феких-Ахмед (2014) ^[3] также дает приближение для $a_{n}$ :

a_{n}\approx {\frac {(-1)^{n}}{\ (n-1)!\ }}\ {\sqrt {{\frac {2}{\ \pi n\ }}\ }}\ \operatorname {Im} \left({\frac {\ z_{0}^{\left(1/2-n\right)}\ e^{-nz_{0}}\ }{\sqrt {1+z_{0}\ }}}\right)\ ,

где $z_{0}=-{\frac {1}{n}}\exp \!{\Bigl (}W_{-1}(-n){\Bigr )}\ ,$ и $W_{-1}$ это минус первая ветвь функции Ламберта W. —

Разложение Тейлора около $1$ имеет те же (но сдвинутые) коэффициенты, т.е.:

{\frac {1}{\Gamma (1+z)}}={\frac {1}{z\Gamma (z)}}=1+\gamma \ z+\left({\frac {\gamma ^{2}}{2}}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\right)\ z^{2}+\left({\frac {\gamma ^{3}}{6}}-{\frac {\gamma \pi ^{2}}{12}}+{\frac {\zeta (3)}{3}}\ \right)z^{3}+\cdots \

(обратная пи-функция Гаусса ).

Асимптотическое расширение

Как $| г |$ стремится к бесконечности при постоянном $arg(z),$ мы имеем:

\ln(1/\Gamma (z))\sim -z\ln(z)+z+{\tfrac {1}{2}}\ln \left({\frac {z}{2\pi }}\right)-{\frac {1}{12z}}+{\frac {1}{360z^{3}}}-{\frac {1}{1260z^{5}}}\qquad {\text{for}}~\left|\arg(z)\right|<\pi

Контурное интегральное представление

Интегральное представление Германа Ганкеля :

{\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {i}{2\pi }}\oint _{H}(-t)^{-z}e^{-t}\,dt,

где $H$ — контур Ганкеля , то есть путь, окружающий 0 в положительном направлении, начинающийся в положительной бесконечности и возвращающийся в нее относительно ветви, разрезанной вдоль положительной вещественной оси. По данным Schmelzer & Trefethen, ^[4] численная оценка интеграла Ханкеля лежит в основе некоторых из лучших методов вычисления гамма-функции.

Интегральные представления в натуральных числах

Для положительных целых чисел $n\geq 1$ , существует интеграл для обратной факториальной функции, определяемый формулой ^[5]

{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{-nit}e^{e^{it}}\ dt.

Аналогично для любого реального $c>0$ и $z\in \mathbb {C}$ имеем следующий интеграл для обратной гамма-функции вдоль вещественной оси в виде: ^[6]

{\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }(c+it)^{-z}e^{c+it}dt,

где частный случай, когда $z=n+1/2$ дает соответствующее соотношение для обратной двойной факториальной функции, ${\frac {1}{(2n-1)!!}}={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{n}\cdot \Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)}}.$

Интеграл по действительной оси

Интегрирование обратной гамма-функции вдоль положительной вещественной оси дает значение

\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\Gamma (x)}}\,dx\approx 2.80777024,

которая известна как константа Франсена-Робинсона .

Имеем следующую формулу ( ^[7] глава 9, упражнение 100)

\int _{0}^{\infty }{\dfrac {a^{x}}{\Gamma (x)}}\,dx=ae^{a}+a\int _{0}^{\infty }{\dfrac {e^{-ax}}{\log ^{2}(x)+\pi ^{2}}}\,dx

См. также

Ссылки

^ Вайсштейн, Эрик В. «Гамма-функция» . mathworld.wolfram.com . Проверено 15 июня 2021 г.
^ Гаечный ключ, JW (1968). «О двух рядах по гамма-функции» . Математика вычислений . 22 (103): 617–626. дои : 10.1090/S0025-5718-1968-0237078-4 . S2CID 121472614 . и
Гаечный ключ, JW (1973). «Ошибка: относительно двух серий для гамма-функции» . Математика вычислений . 27 (123): 681–682. дои : 10.1090/S0025-5718-1973-0319344-9 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Феких-Ахмед, Л. (2014). «О разложении обратной гамма-функции в степенной ряд» . HAL-архивы .
^ Шмельцер, Томас; Трефетен, Ллойд Н. (2007). «Вычисление гамма-функции с использованием контурных интегралов и рациональных приближений» . SIAM Journal по численному анализу . 45 (2). Общество промышленной и прикладной математики: 558–571. дои : 10.1137/050646342 . ; «Копия на академическом сайте Трефетена» (PDF) . Математика, Оксфорд, Великобритания . Проверено 3 августа 2020 г. ; «Ссылка на две другие копии». CiteSeerX 10.1.1.210.299 .
^ Грэм, Кнут и Паташник (1994). Конкретная математика . Аддисон-Уэсли. п. 566. {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Шмидт, Макси Д. (19 мая 2019 г.). «Краткая заметка об интегральных преобразованиях и формулах преобразования производящих функций» . Аксиомы . 8 (2): 62. arXiv : 1809.03933 . дои : 10.3390/axioms8020062 .
^ Анри Коэн (2007). Теория чисел, том II: Аналитические и современные инструменты . Тексты для аспирантов по математике. Том. 240. дои : 10.1007/978-0-387-49894-2 . ISBN 978-0-387-49893-5 . ISSN 0072-5285 .

Метте Лунд, Интеграл для обратной гамма-функции
Милтон Абрамовиц и Ирен А. Стеган, Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами
Эрик В. Вайсштейн , Гамма-функция , MathWorld

[1] Вайсштейн, Эрик В. «Гамма-функция» . mathworld.wolfram.com . Проверено 15 июня 2021 г.

[2] Гаечный ключ, JW (1968). «О двух рядах по гамма-функции» . Математика вычислений . 22 (103): 617–626. дои : 10.1090/S0025-5718-1968-0237078-4 . S2CID 121472614 . и
Гаечный ключ, JW (1973). «Ошибка: относительно двух серий для гамма-функции» . Математика вычислений . 27 (123): 681–682. дои : 10.1090/S0025-5718-1973-0319344-9 .

[Fekih-Ahmed2014-3] Jump up to: ^а ^б ^с Феких-Ахмед, Л. (2014). «О разложении обратной гамма-функции в степенной ряд» . HAL-архивы .

[4] Шмельцер, Томас; Трефетен, Ллойд Н. (2007). «Вычисление гамма-функции с использованием контурных интегралов и рациональных приближений» . SIAM Journal по численному анализу . 45 (2). Общество промышленной и прикладной математики: 558–571. дои : 10.1137/050646342 . ; «Копия на академическом сайте Трефетена» (PDF) . Математика, Оксфорд, Великобритания . Проверено 3 августа 2020 г. ; «Ссылка на две другие копии». CiteSeerX 10.1.1.210.299 .

[5] Грэм, Кнут и Паташник (1994). Конкретная математика . Аддисон-Уэсли. п. 566. {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[6] Шмидт, Макси Д. (19 мая 2019 г.). «Краткая заметка об интегральных преобразованиях и формулах преобразования производящих функций» . Аксиомы . 8 (2): 62. arXiv : 1809.03933 . дои : 10.3390/axioms8020062 .

[7] Анри Коэн (2007). Теория чисел, том II: Аналитические и современные инструменты . Тексты для аспирантов по математике. Том. 240. дои : 10.1007/978-0-387-49894-2 . ISBN 978-0-387-49893-5 . ISSN 0072-5285 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]