Функция Бесселя – Клиффорда

функция Бесселя-Клиффорда, вычисляемая при n=3, разделенном на 22, как C(3, разделенный на 22,z) от -2-2i до 2+2i

В математическом анализе функция Бесселя -Клиффорда , названная в честь Фридриха Бесселя и Уильяма Кингдона Клиффорда , представляет собой целую функцию двух комплексных переменных , которую можно использовать для альтернативного развития теории функций Бесселя . Если

$\pi (x)={\frac {1}{\Pi (x)}}={\frac {1}{\Gamma (x+1)}}$

– целая функция, определяемая посредством обратной гамма-функции , то функция Бесселя–Клиффорда определяется рядом

${\mathcal {C}}_{n}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\pi (k+n){\frac {z^{k}}{k!}}$

Отношение последовательных членов равно z / k ( n + k ), которое для всех значений z и n стремится к нулю с ростом k . По критерию отношения этот ряд сходится абсолютно для всех z и n и равномерно для всех областей с ограниченным | z |, и, следовательно, функция Бесселя–Клиффорда является целой функцией двух комплексных переменных n и z .

Дифференциальное уравнение функции Бесселя–Клиффорда

Из приведенного выше ряда о дифференцировании по x следует , что ${\mathcal {C}}_{n}(x)$ удовлетворяет линейному однородному дифференциальному уравнению второго порядка

$xy''+(n+1)y'=y.\qquad$

Это уравнение имеет обобщенный гипергеометрический тип, и фактически функция Бесселя-Клиффорда с точностью до масштабного множителя является гипергеометрической функцией Поххаммера-Барнса ; у нас есть

${\mathcal {C}}_{n}(z)=\pi (n)\ _{0}F_{1}(;n+1;z).$

Если n не является отрицательным целым числом (в этом случае правая часть не определена), два определения по существу эквивалентны; гипергеометрическая функция нормируется так, что ее значение при z = 0 равно единице.

Связь с функциями Бесселя

Функцию Бесселя первого рода можно определить через функцию Бесселя–Клиффорда как

$J_{n}(z)=\left({\frac {z}{2}}\right)^{n}{\mathcal {C}}_{n}\left(-{\frac {z^{2}}{4}}\right);$

когда n не является целым числом. Отсюда видно, что функция Бесселя не является полной. Аналогично модифицированную функцию Бесселя первого рода можно определить как

$I_{n}(z)=\left({\frac {z}{2}}\right)^{n}{\mathcal {C}}_{n}\left({\frac {z^{2}}{4}}\right).$

Эту процедуру, конечно, можно обратить вспять, так что мы можем определить функцию Бесселя – Клиффорда как

${\mathcal {C}}_{n}(z)=z^{-n/2}I_{n}(2{\sqrt {z}});$

но с этой отправной точки нам нужно будет показать ${\mathcal {C}}$ был целым.

Рекуррентное отношение

Из определяющего ряда сразу следует, что ${\frac {d}{dx}}{\mathcal {C}}_{n}(x)={\mathcal {C}}_{n+1}(x).$

Используя это, мы можем переписать дифференциальное уравнение для ${\mathcal {C}}$ как

$x{\mathcal {C}}_{n+2}(x)+(n+1){\mathcal {C}}_{n+1}(x)={\mathcal {C}}_{n}(x),$

которое определяет рекуррентное соотношение для функции Бесселя – Клиффорда. Это эквивалентно аналогичному соотношению для ₀ Ф ₁ . В качестве частного случая непрерывной дроби Гаусса мы имеем

${\frac {{\mathcal {C}}_{n+1}(x)}{{\mathcal {C}}_{n}(x)}}={\cfrac {1}{n+1+{\cfrac {x}{n+2+{\cfrac {x}{n+3+{\cfrac {x}{\ddots }}}}}}}}.$

Можно показать, что эта цепная дробь сходится во всех случаях.

Функция Бесселя–Клиффорда второго рода.

Дифференциальное уравнение Бесселя – Клиффорда

$xy''+(n+1)y'=y\qquad$

имеет два линейно независимых решения. Поскольку начало координат является регулярной особой точкой дифференциального уравнения и поскольку ${\mathcal {C}}$ целое, то второе решение должно быть сингулярным в начале координат.

Если мы установим

${\mathcal {K}}_{n}(x)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-t-{\frac {x}{t}}\right){\frac {dt}{t^{n+1}}}$

который сходится для $\Re (x)>0$и аналитически продолжив его, получим второе линейно независимое решение дифференциального уравнения.

Коэффициент 1/2 вставлен для того, чтобы сделать ${\mathcal {K}}$ соответствуют функциям Бесселя второго рода. У нас есть

$K_{n}(x)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}{\mathcal {K}}_{n}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right).$

и

$Y_{n}(x)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}{\mathcal {K}}_{n}\left(-{\frac {x^{2}}{4}}\right).$

С точки зрения К мы имеем

${\mathcal {K}}_{n}(x)=x^{-n/2}K_{n}(2{\sqrt {x}}).$

Следовательно, так же, как функция Бесселя и модифицированная функция Бесселя первого рода могут быть выражены через ${\mathcal {C}}$, то второго рода оба могут быть выражены через ${\mathcal {K}}$.

Генерирующая функция

Если умножить абсолютно сходящийся ряд для exp( t ) и exp( z / t ) вместе, мы получаем (когда t не равно нулю) абсолютно сходящийся ряд для exp( t + z / t ). Собирая слагаемые в t , находим при сравнении с определением степенного ряда для ${\mathcal {C}}_{n}$ что у нас есть

$\exp \left(t+{\frac {z}{t}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }t^{n}{\mathcal {C}}_{n}(z).$

Эту производящую функцию затем можно использовать для получения дальнейших формул, в частности, мы можем использовать интегральную формулу Коши и получить ${\mathcal {C}}_{n}$ для целого числа n как

${\mathcal {C}}_{n}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {\exp(t+z/t)}{t^{n+1}}}\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\exp(z\exp(-i\theta )+\exp(i\theta )-ni\theta )\,d\theta .$

Ссылки

• Клиффорд, Уильям Кингдон (1882), «О функциях Бесселя», Mathematical Papers , Лондон: 346–349 .
• Гринхилл, А. Джордж (1919), «Функция Бесселя-Клиффорда и ее приложения», Philosophical Magazine , шестая серия: 501–528 .
• Лежандр, Адриен-Мари (1802), Элементы геометрии , Примечание IV, Париж .
• Шлефли, Людвиг (1868), «О отношениях между различными определенными интегралами, которые служат для выражения общего решения уравнения Риккати», Annali di Matematica Pura ed Applicata , 2 (I): 232–242 .
• Уотсон, Дж. Н. (1944), Трактат по теории функций Бесселя (второе изд.), Кембридж: Издательство Кембриджского университета .
• Валлиссер, Рольф (2000), «О доказательстве Ламберта иррациональности числа π», в книге Халтер-Кох, Франц; Тиши, Роберт Ф. (ред.), Алгебраическая теория чисел и диофантовый анализ , Берлин: Вальтер де Грюйер, ISBN  3-11-016304-7 .